平均值、方差、標準差

平均值、方差、標準差平均值、方差、標準差平均值、方差、標準差資料僅供參考文件編號：2022年4月平均值、方差、標準差版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：平均值(Mean)、方差(Variance)、標準差(StandardDeviation)對于一維數(shù)據(jù)的分析，最常見的就是計算平均值(Mean)、方差(Variance)和標準差(StandardDeviation)。平均值平均值的概念很簡單：所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)點的個數(shù)，以此表示數(shù)據(jù)集的平均大?。黄鋽?shù)學定義為：

以下面10個點的CPU使用率數(shù)據(jù)為例，其平均值為。14311619261414141113方差、標準差方差這一概念的目的是為了表示數(shù)據(jù)集中數(shù)據(jù)點的離散程度；其數(shù)學定義為：

標準差與方差一樣，表示的也是數(shù)據(jù)點的離散程度；其在數(shù)學上定義為方差的平方根：為什么使用標準差與方差相比，使用標準差來表示數(shù)據(jù)點的離散程度有3個好處：表示離散程度的數(shù)字與樣本數(shù)據(jù)點的數(shù)量級一致，更適合對數(shù)據(jù)樣本形成感性認知。依然以上述10個點的CPU使用率數(shù)據(jù)為例，其方差約為41，而標準差則為；兩者相比較，標準差更適合人理解。表示離散程度的數(shù)字單位與樣本數(shù)據(jù)的單位一致，更方便做后續(xù)的分析運算。在樣本數(shù)據(jù)大致符合正態(tài)分布的情況下，標準差具有方便估算的特性：%的數(shù)據(jù)點落在平均值前后1個標準差的范圍內(nèi)、95%的數(shù)據(jù)點落在平均值前后2個標準差的范圍內(nèi)，而99%的數(shù)據(jù)點將會落在平均值前后3個標準差的范圍內(nèi)。貝賽爾修正在上面的方差公式和標準差公式中，存在一個值為N的分母，其作用為將計算得到的累積偏差進行平均，從而消除數(shù)據(jù)集大小對計算數(shù)據(jù)離散程度所產(chǎn)生的影響。不過，使用N所計算得到的方差及標準差只能用來表示該數(shù)據(jù)集本身(population)的離散程度；如果數(shù)據(jù)集是某個更大的研究對象的樣本(sample)，那么在計算該研究對象的離散程度時，就需要對上述方差公式和標準差公式進行貝塞爾修正，將N替換為N-1：經(jīng)過貝塞爾修正后的方差公式：

經(jīng)過貝塞爾修正后的標準差公式：公式的選擇

是否使用貝塞爾修正，是由數(shù)據(jù)集的性質(zhì)來決定的：如果只想計算數(shù)據(jù)集本身的離散程度(population)，那么就使用未經(jīng)修正的公式；如果數(shù)據(jù)集是一個樣本(sample)，而想要計算的則是樣本所表達對象的離散程度，那么就使用貝塞爾修正后的公式。在特殊情況下，如果該數(shù)據(jù)集相較總體而言是一個極大的樣本(比如一分鐘內(nèi)采集了十萬次的IO數(shù)據(jù))——在這種情況下，該樣本數(shù)據(jù)集不可能錯過任何的異常值(outlier)，此時可以使用未經(jīng)修正的公式來計算總體數(shù)據(jù)的離散程度。R中平均值、方差與標準差的計算在R中，平均值是通過mean()函數(shù)來計算的：x<-c(14,31,16,19,26,14,14,14,11,13)mean(x)方差則通過var()函數(shù)來計算：x<-c(14,31,16,19,26,14,14,14,11,13)var(x)標準差則通過sd()函數(shù)來計算：x<-c(14,31,16,19,26,14,14,14,11,13)sd(x)值得一提的是，R中所計算的方差和標準差是經(jīng)過貝塞爾修正的；如果需要計算未經(jīng)修正的結(jié)果，可以在R的計算結(jié)果上乘以(N-1)/N。平均值與標準差的適用范圍及誤用大多數(shù)統(tǒng)計學指標都有其適用范圍，平均值、方差和標準差也不例外，其適用的數(shù)據(jù)集必須滿足以下條件：中部單峰：數(shù)據(jù)集只存在一個峰值。很簡單，以假想的CPU使用率數(shù)據(jù)為例，如果50%的數(shù)據(jù)點位于20附近，另外50%的數(shù)據(jù)點位于80附近（兩個峰），那么計算得到的平均值約為50，而標準差約為31；這兩個計算結(jié)果完全無法描述數(shù)據(jù)點的特征，反而具有誤導性。這個峰值必須大致位于數(shù)據(jù)集中部。還是以假想的CPU數(shù)據(jù)為例，如果80%的數(shù)據(jù)點位于20附近，剩下的20%數(shù)據(jù)隨機分布于30~90之間，那么計算得到的平均值約為35，而標準差約為25；與之前一樣，這兩個計算結(jié)果不僅無法描述數(shù)據(jù)特征，反而會造成誤導。遺憾的是，在現(xiàn)實生活中，很多數(shù)據(jù)分布并不滿足上述兩個條件；因此，在使用平均值、方差和標準差的時候，必須謹慎小心。結(jié)語如果數(shù)據(jù)集僅僅滿足一個條件：單峰。那么，峰