類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件

類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)ppt課件56、極端的法規(guī)，就是極端的不公?！魅_57、法律一旦成為人們的需要，人們就不再配享受自由了?！呥_(dá)哥拉斯58、法律規(guī)定的懲罰不是為了私人的利益，而是為了公共的利益；一部分靠有害的強制，一部分靠榜樣的效力?！窭闲闼?9、假如沒有法律他們會更快樂的話，那么法律作為一件無用之物自己就會消滅?！蹇?0、人民的幸福是至高無個的法?！魅_類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)ppt課件類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)ppt課件56、極端的法規(guī)，就是極端的不公?！魅_57、法律一旦成為人們的需要，人們就不再配享受自由了?！呥_(dá)哥拉斯58、法律規(guī)定的懲罰不是為了私人的利益，而是為了公共的利益；一部分靠有害的強制，一部分靠榜樣的效力?！窭闲闼?9、假如沒有法律他們會更快樂的話，那么法律作為一件無用之物自己就會消滅?！蹇?0、人民的幸福是至高無個的法?！魅_類型1.形如的積分,其中R(cosx,sinx)為cosx與sinx的有理函數(shù).令z=eix,則dz=ieixdx=izdx§4.2留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的1類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件2類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件3類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件4類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件5第五章傅里葉(Fourier)變換掌握Fourier級數(shù)的展開方法掌握Fourier積分與Fourier變換方法了解δ函數(shù)的基本性質(zhì)第五章傅里葉(Fourier)變換掌握Fourier級數(shù)6第五章傅里葉(Fourier)變換§5.1傅里葉級數(shù)一.周期函數(shù)的傅里葉展開第五章傅里葉(Fourier)變換§5.1傅里葉級數(shù)一7傅立葉

傅立葉(公元1768年～1830年),法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡，被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。17歲回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)，1794到巴黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。

傅立葉8在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級數(shù)來表示一個具有間斷點的函數(shù),因此三角級數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對和懷疑的處境下,傅里葉約于半個世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級數(shù)的觀點相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強烈反對,傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。在1759年拉格朗日(J.L.Lagrang9書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運用三角級數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分，這個名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)（實際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級數(shù),他列舉大量函數(shù)并運用圖形來說明函數(shù)的這種級數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級數(shù)法,從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動了函數(shù)論的研究，其影響還擴及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實際問題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。”這一見解已成為數(shù)學(xué)史上強調(diào)通過實際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點。書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)10傅立葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點傅立葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正11在工程計算中,無論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時間振動的次數(shù),單位時間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Herz,或Hz).t在工程計算中,無論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時間而變的周12最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt+j)

其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數(shù)sinwt和coswt的線性組合

Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt13人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函14若函數(shù)f(x)以2l為周期，即f(x+2l)=f(x)則可取三角函數(shù)族作為基本函數(shù)族，將f(x)展為傅里葉級數(shù)1傅里葉級數(shù)若函數(shù)f(x)以2l為周期，即f(x+2l)=f(15三角函數(shù)族是兩兩正交的三角函數(shù)族是兩兩正交的16利用上述正交性，可以求得級數(shù)展開的各系數(shù)：稱為傅里葉系數(shù)利用上述正交性，可以求得級數(shù)展開的各系數(shù)：稱為傅里葉系數(shù)17.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要滿足狄里希利(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-l,l]上(1),連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(2),只有有限個極值點則級數(shù)是收斂的，且級數(shù)和={2傅里葉級數(shù)的收斂性.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要18第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:第二類間斷點第一類間斷點左極限及右極限都存在第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:第二類間斷點第一類間斷點左19不滿足狄氏條件的例:而在工程上所應(yīng)用的函數(shù),尤其是物理量的變化函數(shù),全部滿足狄氏條件.實際上不連續(xù)函數(shù)都是嚴(yán)格上講不存在的,但經(jīng)常用不連續(xù)函數(shù)來近似一些函數(shù),使得思維簡單一些.不滿足狄氏條件的例:而在工程上所應(yīng)用的函數(shù),尤其是物理量的20二奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開若f(x)是奇函數(shù)，則ak為0叫做傅里葉正弦級數(shù)，f(0)=f(l)=0二奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開若f(x)是奇函數(shù)，則ak為021若f(x)是偶函數(shù)，則bk為0，展開式為叫做傅里葉余弦級數(shù),f‘(0)=f‘(l)=0若f(x)是偶函數(shù)，則bk為0，展開式為叫做傅里葉余弦級數(shù),22三定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開f(x)定義在（0,l),可以采取延拓的方法，使其成為某種周期函數(shù)g(x),而在(0,l)上，g(x)≡f(x).然后對g(x)作傅立葉級數(shù)展開，該級數(shù)的和在（0,l)上代表f(x).延拓的方式有無數(shù)種，因而展開式也有無數(shù)種，但他們在(0,l)上均代表f(x)。有時，對函數(shù)f(x)邊界的限制就決定了延拓的方式。如要求

f(0)=f(l)=0，則應(yīng)延拓成奇周期函數(shù)，如要求f‘(0)=f‘(l)=0，則應(yīng)延拓成偶的周期函數(shù)。三定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開f(x)定義在（0,l23利用三角函數(shù)的指數(shù)形式四復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù)可將級數(shù)表示為:利用三角函數(shù)的指數(shù)形式四復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù)可將級數(shù)表示為24類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件25實數(shù)形式復(fù)數(shù)形式實數(shù)形式復(fù)數(shù)形式26例定義方波函數(shù)為如圖所示:1-1otf(t)1例定義方波函數(shù)為如圖所示:1-1otf(t)127現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T=4,則1-13T=4f4(t)t求傅立葉級數(shù)展開現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T28則由得1-13T=4f4(t)t則由得1-13T=4f4(t)t29sinc函數(shù)介紹sinc函數(shù)介紹30sinc函數(shù)的圖形:sinc(x)xπ2πsinc函數(shù)的圖形:sinc(x)xπ2π31前面計算出w前面計算出w32現(xiàn)在將周期擴大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)1-17T=8f8(t)t現(xiàn)在將周期擴大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期33則則34則在T=8時,w則在T=8時,w35如果再將周期增加一倍,令T=16,可計算出w如果再將周期增加一倍,令T=16,可計算出w36一般地,對于周期T一般地,對于周期T37當(dāng)周期T越來越大時,各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小,而它們的強度在各個頻率的輪廓則總是sinc函數(shù)的形狀,因此,如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù),則它也可以看作是由無窮多個無窮小的正弦波構(gòu)成,將那個頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是f(t)的各個頻率成份上的分布,稱作f(t)的傅里葉變換.當(dāng)周期T越來越大時,各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小,38§5.2傅立葉積分與傅立葉變換（一）實數(shù)形式的傅立葉積分對任何一個非周期函數(shù)f(x)都可以看成是由某個周期函數(shù)g(x)當(dāng)T=2l時轉(zhuǎn)化而來的.

作周期為T的函數(shù)g(x),使其在[-l,l]之內(nèi)等于f(x),在[-l,l]之外按周期2l延拓到整個數(shù)軸上,則l越大,g(x)與f(x)相等的范圍也越大,這就說明當(dāng)T=2l時,周期函數(shù)g(x)便可轉(zhuǎn)化為f(x),即有§5.2傅立葉積分與傅立葉變換（一）實數(shù)形式的傅立葉積分39g(x)的傅立葉展開式在T→∞時的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù)f(x)的傅立葉展開。g(x)的傅立葉展開式在T→∞時的極限形式就是所要尋找的非周40引入變量則引入變量則41對g(x)展開式的三部分分別討論：有限對g(x)展開式的三部分分別討論：有限42類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件43于是：于是：44周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開ωk=kω=kπ/l(k=0,1,2,…)是分離值周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開ωk=kω=kπ/l(k=45若f(x)在(-,+)上滿足條件:

1,f(x)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;

2,f(x)在無限區(qū)間(-,+)上絕對可積,

則f(x)可表成傅立葉積分，且

積分值=[f(x+0)+f(x-0)]/2。傅氏積分定理若f(x)在(-,+)上滿足條件:

1,f(x)在46討論：討論：47類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件48例矩形函數(shù)為-1tf(t)1oh例矩形函數(shù)為-1tf(t)1oh491/2oh1/2oh50例矩形函數(shù)為-Ttf(t)Toh例矩形函數(shù)為-Ttf(t)Toh51ωoA(ω)2hT/ππ/T2π/T3π/T4π/T頻譜圖是連續(xù)譜，含有一切頻率。TohωoA(ω)2hT/ππ/T2π/T3π/T4π/T頻譜圖是52（二）復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分實數(shù)形式的傅立葉積分可以過渡到復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分（二）復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分實數(shù)形式的傅立葉積分可以過渡到復(fù)數(shù)53得：ω-ω傅里葉積分式得：ω-ω傅里葉積分式54傅里葉變換式傅里葉變換式55可以記為F(w)=F[f(x)]

和

f(x)=F-1[F(w)]F(w)稱作f(t)的象函數(shù),f(x)稱作F(w)的原函數(shù).

可以說象函數(shù)F(w)和原函數(shù)f(x)構(gòu)成了一個傅氏變換對.傅立葉變換傅立葉逆變換(傅里葉積分式)可以記為F(w)=F[f(x)]和f(x)=56傅立葉變換在光學(xué)中的應(yīng)用傅立葉變換在光學(xué)中的應(yīng)用57圖像的信息可以用其透過率函數(shù)表示：t=t（x），可以展成傅立葉積分形式這樣把衍射屏的空間頻率ω的信息以透過率函數(shù)的形式加到了入射光U1上，變?yōu)槌錾涔釻2，分析U2的傅立葉變換函數(shù)u2（ω

），就能得到衍射屏的空間頻率信息，即光學(xué)圖像的樣貌。數(shù)學(xué)上可以將一個復(fù)雜的非周期函數(shù)做傅里葉積分變換，相應(yīng)的在物理上，一個復(fù)雜結(jié)構(gòu)的光學(xué)圖像可以被分解成一系列連續(xù)單頻信息的積分-----傅立葉光學(xué)若用一束復(fù)振幅為U1的平行光照射這個光學(xué)圖像（衍射屏）圖像的信息可以用其透過率函數(shù)表示：t=t（x），可以展成傅立58tf(t)tf(t)59解：這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.解：這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.60Otf(t)Otf(t)61因此有如果令b=1/2,就有可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形函數(shù)因此有如果令b=1/2,就有可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形62周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開ωk=kω=kπ/l(k=0,1,2,…)是分離值review周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開ωk=kω=kπ/l(k=63reviewreview64reviewreview65可以記為F(w)=F[f(x)]

和

f(x)=F-1[F(w)]F(w)稱作f(t)的象函數(shù),f(x)稱作F(w)的原函數(shù).

可以說象函數(shù)F(w)和原函數(shù)f(x)構(gòu)成了一個傅氏變換對.傅立葉變換傅立葉逆變換(傅里葉積分式)review復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分及其系數(shù)表達(dá)式————傅立葉變換對可以記為F(w)=F[f(x)]和f(x)=66三傅立葉變換的基本性質(zhì)1導(dǎo)數(shù)定理

F[f'(x)]=iwF(ω)

0證由傅氏變換的定義,并利用分部積分可得三傅立葉變換的基本性質(zhì)1導(dǎo)數(shù)定理0證由傅氏變換的67推論

F[f(n)(x)]=(iw)nF[f(x)].同樣,我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,設(shè)

F[f(x)]=F(w),則推論682.積分定理2.積分定理693相似性定理證：3相似性定理證：704.延遲定理證由傅氏變換的定義,可知令x-x0=u4.延遲定理證由傅氏變換的定義,可知令x-x0=u715位移定理證：5位移定理證：726卷積定理若F1(w)=F[f1(x)],F2(w)=F[f2(x)],則證按傅氏變換的定義,有6卷積定理若F1(w)=F[f1(x)],F73類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件74運用傅氏變換的微分性質(zhì)以及積分性質(zhì),可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,通過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換,就可以得到此微分方程的解.另外,傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的方法之一.1導(dǎo)數(shù)定理

F[f(n)(x)]=(iw)nF[f(x)].

2.積分定理運用傅氏變換的微分性質(zhì)以及積分性質(zhì),可以把線性常系數(shù)微分方75例求微分積分方程解:根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì),F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).在方程兩邊取傅氏變換,可得

的解,其中<t<+,a,b,c均為常數(shù).例求微分積分方程解:根據(jù)傅氏變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì),76x(t)=F

-1[X(w)],x(t)=F-1[X(w)],77在物理和工程技術(shù)中,常常會碰到單位脈沖函數(shù).因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流;在力學(xué)中,要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等.研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).§5.3δ函數(shù)在物理和工程技術(shù)中,常常會碰到單位脈沖函數(shù).因為有許多物78在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設(shè)為t=0)進入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則由于電流強度是電荷函數(shù)對時間的變化率,即所以,當(dāng)t0時,i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的.在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設(shè)為t=0)進入一單位電79如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度.為了確定這樣的電流強度,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡單記成d-函數(shù).有了這種函數(shù),對于許多集中于一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類80二d-函數(shù)的定義與性質(zhì)（1）定義二d-函數(shù)的定義與性質(zhì)（1）定義81奇偶性δ（-x)=δ(x),δ’（-x)=-δ’(x)（2）性質(zhì)奇偶性（2）性質(zhì)82三d-函數(shù)的傅立葉變換d-函數(shù)的傅氏積分為:三d-函數(shù)的傅立葉變換d-函數(shù)的傅氏積分為:83例求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換例求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換84如圖所示:tsint1/21/2-w0w0Ow|F(w)|如圖所示:tsint1/21/2-w0w0Ow|F(w)|85在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)的頻譜.在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),8631、只有永遠(yuǎn)躺在泥坑里的人，才不會再掉進坑里?！诟駹?/p>

32、希望的燈一旦熄滅，生活剎那間變成了一片黑暗。——普列姆昌德

33、希望是人生的乳母?！撇卟?/p>

34、形成天才的決定因素應(yīng)該是勤奮?！?/p>

35、學(xué)到很多東西的訣竅，就是一下子不要學(xué)很多?！蹇?1、只有永遠(yuǎn)躺在泥坑里的人，才不會再掉進坑里87類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)ppt課件56、極端的法規(guī)，就是極端的不公?！魅_57、法律一旦成為人們的需要，人們就不再配享受自由了?！呥_(dá)哥拉斯58、法律規(guī)定的懲罰不是為了私人的利益，而是為了公共的利益；一部分靠有害的強制，一部分靠榜樣的效力?！窭闲闼?9、假如沒有法律他們會更快樂的話，那么法律作為一件無用之物自己就會消滅?！蹇?0、人民的幸福是至高無個的法?！魅_類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)ppt課件類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)ppt課件56、極端的法規(guī)，就是極端的不公。——西塞羅57、法律一旦成為人們的需要，人們就不再配享受自由了?！呥_(dá)哥拉斯58、法律規(guī)定的懲罰不是為了私人的利益，而是為了公共的利益；一部分靠有害的強制，一部分靠榜樣的效力。——格老秀斯59、假如沒有法律他們會更快樂的話，那么法律作為一件無用之物自己就會消滅?！蹇?0、人民的幸福是至高無個的法。——西塞羅類型1.形如的積分,其中R(cosx,sinx)為cosx與sinx的有理函數(shù).令z=eix,則dz=ieixdx=izdx§4.2留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的88類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件89類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件90類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件91類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件92第五章傅里葉(Fourier)變換掌握Fourier級數(shù)的展開方法掌握Fourier積分與Fourier變換方法了解δ函數(shù)的基本性質(zhì)第五章傅里葉(Fourier)變換掌握Fourier級數(shù)93第五章傅里葉(Fourier)變換§5.1傅里葉級數(shù)一.周期函數(shù)的傅里葉展開第五章傅里葉(Fourier)變換§5.1傅里葉級數(shù)一94傅立葉

傅立葉(公元1768年～1830年),法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡，被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。17歲回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)，1794到巴黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。

傅立葉95在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級數(shù)來表示一個具有間斷點的函數(shù),因此三角級數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對和懷疑的處境下,傅里葉約于半個世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級數(shù)的觀點相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強烈反對,傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。在1759年拉格朗日(J.L.Lagrang96書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運用三角級數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分，這個名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)（實際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級數(shù),他列舉大量函數(shù)并運用圖形來說明函數(shù)的這種級數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級數(shù)法,從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動了函數(shù)論的研究，其影響還擴及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實際問題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉?！边@一見解已成為數(shù)學(xué)史上強調(diào)通過實際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點。書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)97傅立葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點傅立葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正98在工程計算中,無論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時間振動的次數(shù),單位時間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Herz,或Hz).t在工程計算中,無論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時間而變的周99最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt+j)

其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數(shù)sinwt和coswt的線性組合

Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt100人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函101若函數(shù)f(x)以2l為周期，即f(x+2l)=f(x)則可取三角函數(shù)族作為基本函數(shù)族，將f(x)展為傅里葉級數(shù)1傅里葉級數(shù)若函數(shù)f(x)以2l為周期，即f(x+2l)=f(102三角函數(shù)族是兩兩正交的三角函數(shù)族是兩兩正交的103利用上述正交性，可以求得級數(shù)展開的各系數(shù)：稱為傅里葉系數(shù)利用上述正交性，可以求得級數(shù)展開的各系數(shù)：稱為傅里葉系數(shù)104.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要滿足狄里希利(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-l,l]上(1),連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(2),只有有限個極值點則級數(shù)是收斂的，且級數(shù)和={2傅里葉級數(shù)的收斂性.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要105第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:第二類間斷點第一類間斷點左極限及右極限都存在第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:第二類間斷點第一類間斷點左106不滿足狄氏條件的例:而在工程上所應(yīng)用的函數(shù),尤其是物理量的變化函數(shù),全部滿足狄氏條件.實際上不連續(xù)函數(shù)都是嚴(yán)格上講不存在的,但經(jīng)常用不連續(xù)函數(shù)來近似一些函數(shù),使得思維簡單一些.不滿足狄氏條件的例:而在工程上所應(yīng)用的函數(shù),尤其是物理量的107二奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開若f(x)是奇函數(shù)，則ak為0叫做傅里葉正弦級數(shù)，f(0)=f(l)=0二奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開若f(x)是奇函數(shù)，則ak為0108若f(x)是偶函數(shù)，則bk為0，展開式為叫做傅里葉余弦級數(shù),f‘(0)=f‘(l)=0若f(x)是偶函數(shù)，則bk為0，展開式為叫做傅里葉余弦級數(shù),109三定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開f(x)定義在（0,l),可以采取延拓的方法，使其成為某種周期函數(shù)g(x),而在(0,l)上，g(x)≡f(x).然后對g(x)作傅立葉級數(shù)展開，該級數(shù)的和在（0,l)上代表f(x).延拓的方式有無數(shù)種，因而展開式也有無數(shù)種，但他們在(0,l)上均代表f(x)。有時，對函數(shù)f(x)邊界的限制就決定了延拓的方式。如要求

f(0)=f(l)=0，則應(yīng)延拓成奇周期函數(shù)，如要求f‘(0)=f‘(l)=0，則應(yīng)延拓成偶的周期函數(shù)。三定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開f(x)定義在（0,l110利用三角函數(shù)的指數(shù)形式四復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù)可將級數(shù)表示為:利用三角函數(shù)的指數(shù)形式四復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù)可將級數(shù)表示為111類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件112實數(shù)形式復(fù)數(shù)形式實數(shù)形式復(fù)數(shù)形式113例定義方波函數(shù)為如圖所示:1-1otf(t)1例定義方波函數(shù)為如圖所示:1-1otf(t)1114現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T=4,則1-13T=4f4(t)t求傅立葉級數(shù)展開現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),令T115則由得1-13T=4f4(t)t則由得1-13T=4f4(t)t116sinc函數(shù)介紹sinc函數(shù)介紹117sinc函數(shù)的圖形:sinc(x)xπ2πsinc函數(shù)的圖形:sinc(x)xπ2π118前面計算出w前面計算出w119現(xiàn)在將周期擴大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)1-17T=8f8(t)t現(xiàn)在將周期擴大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期120則則121則在T=8時,w則在T=8時,w122如果再將周期增加一倍,令T=16,可計算出w如果再將周期增加一倍,令T=16,可計算出w123一般地,對于周期T一般地,對于周期T124當(dāng)周期T越來越大時,各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小,而它們的強度在各個頻率的輪廓則總是sinc函數(shù)的形狀,因此,如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù),則它也可以看作是由無窮多個無窮小的正弦波構(gòu)成,將那個頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是f(t)的各個頻率成份上的分布,稱作f(t)的傅里葉變換.當(dāng)周期T越來越大時,各個頻率的正弦波的頻率間隔越來越小,125§5.2傅立葉積分與傅立葉變換（一）實數(shù)形式的傅立葉積分對任何一個非周期函數(shù)f(x)都可以看成是由某個周期函數(shù)g(x)當(dāng)T=2l時轉(zhuǎn)化而來的.

作周期為T的函數(shù)g(x),使其在[-l,l]之內(nèi)等于f(x),在[-l,l]之外按周期2l延拓到整個數(shù)軸上,則l越大,g(x)與f(x)相等的范圍也越大,這就說明當(dāng)T=2l時,周期函數(shù)g(x)便可轉(zhuǎn)化為f(x),即有§5.2傅立葉積分與傅立葉變換（一）實數(shù)形式的傅立葉積分126g(x)的傅立葉展開式在T→∞時的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù)f(x)的傅立葉展開。g(x)的傅立葉展開式在T→∞時的極限形式就是所要尋找的非周127引入變量則引入變量則128對g(x)展開式的三部分分別討論：有限對g(x)展開式的三部分分別討論：有限129類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件130于是：于是：131周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開ωk=kω=kπ/l(k=0,1,2,…)是分離值周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開ωk=kω=kπ/l(k=132若f(x)在(-,+)上滿足條件:

1,f(x)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;

2,f(x)在無限區(qū)間(-,+)上絕對可積,

則f(x)可表成傅立葉積分，且

積分值=[f(x+0)+f(x-0)]/2。傅氏積分定理若f(x)在(-,+)上滿足條件:

1,f(x)在133討論：討論：134類型1形如的積分其中Rcosxsinx為cosx與sinx的有理函數(shù)課件135例矩形函數(shù)為-1tf(t)1oh例矩形函數(shù)為-1tf(t)1oh1361/2oh1/2oh137例矩形函數(shù)為-Ttf(t)Toh例矩形函數(shù)為-Ttf(t)Toh138ωoA(ω)2hT/ππ/T2π/T3π/T4π/T頻譜圖是連續(xù)譜，含有一切頻率。TohωoA(ω)2hT/ππ/T2π/T3π/T4π/T頻譜圖是139（二）復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分實數(shù)形式的傅立葉積分可以過渡到復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分（二）復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分實數(shù)形式的傅立葉積分可以過渡到復(fù)數(shù)140得：ω-ω傅里葉積分式得：ω-ω傅里葉積分式141傅里葉變換式傅里葉變換式142可以記為F(w)=F[f(x)]

和

f(x)=F-1[F(w)]F(w)稱作f(t)的象函數(shù),f(x)稱作F(w)的原函數(shù).

可以說象函數(shù)F(w)和原函數(shù)f(x)構(gòu)成了一個傅氏變換對.傅立葉變換傅立葉逆變換(傅里葉積分式)可以記為F(w)=F[f(x)]和f(x)=143傅立葉變換在光學(xué)中的應(yīng)用傅立葉變換在光學(xué)中的應(yīng)用144圖像的信息可以用其透過率函數(shù)表示：t=t（x），可以展成傅立葉積分形式這樣把衍射屏的空間頻率ω的信息以透過率函數(shù)的形式加到了入射光U1上，變?yōu)槌錾涔釻2，分析U2的傅立葉變換函數(shù)u2（ω

），就能得到衍射屏的空間頻率信息，即光學(xué)圖像的樣貌。數(shù)學(xué)上可以將一個復(fù)雜的非周期函數(shù)做傅里葉積分變換，相應(yīng)的在物理上，一個復(fù)雜結(jié)構(gòu)的光學(xué)圖像可以被分解成一系列連續(xù)單頻信息的積分-----傅立葉光學(xué)若用一束復(fù)振幅為U1的平行光照射這個光學(xué)圖像（衍射屏）圖像的信息可以用其透過率函數(shù)表示：t=t（x），可以展成傅立145tf(t)tf(t)146解：這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.解：這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.147Otf(t)Otf(t)148因此有如果令b=1/2,就有可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形函數(shù)因此有如果令b=1/2,就有可見鐘形函數(shù)的傅氏變換也是鐘形149周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開ωk=kω=kπ/l(k=0,1,2,…)是分離值review周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開ωk=kω=kπ/l(k=150reviewreview151reviewreview152可以記為F(w)=F[f(x)]

和

f(x)=F-1[F(w)]F(w)稱作f(t)的象函數(shù),f(x)稱作F(w)的原函數(shù).

可以說象函數(shù)F(w)和原函數(shù)f(x)構(gòu)成了一個傅氏變換對.傅立葉變換傅立葉逆變換(傅里葉積分式)review復(fù)數(shù)形式的傅立葉積分及其系數(shù)表達(dá)式————傅立葉變換對可以記為F(w)=F[f(x)]和f(x)=153三傅立葉變換的基本性質(zhì)1導(dǎo)數(shù)定理

F[f'(x)]=iwF(ω)

0證由傅氏變換的定義,并利用分部積分可得三傅立葉變換的基本性質(zhì)1導(dǎo)數(shù)定理0證由傅氏變換的154推論

F[f(n)(x)]=(iw)nF[f(x)].同樣,我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,設(shè)

F[f(x)]=F(w),則推論1552.積分定理2.積分定理1563相似性定理證：3相似性定理證：1574.延遲定理證由傅氏變換的定義,可知令x-x0=u4.延遲定理證由傅氏變換的定義,可知令x-x0=u1585位移定理證：5位移定理證：1596卷積定理若F1(w)=F[f1(x)],F2(w)=