高數(shù)課件2-7fourier級(jí)數(shù)

第七Fourier級(jí) 一、問(wèn)題的提象具有周期現(xiàn)象的量，每經(jīng)過(guò)時(shí)間T 重復(fù)出現(xiàn)，這樣的量在數(shù)學(xué)上可表示成時(shí)間t f(t+T)=f(t)正弦函數(shù)是一類比較簡(jiǎn)單的周期函數(shù)，而且是應(yīng)路電流分析中常遇到正弦型函數(shù)yAsin(t非正弦型周期函數(shù)：巨形

u(t)

當(dāng)tuo1uo1

當(dāng)0tt以電路計(jì)算為例，往往將以T y

n)

A0

n明確的，這就是把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成.物理學(xué)的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)表明：任何簡(jiǎn)單的周期性振不同頻率的正弦波逐個(gè)疊sint,

1sin3t,

1sin5t,

1sin7t, 4sinu4(sin

1sin3t)u4(sin

u4(sin

1sin3t

1sin5t

1sin7t)u4(sin

1sin3t

1sin5t

1sin7t

1sin9t)u(t)

1sin3t

1sin5t

1sin7t

二、三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交三角級(jí)f(t)

A0

n

諧波分

(

sinn

cosnt

Ancosn

sinnt

A

an

Ansinn

bn

Ancosn

tx, aa0

(an

sin

三角級(jí)三角函數(shù)系的正交三角函數(shù)

x,sin

x,cos2x,sin2x,cosnx,sin正交任意兩個(gè)不同函

[,]上的積分等cos

sin

sinmxsinnxdxcosmxcosnxdx

,,

mn,mnmn,mnsinmx

(其中m

三、函數(shù)展開(kāi) 級(jí)1.若能展開(kāi)

aibi是什么2.展開(kāi)的條件是什么系

(x)a02

(ak

kx)求a0

kf(x)dx

dx

bsin

k

a0dx2

akfkf

bkk

2

1a01求an

(f (x)cosf

2

cos

coskxcosnxdx

sinkxcos

kk

a f(x)cos

(n

求bn

f(x)sinnxdx2

sin

coskxsinnxdx

bk

bksinkxsin 11bn

f (x)sin (nf

系 f(x)cos (n

b f(x)sin

2f(x)cos

(n

b 2f(x)sin

(n

級(jí)aa02

(an

sinnx)

2

ancs

nx)以上我們是在fx可以展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)并可以前提對(duì)一般的2為周期的函數(shù)fx)只要公式中的積分都存在，就可以定出 (n

并可唯一地寫(xiě)出f(x 的F---級(jí)f(x)~2

(ancos

bnsinnx)至于這個(gè)級(jí)數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到f(x的問(wèn)題，有以下定理雷(Dirichlet)充分條件(收斂定

是以

級(jí)數(shù)當(dāng)x

fx)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂

(x)當(dāng)x

f()

的間斷點(diǎn)

2

;當(dāng)x為端點(diǎn)

f

f 2 例1.f(x2的周期函數(shù)它在f(x)

1 x 1 0xy將f(x)展 解:先 系

o 101(1)cosnxdx11cosnxd0 (n0,1,2,)01(1)sinnxdx11sin0 1

cosnx

1

cosn

21

cosn 21

4

當(dāng)n1

3,5, 0

當(dāng)n

2,4

6,f(x)

4sinx1sin3x

1)x

2k1(

x

x0,

,

,)f(x)

4

xsin3

sin5

sin7x7

sin9x

2說(shuō)明1)根據(jù)收斂定理可知說(shuō)明1)根據(jù)收斂定理可知y1o1x時(shí),級(jí)數(shù)收斂于11f(x的情況見(jiàn)右圖2yo2x例22yo2x將f(x)展成級(jí)數(shù)1解:1

f(x)d

xd

1x20000

111an1

f(x)cos

xcosnxd1xsinnx

cosnx

1 1

n2

1cos

2

n2k1an

(2k1)

(k1

2,)01 01

n1bn1

f(x)sinnxd

xsinnxdx

n4

2cosx

sinx

1sin2x2

(n

2,) 32

3

1sin4x42cos5x

sin5x52 (x,x(2k1),k0,

1,2,)說(shuō)明x2k1)時(shí)

02

)2定義在[–,]f(x)F(x)

f(x)

x[,f(x

2k 上的級(jí)例3.將函 展級(jí)數(shù) 解f(x)12F(x),1

o 1a01

F(x)d

f(x)d2x2

111an1

F(x)cosnxd

f(x)cosnx2

xsinnxn

cosnxn2

1)

(2k1)2

n2k1

n1(k11

2,)

f(x)sinnxdx cosx

cos3x

1cos5x說(shuō)明

x0時(shí),f(0)=0設(shè)222

142

3,3

11

111 721已知 2

24

2 3

22

22

展開(kāi)步①驗(yàn)證f(x 滿足Dirichlet條件，并確定f(x的所有間斷點(diǎn)，可作圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判②根據(jù)公式計(jì)算Fourier系③寫(xiě)出Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并注明展開(kāi)式的注求Fourier系數(shù)一般要用分部積分法，有時(shí)甚至些an,bn需要單獨(dú)計(jì)算，容易忽略而導(dǎo)致錯(cuò)誤例 設(shè)s(x)是以2為周期的函數(shù)

(xF級(jí)數(shù)的和fx)在一周期內(nèi)的表達(dá)式為

f(x)

xx

|

寫(xiě)出sx)在[,]上的表達(dá)解f(x)如右圖所示滿足收斂定理的 2|x| |x|s(x)

x

x例 s(x)是以2為周期的函數(shù)

xf(x)

x

0x試求其Fourier級(jí)數(shù)的和函sx)

x

,2

s(x)是以2為周期的函f(x)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)，其Fourier級(jí)數(shù)處處收斂于f(x)本身s() 2

s(2 2

s( ) s(10)

10)(10

6設(shè)

f(x)a0(acosnx

22

可逐項(xiàng)積分

a 試證明

(x)dx

(a )

22ff(x)2

(an

cos

2f2(x)2

f(x)[af(x)cosnxb

(x)

f2(x)dx

f(x)dx a02f(x)dx0a02f(x)dx0nf(x)cos

(x)

a

f(x)

(x)dx

b

),結(jié)論可證y1則它 級(jí)數(shù)在x 1 o1 ,

x

4處收斂于 .y1則它 級(jí)數(shù)在x 1 o1 ,提示

x

4處收斂于 .f()f()

f

) 2 2

f(0)2

(0

12寫(xiě)出函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)

1o1 四、小基本概念系數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的意義——整體P2501(1),(3) 2;5傅氏級(jí)數(shù)的意義——(1768(1768–法國(guó)數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解