坐標表象中的動量算符課件

三、坐標表象中的動量算符1.由

得或即p在坐標表象的矩陣元為且

動量算符在坐標表象的表示，是從動量算符的基本性質(zhì)中推導出來的.類似可證；三、坐標表象中的動量算符1.由四、動量空間的波函數(shù)

，，

展開系數(shù)具有與類似的幾率解釋，即

是在處范圍內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率，或者說是測得粒子動量為附近范圍內(nèi)的幾率。

常被稱為動量空間波函數(shù)：

若歸一，則

四、動量空間的波函數(shù)

五、x表象與p表象的聯(lián)系

由x-表象到p-表象的變換函數(shù)而聯(lián)系

由得是動量本征態(tài)在x-表象的波函數(shù)。可見動量本征態(tài)波函數(shù)是一平面波，這一結(jié)論無需通過求解方程。除相位因子處，歸一常數(shù)c可定出為，即因，可知坐標空間波函數(shù)與動量空間波函數(shù)的關(guān)系為，類似有

與前面的關(guān)系互為付氏變換五、x表象與p表象的聯(lián)系

六(1/2)、高斯波包：

即波矢為k的平面波受中心位于原點的高斯輪廓調(diào)制而得的函數(shù)，粒子出現(xiàn)于距原點大于d處的幾率以高斯形式衰減。高斯波包是滿足最小測不準原理的波包:

；x的色散為類似可求得；六(1/2)、高斯波包：

六(2/2)、高斯波包：

動量空間的高斯波包為即動量空間的高斯波包波函數(shù)也具有高斯函數(shù)的形式，只是展開與坐標空間的展寬成反比。在x空間的展寬越大則在p空間展寬越小,反之亦然。在x空間無限延展的平面波具有確定的動量值，而具有確定位置的態(tài)則在p空間是無限延展的平面波。六(2/2)、高斯波包：

動量空間的高斯波包為七、對三維的推廣

上面一維空間的表達式很容易推廣到三維，需要的變動包括：七、對三維的推廣上面一維空間的表達式很容易推廣到三維，需要第二章：量子動力學

(物理狀態(tài)和觀測量隨時間的變化)2.1時間演化和方程時間在量子力學中是參量而非算符，不是可觀測量。相對性量子理論通過將位置作為參量而將時空對等處理相對論時空觀：時間-空間、能量-動量相互轉(zhuǎn)化能量量子化

動量量子化波：波長、頻率;粒子：動量、能量能量=普朗克常數(shù)x波的頻率

某方向動量=普朗克常數(shù)x該方向波數(shù)deBroglie波提供了適用于所有物理基本單元的新原理：將世界看做由多場而非多點粒子作用組成而使所有物理得到統(tǒng)一deBroglie波是對牛頓力學基本概念的顛覆，并直接啟發(fā)了薛定諤波方程一、時間演化算符第二章：量子動力學(物理狀態(tài)和觀測量隨時間的變化)2.二、時間演化算符的性質(zhì)

1.(時間的)連續(xù)性

2.幺正性（幾率守恒）

即對，

有

3.結(jié)合性：

二、時間演化算符的性質(zhì)

1.(時間的)連續(xù)性三、時間演化算符的表達

與空間平移相似，考慮無窮小時間演化算符：算符的連續(xù)性、幺正性和組合性可由且為厄米算符來滿足。考慮到的量綱與頻率相同和經(jīng)典力學中Hamiltonian是時間演化的生成元，可合理地將寫為，即這里的與坐標平移算子中的相同，否則將推不出量子力學的經(jīng)典極限即牛頓運動定律三、時間演化算符的表達與空間平移相似，考慮無窮小時間演化算四、薛定諤方程

1.時間演化算符的薛定諤方程由((t-t0)不必為無窮小)有即2.態(tài)矢時間演化的薛定諤方程對態(tài)矢，有或當然，若知，并知其對初態(tài)的作用，則無需解此方程。四、薛定諤方程1.時間演化算符的薛定諤方程五、時間演化算符的形式解

H與t無關(guān)，如穩(wěn)恒磁場與磁矩的相互作用此時容易解得2.

，但，如方向恒定的交變磁場。則：

容易驗證該滿足方程：3.不同時的H不對易，如磁場方向隨時間而變的自旋磁場作用此時的解為

在這一章中我們主要討論第一種情形。五、時間演化算符的形式解H與t無關(guān)，如穩(wěn)恒磁場與磁矩六、能量本征矢

知道時間演化算符隨時間變化，還需知它如何作用于一態(tài)矢才能求出態(tài)矢的時間變化。如果選用能量本征態(tài)矢為基，則時間演化算符對態(tài)的作用可輕易求得。；有；即展開系數(shù)的模不變，但相位變化了。由于不同分量的相對相位發(fā)生變化，與可以是完全不同的。對，則，態(tài)保持為H與A的共同本征態(tài)。六、能量本征矢知道時間演化算符隨時間變化，還需知它如何作六、能量本征矢（續(xù)）

由上討論可見量子力學的基本任務是找出與H對易的觀測量及其本征態(tài)。將初態(tài)由這個觀測量的本征態(tài)展開，便可求出態(tài)隨時間的變化。對有簡并情形，我們需要找出一組完整的相互對易且與H對易的算符,并用它們的共同本征態(tài)為基。該基一般用組合指標表征，這樣,將任意態(tài)以展開將可求得其時間的演化了。

六、能量本征矢（續(xù)）七、期望值的時間演化

1.由于：即任何觀測量對能量本征態(tài)的期望值都不隨時間變化。因此,能量本征態(tài)被稱為定態(tài)。2.對一般態(tài)：

可見期望值一般是隨時間變化的。3.對也是B的本征態(tài)之特例（B與H對易），則不隨時間變化

（與H對易的觀測量是運動的常數(shù)）七、期望值的時間演化1.由于：作業(yè)1.29,1.32,1.332.2作業(yè)1.29,1.32,1.33三、坐標表象中的動量算符1.由

得或即p在坐標表象的矩陣元為且

動量算符在坐標表象的表示，是從動量算符的基本性質(zhì)中推導出來的.類似可證；三、坐標表象中的動量算符1.由四、動量空間的波函數(shù)

，，

展開系數(shù)具有與類似的幾率解釋，即

是在處范圍內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率，或者說是測得粒子動量為附近范圍內(nèi)的幾率。

常被稱為動量空間波函數(shù)：

若歸一，則

四、動量空間的波函數(shù)

五、x表象與p表象的聯(lián)系

由x-表象到p-表象的變換函數(shù)而聯(lián)系

由得是動量本征態(tài)在x-表象的波函數(shù)?？梢妱恿勘菊鲬B(tài)波函數(shù)是一平面波，這一結(jié)論無需通過求解方程。除相位因子處，歸一常數(shù)c可定出為，即因，可知坐標空間波函數(shù)與動量空間波函數(shù)的關(guān)系為，類似有

與前面的關(guān)系互為付氏變換五、x表象與p表象的聯(lián)系

六(1/2)、高斯波包：

即波矢為k的平面波受中心位于原點的高斯輪廓調(diào)制而得的函數(shù)，粒子出現(xiàn)于距原點大于d處的幾率以高斯形式衰減。高斯波包是滿足最小測不準原理的波包:

；x的色散為類似可求得；六(1/2)、高斯波包：

六(2/2)、高斯波包：

動量空間的高斯波包為即動量空間的高斯波包波函數(shù)也具有高斯函數(shù)的形式，只是展開與坐標空間的展寬成反比。在x空間的展寬越大則在p空間展寬越小,反之亦然。在x空間無限延展的平面波具有確定的動量值，而具有確定位置的態(tài)則在p空間是無限延展的平面波。六(2/2)、高斯波包：

動量空間的高斯波包為七、對三維的推廣

上面一維空間的表達式很容易推廣到三維，需要的變動包括：七、對三維的推廣上面一維空間的表達式很容易推廣到三維，需要第二章：量子動力學

(物理狀態(tài)和觀測量隨時間的變化)2.1時間演化和方程時間在量子力學中是參量而非算符，不是可觀測量。相對性量子理論通過將位置作為參量而將時空對等處理相對論時空觀：時間-空間、能量-動量相互轉(zhuǎn)化能量量子化

動量量子化波：波長、頻率;粒子：動量、能量能量=普朗克常數(shù)x波的頻率

某方向動量=普朗克常數(shù)x該方向波數(shù)deBroglie波提供了適用于所有物理基本單元的新原理：將世界看做由多場而非多點粒子作用組成而使所有物理得到統(tǒng)一deBroglie波是對牛頓力學基本概念的顛覆，并直接啟發(fā)了薛定諤波方程一、時間演化算符第二章：量子動力學(物理狀態(tài)和觀測量隨時間的變化)2.二、時間演化算符的性質(zhì)

1.(時間的)連續(xù)性

2.幺正性（幾率守恒）

即對，

有

3.結(jié)合性：

二、時間演化算符的性質(zhì)

1.(時間的)連續(xù)性三、時間演化算符的表達

與空間平移相似，考慮無窮小時間演化算符：算符的連續(xù)性、幺正性和組合性可由且為厄米算符來滿足。考慮到的量綱與頻率相同和經(jīng)典力學中Hamiltonian是時間演化的生成元，可合理地將寫為，即這里的與坐標平移算子中的相同，否則將推不出量子力學的經(jīng)典極限即牛頓運動定律三、時間演化算符的表達與空間平移相似，考慮無窮小時間演化算四、薛定諤方程

1.時間演化算符的薛定諤方程由((t-t0)不必為無窮小)有即2.態(tài)矢時間演化的薛定諤方程對態(tài)矢，有或當然，若知，并知其對初態(tài)的作用，則無需解此方程。四、薛定諤方程1.時間演化算符的薛定諤方程五、時間演化算符的形式解

H與t無關(guān)，如穩(wěn)恒磁場與磁矩的相互作用此時容易解得2.

，但，如方向恒定的交變磁場。則：

容易驗證該滿足方程：3.不同時的H不對易，如磁場方向隨時間而變的自旋磁場作用此時的解為

在這一章中我們主要討論第一種情形。五、時間演化算符的形式解H與t無關(guān)，如穩(wěn)恒磁場與磁矩六、能量本征矢

知道時間演化算符隨時間變化，還需知它如何作用于一態(tài)矢才能求出態(tài)矢的時間變化。如果選用能量本征態(tài)矢為基，則時間演化算符對態(tài)的作用可輕易求得。；有