全概率公式和貝葉斯公式課件

1.5全概率公式和貝葉斯公式

引例：某人從中隨機取一罐，在從中任意取出一球，求取得紅球的概率.1求取得紅球的概率？？？第1章概率論基礎2131.5全概率公式和貝葉斯公式引例：某人從中隨機取一罐解

記

Ai={

取到的是

i號罐

}

i=1,2,3;B={

取得紅球

}A1,A2,A3

的發(fā)生都會導致B

發(fā)生，依題意:P(B|A1)=2/3,

P(B|A2)=3/4,

P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,31.5.1全概率公式213從隨機罐中任取一球，求取得紅球的概率？即

B=A1B∪A2B∪A3BP(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)且

A1B、A2B、A3B兩兩互斥代入數據得：P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)≈

0.639

解記Ai={取到的是i號罐}i=1,2,

(1)A1,A2,A3兩兩互不相容，(2)則對事件B，稱滿足(1)和(2)的A1，A2，A3為完備事件組或樣本空間的一個劃分．1.5.1全概率公式P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)(1)A1,A2,A3兩兩互不相容，1.5.

定理1.2

設試驗E的樣本空間為

,A1,A2,…,An為E的一組事件，且滿足：(1)A1,A2,…,An兩兩互不相容，i=1,2,…,n；(2)則對任一事件B，有(1.7)(1.7)稱為全概率公式．稱滿足(1)和(2)的A1，A2，…，An為完備事件組或樣本空間的一個劃分．1.5.1全概率公式定理1.2設試驗E的樣本空間為,A1,A2,…,圖示證明類似于曲邊梯形求面積化整為零各個擊破圖示證明類似于曲邊梯形求面積化整為零各個擊破全概率公式的使用我們把事件B看作某一過程的結果，根據歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因對結果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計算結果發(fā)生的概率．全概率公式的使用我們把事件B看作某一過程的結果，根據歷史資料說明

事實上全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.說明事實上全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事例有一批同一型號的產品，已知其中由一廠生產的占30%，二廠生產的占50%

，三廠生產的占20%，又知這三個廠的產品次品率分別為2%，1%，1%，問從這批產品中任取一件是次品的概率是多少?設事件A為“任取一件為次品”,解例有一批同一型號的產品，已知其中由一廠生產的占30%由全概率公式得30%20%50%2%1%1%由全概率公式得30%20%50%2%1%1%【例1.15】假設有3箱同種型號零件，里面分別裝有50件、30件、40件，而且一等品分別有20件、12件和24件，現在任取一箱，從中不放回地先后取出兩個零件，試求:(1)先取出的零件是一等品的概率；

(2)兩次取出的零件均為一等品的概率．

解:

設Ai=“任取的一箱為第i箱零件”，i=1,2,3，

Bj=“第j次取到的是一等品”，j=1，2．由題意知A1、A2和A3構成完備事件組，

且1.5.1全概率公式【例1.15】假設有3箱同種型號零件，里面分別裝有50件、3(1)

由全概率公式得

1.5.1全概率公式(1)1.5.1全概率公式(2)

因為

由全概率公式得1.5.1全概率公式(2)因為1

定理1.2

設試驗E的樣本空間為

,A1,A2,…,An為E的一組事件，且滿足：(1)A1,A2,…,An兩兩互不相容，i=1,2,…,n；(2)則對任一事件B，有(1.7)(1.7)稱為全概率公式．稱滿足(1)和(2)的A1，A2，…，An為完備事件組或樣本空間的一個劃分．1.5.1全概率公式由原因推結果定理1.2設試驗E的樣本空間為,A1,A2,…,引例２：某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現是紅球，求該球是取自1號罐的概率.213下面就介紹為解決這類問題而引出的公式：Bayes(貝葉斯)公式1.5.1全概率公式

這一類問題是“已知結果求原因”.在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.引例２：某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現是紅球，求該球是解

記

Ai={

取到的是

i號罐

}

i=1,2,3;B={

取得紅球

}A1,A2,A3

的發(fā)生都會導致B

發(fā)生，1.5.1全概率公式213從隨機罐中任取一球，發(fā)現是紅球，求該球來自一號罐的概率？即

B=A1B∪A2B∪A3BP(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)且

A1B、A2B、A3B兩兩互斥解記Ai={取到的是i號罐}i=1,2,

1.5.2貝葉斯公式定理1.3

設試驗E的樣本空間為

，B為E的事件，A1，A2，…，An為完備事件組，且P(B)>0，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則

(1.8)(1.8)式稱為貝葉斯公式．

1.5全概率公式和貝葉斯公式1.5.2貝葉斯公式1.5全概率公式和貝葉斯公式證明

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概率.由條件概率公式、乘法公式及全概率公式知：1.5.2貝葉斯公式證明該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它

貝葉斯公式是英國哲學家Bayes于1763首先提出的，經過多年的發(fā)展和完善，由這一公式的思想已經發(fā)展成為一整套統(tǒng)計推斷方法，即“Bayes方法”，這一方法在計算機診斷、模式識別、基因組成、蛋白質結構等很多方面都有應用．ThomasBayesBorn:1702inLondon,England

Died:17Apr.1761inTunbridgeWells,Kent,England1.5.2貝葉斯公式貝葉斯公式是英國哲學家Bayes于1763首先提出特別有：

設事件A、B為試驗E的兩事件，由于A和是一個完備事件組，若P(A)>0，，P(B)>0，貝葉斯公式的一種常用簡單形式為1.5.2貝葉斯公式特別有：1.5.2貝葉斯公式

在應用全概率公式與貝葉斯公式時，有兩個問題需要弄清楚：

當事件的發(fā)生與相繼兩個試驗有關時，從第一試驗入手尋找完備事件組；

當事件的發(fā)生是由諸多兩兩互斥的原因而引起的，可以這些“原因”為完備事件組。2、如何區(qū)分是用全概率公式還是用貝葉斯公式1、如何確定完備事件組一般，可從下列兩個方面來尋找完備事件組：“由因求果”用全概率公式,“執(zhí)果求因”用貝葉斯公式.在應用全概率公式與貝葉斯公式時，有兩個問題需

【例】設在12只乒乓球中有9只新球和3只舊球,第一次比賽取出3只,用后放回去;第二次比賽又取出3只,求第二次取到的3只球中有2只為新球的概率.【解】這里有兩個相繼“試驗”:“第一次取出3只”和“第二次取出3只”.因此,可根據“第一次試驗”的各種情形確定完備事件組.

第一次取出3只球有4種情況:沒有新球、有一只新球、有兩只新球和全是新球，分別用事件表示為：

設A為事件：“第二次取出2新1舊”，則由古典概率計算公式[超幾何分布]得：

【例】設在12只乒乓球中有9只新球和3只舊球,第一次

注意：第二次取球時12只球的新舊組成是隨第一次取出的3球組成的變化而變化,易得:[從9新3舊中取3舊][從9新3舊中取1新2舊][從9新3舊中取2新1舊][從9新3舊中取3新]注意：第二次取球時12只球的新舊組成是隨第一[從9新3舊中取2新1舊][從8新4舊中取2新1舊][從7新5舊中取2新1舊][從6新6舊中取2新1舊]由全概率公式得:[從9新3舊中取2新1舊][從8新4舊中取2新1舊][從7新由全概率公式得:■由全概率公式得:■

【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0，1，2只殘次品的概率分別是0.8，0.1和0.1，某顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨即取出一箱，顧客開箱隨機地查看四只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，試求：

(1)顧客買下該箱的概率；

(2)在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率．1.5.2貝葉斯公式【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0，1

解：設B=“顧客買下該箱玻璃杯”，

Ai=“抽到的一箱中有i件殘次品”，i=0,1,2．

(1)

事件B在下面三種情況下均會發(fā)生：抽到的一箱中沒有殘次品、有1件殘次品或有2件次品。顯然A0，A1，A2是完備事件組．由題意知由全概率公式得1.5.2貝葉斯公式1.5.2貝葉斯公式(2)由貝葉斯公式1.5.2貝葉斯公式(2)由貝葉斯公式1.5.2貝葉斯公式

【例1.17】根據以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗有如下效果：對肝炎病人的試驗呈陽性的概率為0.95；非肝炎病人的試驗呈陰性的概率為0.95．對自然人群進行普查的結果為：有千分之五的人患有肝炎．現有某人做此試驗結果為陽性，問此人確有肝炎的概率為多少？1.5.2貝葉斯公式【例1.17】根據以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗有如解:

設A=“某人確有肝炎”，

B=“某人做此試驗結果為陽性”；由已知條件有

從而由貝葉斯公式，有1.5.2貝葉斯公式說明這種試驗對于診斷一個人是否患有肝炎有意義.對肝炎病人的試驗呈陽性的概率為0.95；非肝炎病人的試驗呈陰性的概率為0.95．有千分之五的人患有肝炎解:設A=“某人確有肝炎”，1.5.2貝葉斯公式說

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識.當有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計.貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變化

在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai

|B)分別稱為原因的先驗概率和后驗概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息

伊索寓言“孩子與狼”講的是一個小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒。第一天，他在山上喊“狼來了！狼來了！”，山下的村民聞聲便去打狼，發(fā)現狼沒有來；第二天仍是如此；第三天，狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因為前兩次他說了謊，人們不再相信他了。

現在用貝葉斯公式來分析此寓言中村民對這個小孩的可信程度是如何下降的。伊索寓言“孩子與狼”講的是一個小孩每天到山首先記事件A為“小孩說謊”，記事件B為“小孩可信”。不妨設村民過去對這個小孩的印象為我們現在用貝葉斯公式來求，亦及這個小孩說了一次謊后，村民對他的可信程度的改變。在貝葉斯公式中我們要用到首先記事件A為“小孩說謊”，記事件B為“小孩可信”。不妨設村

第一次村民上山打狼，發(fā)現狼沒有來，即小孩說了謊（A）。村民根據這個信息，對小孩的可信程度改變?yōu)椋ㄓ秘惾~斯公式）

這表明村民上了一次當后，對這個小孩的可信程度由原來的0.8調整為0.444，也就是第一次村民上山打狼，發(fā)現狼沒有來，即小孩說在此基礎上，我們再用一次貝葉斯公式計算

亦即這個小孩第二次說謊后，村民對他的可信程度改變?yōu)椋?/p>

這表明村民們經過兩次上當，對這個小孩的可信程度已經從0.8下降到0.138，如此低的可信程度，村民聽到第三次呼叫怎么再會上山打狼呢？在此基礎上，我們再用一次貝葉斯公式計算亦即這個小孩第二次說例例解解(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得全概率公式和貝葉斯公式課件?課堂練習

有一臺用來檢驗產品質量的儀器，已知一只次品經檢驗被認為是次品的概率為0.99，而一只正品經檢驗被認為是次品的概率0.005，已知產品的次品率為４％，若一產品經檢驗被認為是次品，求它確為次品的概率．解?課堂練習解由貝葉斯公式，所求概率為由題設知1.5.2貝葉斯公式由貝葉斯公式，所求概率為由題設知1.5.2貝葉斯公式

1.5全概率公式和貝葉斯公式

引例：某人從中隨機取一罐，在從中任意取出一球，求取得紅球的概率.1求取得紅球的概率？？？第1章概率論基礎2131.5全概率公式和貝葉斯公式引例：某人從中隨機取一罐解

記

Ai={

取到的是

i號罐

}

i=1,2,3;B={

取得紅球

}A1,A2,A3

的發(fā)生都會導致B

發(fā)生，依題意:P(B|A1)=2/3,

P(B|A2)=3/4,

P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,31.5.1全概率公式213從隨機罐中任取一球，求取得紅球的概率？即

B=A1B∪A2B∪A3BP(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)且

A1B、A2B、A3B兩兩互斥代入數據得：P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)≈

0.639

解記Ai={取到的是i號罐}i=1,2,

(1)A1,A2,A3兩兩互不相容，(2)則對事件B，稱滿足(1)和(2)的A1，A2，A3為完備事件組或樣本空間的一個劃分．1.5.1全概率公式P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)(1)A1,A2,A3兩兩互不相容，1.5.

定理1.2

設試驗E的樣本空間為

,A1,A2,…,An為E的一組事件，且滿足：(1)A1,A2,…,An兩兩互不相容，i=1,2,…,n；(2)則對任一事件B，有(1.7)(1.7)稱為全概率公式．稱滿足(1)和(2)的A1，A2，…，An為完備事件組或樣本空間的一個劃分．1.5.1全概率公式定理1.2設試驗E的樣本空間為,A1,A2,…,圖示證明類似于曲邊梯形求面積化整為零各個擊破圖示證明類似于曲邊梯形求面積化整為零各個擊破全概率公式的使用我們把事件B看作某一過程的結果，根據歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因對結果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計算結果發(fā)生的概率．全概率公式的使用我們把事件B看作某一過程的結果，根據歷史資料說明

事實上全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.說明事實上全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事例有一批同一型號的產品，已知其中由一廠生產的占30%，二廠生產的占50%

，三廠生產的占20%，又知這三個廠的產品次品率分別為2%，1%，1%，問從這批產品中任取一件是次品的概率是多少?設事件A為“任取一件為次品”,解例有一批同一型號的產品，已知其中由一廠生產的占30%由全概率公式得30%20%50%2%1%1%由全概率公式得30%20%50%2%1%1%【例1.15】假設有3箱同種型號零件，里面分別裝有50件、30件、40件，而且一等品分別有20件、12件和24件，現在任取一箱，從中不放回地先后取出兩個零件，試求:(1)先取出的零件是一等品的概率；

(2)兩次取出的零件均為一等品的概率．

解:

設Ai=“任取的一箱為第i箱零件”，i=1,2,3，

Bj=“第j次取到的是一等品”，j=1，2．由題意知A1、A2和A3構成完備事件組，

且1.5.1全概率公式【例1.15】假設有3箱同種型號零件，里面分別裝有50件、3(1)

由全概率公式得

1.5.1全概率公式(1)1.5.1全概率公式(2)

因為

由全概率公式得1.5.1全概率公式(2)因為1

定理1.2

設試驗E的樣本空間為

,A1,A2,…,An為E的一組事件，且滿足：(1)A1,A2,…,An兩兩互不相容，i=1,2,…,n；(2)則對任一事件B，有(1.7)(1.7)稱為全概率公式．稱滿足(1)和(2)的A1，A2，…，An為完備事件組或樣本空間的一個劃分．1.5.1全概率公式由原因推結果定理1.2設試驗E的樣本空間為,A1,A2,…,引例２：某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現是紅球，求該球是取自1號罐的概率.213下面就介紹為解決這類問題而引出的公式：Bayes(貝葉斯)公式1.5.1全概率公式

這一類問題是“已知結果求原因”.在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.引例２：某人從任一罐中任意摸出一球，發(fā)現是紅球，求該球是解

記

Ai={

取到的是

i號罐

}

i=1,2,3;B={

取得紅球

}A1,A2,A3

的發(fā)生都會導致B

發(fā)生，1.5.1全概率公式213從隨機罐中任取一球，發(fā)現是紅球，求該球來自一號罐的概率？即

B=A1B∪A2B∪A3BP(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)且

A1B、A2B、A3B兩兩互斥解記Ai={取到的是i號罐}i=1,2,

1.5.2貝葉斯公式定理1.3

設試驗E的樣本空間為

，B為E的事件，A1，A2，…，An為完備事件組，且P(B)>0，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則

(1.8)(1.8)式稱為貝葉斯公式．

1.5全概率公式和貝葉斯公式1.5.2貝葉斯公式1.5全概率公式和貝葉斯公式證明

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概率.由條件概率公式、乘法公式及全概率公式知：1.5.2貝葉斯公式證明該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它

貝葉斯公式是英國哲學家Bayes于1763首先提出的，經過多年的發(fā)展和完善，由這一公式的思想已經發(fā)展成為一整套統(tǒng)計推斷方法，即“Bayes方法”，這一方法在計算機診斷、模式識別、基因組成、蛋白質結構等很多方面都有應用．ThomasBayesBorn:1702inLondon,England

Died:17Apr.1761inTunbridgeWells,Kent,England1.5.2貝葉斯公式貝葉斯公式是英國哲學家Bayes于1763首先提出特別有：

設事件A、B為試驗E的兩事件，由于A和是一個完備事件組，若P(A)>0，，P(B)>0，貝葉斯公式的一種常用簡單形式為1.5.2貝葉斯公式特別有：1.5.2貝葉斯公式

在應用全概率公式與貝葉斯公式時，有兩個問題需要弄清楚：

當事件的發(fā)生與相繼兩個試驗有關時，從第一試驗入手尋找完備事件組；

當事件的發(fā)生是由諸多兩兩互斥的原因而引起的，可以這些“原因”為完備事件組。2、如何區(qū)分是用全概率公式還是用貝葉斯公式1、如何確定完備事件組一般，可從下列兩個方面來尋找完備事件組：“由因求果”用全概率公式,“執(zhí)果求因”用貝葉斯公式.在應用全概率公式與貝葉斯公式時，有兩個問題需

【例】設在12只乒乓球中有9只新球和3只舊球,第一次比賽取出3只,用后放回去;第二次比賽又取出3只,求第二次取到的3只球中有2只為新球的概率.【解】這里有兩個相繼“試驗”:“第一次取出3只”和“第二次取出3只”.因此,可根據“第一次試驗”的各種情形確定完備事件組.

第一次取出3只球有4種情況:沒有新球、有一只新球、有兩只新球和全是新球，分別用事件表示為：

設A為事件：“第二次取出2新1舊”，則由古典概率計算公式[超幾何分布]得：

【例】設在12只乒乓球中有9只新球和3只舊球,第一次

注意：第二次取球時12只球的新舊組成是隨第一次取出的3球組成的變化而變化,易得:[從9新3舊中取3舊][從9新3舊中取1新2舊][從9新3舊中取2新1舊][從9新3舊中取3新]注意：第二次取球時12只球的新舊組成是隨第一[從9新3舊中取2新1舊][從8新4舊中取2新1舊][從7新5舊中取2新1舊][從6新6舊中取2新1舊]由全概率公式得:[從9新3舊中取2新1舊][從8新4舊中取2新1舊][從7新由全概率公式得:■由全概率公式得:■

【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0，1，2只殘次品的概率分別是0.8，0.1和0.1，某顧客欲購一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨即取出一箱，顧客開箱隨機地查看四只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回，試求：

(1)顧客買下該箱的概率；

(2)在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率．1.5.2貝葉斯公式【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0，1

解：設B=“顧客買下該箱玻璃杯”，

Ai=“抽到的一箱中有i件殘次品”，i=0,1,2．

(1)

事件B在下面三種情況下均會發(fā)生：抽到的一箱中沒有殘次品、有1件殘次品或有2件次品。顯然A0，A1，A2是完備事件組．由題意知由全概率公式得1.5.2貝葉斯公式1.5.2貝葉斯公式(2)由貝葉斯公式1.5.2貝葉斯公式(2)由貝葉斯公式1.5.2貝葉斯公式

【例1.17】根據以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗有如下效果：對肝炎病人的試驗呈陽性的概率為0.95；非肝炎病人的試驗呈陰性的概率為0.95．對自然人群進行普查的結果為：有千分之五的人患有肝炎．現有某人做此試驗結果為陽性，問此人確有肝炎的概率為多少？1.5.2貝葉斯公式【例1.17】根據以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗有如解:

設A=“某人確有肝炎”，

B=“某