五年級上冊數(shù)學奧數(shù)專題系列-容斥原理 抽屜原理 滬教版 （含答案）

課程主題：容斥原理+抽屜原理學習目標課前熱身：在一些計數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關集合元素個數(shù)的計算。求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復計算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)，用式子可表示成：(其中符號“”讀作“并”，相當于中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當于中文“且"的意思。)，則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理。圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積。1、先包含——重疊部分計算了次，多加了次；2、再排除——把多加了次的重疊部分減去。包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合的并集的元素的個數(shù)，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合的元素個數(shù)，然后加起來，即先求（意思是把的一切元素都“包含”進來，加在一起）；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數(shù)，即減去（意思是“排除”了重復計算的元素個數(shù)）。類、類與類元素個數(shù)的總和類元素的個數(shù)類元素個數(shù)類元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)同時是類、類、類的元素個數(shù)。用符號表示為：圖示如下：圖中小圓表示的元素的個數(shù)，中圓表示的元素的個數(shù)，大圓表示的元素的個數(shù)。先包含——、、重疊了次，多加了次。再排除——重疊部分重疊了次，但是在進行計算時都被減掉了。3。再包含——最不利原則所謂“最不利原則”是指完成某一項工作先從最不利的情況下考慮，然后研究任意情況下可能的結果。由此得到充分可靠的結論。抽屜原理又稱鴿巢原理或Dirichlet原理抽屜原理有時也被稱為鴿籠原理，它由德國數(shù)學家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則。抽屜原理是組合數(shù)學中一個重要而又基本的數(shù)學原理，利用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用。許多看起來相當復雜，甚至無從下手的問題，在利用抽屜原理后，能很快使問題得到解決。第一抽屜原理：一、將多于件的物品任意放到個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于件；二、將多于件的物品任意放到個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于件。第二抽屜原理：一、將少于件的物品任意放到個抽屜中，其中必有一個抽屜中沒有物體。二、把個物體放入個抽屜，其中必有一個抽屜中至多有個物體。平均值原理：如果個數(shù)的平均值為，那么其中至少有一個數(shù)不大于，也至少有一個不小于。運用抽屜原理求解的較為復雜的組合計算與證明問題．這里不僅“抽屜”與“蘋果”需要恰當?shù)卦O計與選取，而且有時還應構造出達到最佳狀態(tài)的例子．抽屜原理的解題方案（一）、利用公式進行解題蘋果÷抽屜＝商……余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)＝1，結論：至少有（商＋1）個蘋果在同一個抽屜里（2）余數(shù)＝，結論：至少有（商＋1）個蘋果在同一個抽屜里（3）余數(shù)＝0，結論：至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里（二）、利用最值原理解題將題目中沒有闡明的量進行極限討論，將復雜的題目變得非常簡單，也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法．知識精講：兩者容斥：兩張長厘米，寬厘米的長方形紙擺放成如圖形狀。把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？【分析】被覆蓋面積=長方形面積之和重疊部分。被覆蓋面積（平方厘米）。一個長方形長厘米，寬厘米，另一個長方形長厘米，寬厘米，它們中間重疊的部分是一個邊長厘米的正方形，求這個組合圖形的面積?！痉治觥拷M合圖形的面積=長方形面積之和重疊部分。組合圖形的面積（平方厘米）。某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有人，參加軍棋比賽的有人，有人兩項比賽都參加了，這個班參加棋類比賽的共有多少人？【分析】根據(jù)包含排除法直接得：（人）。（第二屆小學迎春杯數(shù)學競賽）有位旅客，其中有人既不懂英語又不懂俄語，有人懂英語，人懂俄語。問既懂英語又懂俄語的有多少人？【分析】（法）在人中懂英語或俄語的有：（人）。又因為有人懂英語，所以只懂俄語的有：（人）。從位懂俄語的旅客中除去只懂俄語的人，剩下的人就是既懂英語又懂俄語的旅客。（法）在人中懂英語或俄語的有：（人）學會把公式進行適當?shù)米儞Q，由包含與排除原理，得：（人）五一小學一共六個年級，舉行各年級學生畫展，其中幅不是六年級的，幅不是五年級的?，F(xiàn)在知道五、六年級共展出幅畫，問：其它年級共展出多少幅畫？【分析】（方法一）其中幅不是六年級的，則年級共展出幅，幅不是五年級的，則年級與年級共展出幅，五、六年級共展出幅畫，令年級展出的共有幅，則，解得，其它年級共展出幅畫。（方法二）人。在前個非零自然數(shù)中，能被或整除的數(shù)有多少個？【分析】如圖所示，圓內(nèi)是前個自然數(shù)中所有能被整除的數(shù)，圓內(nèi)是前個自然數(shù)中所有能被整除的數(shù)，為前個自然數(shù)中既能被整除也能被整除的數(shù)。前個自然數(shù)中能被整除的數(shù)有：(個)。由知，前個自然數(shù)中能被整除的數(shù)有：個。由知，前個自然數(shù)中既能被整除也能被整除的數(shù)有個。所以中有個數(shù)，中有個數(shù)，中有個數(shù)。因為，都包含，根據(jù)包含排除法得到，能被或整除的數(shù)有：(個)。求這個自然數(shù)既不能被整除又不能被整除的自然數(shù)有多少個？【分析】容斥原理。因為，所以在自然數(shù)中，能被整除的自然數(shù)有個；因為，所以在自然數(shù)中，能被整除的自然數(shù)有個；因為，所以在自然數(shù)中，既能被整除又能被整除的自然數(shù)有個；由容斥原理，在自然數(shù)中，能被整除或能被整除的自然數(shù)有個；在自然數(shù)中，既不能被整除又不能被整除的自然數(shù)有個。三者容斥：學而思組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行，參加圍棋比賽的有人，參加中國象棋比賽的有人，參加國際象棋比賽的有人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽的有人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的有人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的有人，其中三種棋賽都參加的有人，問參加棋類比賽的共有多少人？【分析】根據(jù)公式：，參加棋類比賽的總人數(shù)為：（人）。有三個面積各為平方厘米的圓，兩兩重疊的面積分別為平方厘米、平方厘米、平方厘米，三個圓共同重疊的面積為平方厘米（如圖）。三個圓共蓋住多大面積？【分析】三個圓共蓋住面積：平方厘米如圖，已知甲乙丙三個圓的面積都是，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為，，，三個圓覆蓋的總面積為，求空白部分的面積.【分析】由圖中關系可得：三個圓的公共部分面積應該為，所以陰影部分面積為，空白部分面積為。在至的自然數(shù)中，不能被整除，又不能被整除，還不能被整除的數(shù)有多少個？，【分析】在至的自然數(shù)中，或能被整除，或能被整除，或能被整除的自然數(shù)的個數(shù)是。所以，在至的自然數(shù)中，不能被整除，又不能被整除，還不能被整除的數(shù)有（個）。有三個面積各為平方厘米的圓紙片放在桌面上。三個紙片共同重疊的面積是平方厘米，三個紙片蓋住桌面的總面積是平方厘米。問：圖中陰影部分的面積之和是多少？【分析】設陰影部分為，則，解得?；蛘咂椒嚼迕字炼嗯c至少：（第六屆“中環(huán)杯”五年級初賽）甲、乙、丙三人澆花，甲澆了盆，乙澆了盆，丙澆了盆。已知共有花盆，則三人都澆了的花至少有多少盆？【分析】甲乙丙一共澆花次若要三人都澆的花盡可能的少，那么每盆花澆次三人都澆的花至少有盆一個班有若干個學生，其中會游泳的有人，會打乒乓的有人，會下象棋的有人，三樣都會的有人，那么只會兩樣的至多有幾人？【分析】一共人次只會兩樣的至多人某班有人,其中人會騎自行車,人打乒乓,人會打羽毛球,人會游泳,這個班上以上四項運動都會至少有多少人？【分析】一共次若要四項運動盡可能的少，那么每人會項運動四項運動都會的至少有人抽屜原理：數(shù)學興趣小組共人，有一個同學在某一天對大家宣布一個猜想：“我們中間必定有兩個人生日處在同一個月份”，你知道他是怎么知道的嗎？因為數(shù)學興趣小組的人數(shù)超過了個人，而一年中只有個月份，根據(jù)抽屜原理一，他就可以得出以上結論了。某小學有名學生，證明其中必定有兩名學生是同一天的生日。一年至多是天，把這些不同日期看作是抽屜，將名同學看作是物體，把個物體放在不超過個抽屜里面，至少有一個抽屜的物品不少于個，也就是說這兩個物體所代表的同學就是同一天的生日。有個小朋友特別勤奮，在暑假里每天都會做奧數(shù)題，已知他一共做了道，媽媽說假期中他過生日那天不止做了一道數(shù)學題。問他這個假期最多有多少天？根據(jù)抽屜原理，如果假期里面的每天看作是抽屜，把道題看作是物品，因為知道每個抽屜都有物品并且某個抽屜中放的物品不少于件，所以抽屜數(shù)一定小于，所以抽屜數(shù)至多是，也就是說假期最多有天。（第九屆“中環(huán)杯”小學生思維能力訓練活動五年級初賽動手動腦題第3題）能否在行列的方格表的每個空格中分別填入這三個數(shù)中的任何一個，使得每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和互不相同？為什么？不可能。因為每行每列每對角線上的和最小為，和最大為,共有個互不相同的數(shù)，而行、列和兩條對角線上共有個和，根據(jù)抽屜原理，必定有兩個和是相等的。一副撲克牌，共張，問至少從中摸出多少張牌才能保證有張牌的花色相同？從最壞的情況考慮：先摸出兩張牌，分別是大王和小王，然后再把四種花色各摸出四張，此時一共摸出張牌，如果再摸一張就會出現(xiàn)至少有張牌的花色相同，即至少需要摸出張牌才可以保證至少有張牌的花色相同。一副張的撲克牌，至少需要摸出多少張，才可以保證所有花色的牌都有？從最壞的情況考慮：先摸出兩張王牌，然后挑選三種花色摸光，此時一共摸了張牌，再摸一張就可以保證所有花色的牌都有。一副張的撲克牌，至少需要摸出多少張，才可以保證有張梅花和張紅桃？從最壞的情況考慮：先摸出兩張王牌，然后摸出所有的方塊和黑桃，共計張牌，接著就是最關鍵也是最容易出錯的地方，那就是什么是最壞的情況。因為要保證有張梅花和張紅桃，所以我們只需要不符合其中一個即可，比如摸到了張梅花和張紅桃就是不符合要求的（想想看為什么張紅桃和張梅花為什么不是最壞的情況？），但是如果再摸一張就必定符合要求了，所以至少需要摸出張。復雜的抽屜原理：幼兒園買來許多牛、馬、羊、狗塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，但不能是同樣的，問：至少有多少個小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同？從四種玩具中挑選不同的兩件，所有的搭配有以下組：牛、馬；牛、羊；牛、狗；馬、羊；馬、狗；羊、狗．個。把每一組搭配看作一個“抽屜”，共個抽屜．根據(jù)抽屜原理，至少要有個小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同。體育用品的倉庫里有許多的足球、籃球和排球，有個同學來倉庫拿球，要求每個人至少拿一個，最多拿兩個球，問至少有多少名同學所拿球的種類完全一樣？以拿球配組的方式為抽屜，每人拿一個或者兩個球，所以抽屜有：足，籃，排，足足，籃籃，排排，足籃，足排，籃排共種情況，即有個抽屜，則：，于是至少有個同學所拿球的種類是一樣的。在邊長為米的正方形中，任意放個點，求證：必定有四個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形的面積不超過平方米。將大正方形分成個邊長為的小正方形，則把個小正方形看作是抽屜，有

，從而必定有個點處于同一個抽屜，也就是這四個點在同一個小正方形里面，由于每個小正方形面積都不超過平方米，所以這四個點組成的四邊形的面積也必定不超過平方米。從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能選出幾個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的2倍?（方法一）直接從1開始選1，3，4，5，7，9，11，12，這樣可以選出8個數(shù)；而從2開始選2，3，5，7，8，9，11，12，這樣也是可以選出8個數(shù)．3包含在組內(nèi)，因此只用考慮這兩種情況即可．所以，在滿足題意情況下，最多可以選出8個數(shù)．（方法二）我們知道選多少個奇數(shù)均滿足，有1，3，5，7，9，11均為奇數(shù)，并且有偶數(shù)中4的倍數(shù)，但不是8的倍數(shù)的也滿足，有4，12是這樣的數(shù)．所以，在滿足題意情況下最多可以選出8個數(shù)．甲、乙二人分別為一個正方形的條棱涂紅、綠種顏色。首先，甲任選條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的條棱都涂上紅色。問：甲是否一定能將某一面的條棱全部涂上紅色？如圖將條棱按照兩兩互相異面垂直的條棱分為一組，共分成組：第一組：（、、）；第二組：（、、）；第三組：（、、）；第四組：（、、）。無論甲第一次將哪條棱涂紅，由抽屜原理知組中必有一組的條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的條棱涂綠，甲就無法將某一面的條棱全部涂紅了。作業(yè)1、在人參加的采摘活動中，只采了櫻桃的有人，既采了櫻桃又采了杏的有人，既沒采櫻桃又沒采杏的有人，問：只采了杏的有多少人？【分析】如圖，用長方形表示全體采摘人員人，圓表示采了櫻桃的人數(shù)，圓表示采了杏的人數(shù)。長方形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數(shù)。由圖中可以看出，全體人員的人數(shù)是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和，至少采了一種的人數(shù)為：（人），而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)+兩種都采了的人數(shù)+只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：（人）。（年月日第五屆小學“希望杯”全國數(shù)學邀請賽四年級第試第題）養(yǎng)牛場有頭黃牛和水牛，其中母牛頭，黃牛頭，公水牛頭，那么母黃牛有頭?！痉治觥咳莩庠怼＃ǚ椒ㄒ唬┮驗轲B(yǎng)牛場有頭黃牛和水牛，母牛有頭；所以公牛有頭；因為公水牛有頭；所以公黃牛有頭；因為黃牛有頭；所以母黃牛有頭。（方法二）因為養(yǎng)牛場有頭黃牛和水牛，黃牛有頭；所以水牛有頭；因為公水牛有頭；所以母水牛有頭；因為母牛有頭；所以母黃牛有頭。（年月號第九屆中環(huán)杯四年級決賽第題）某次考試，通過語文考試的有人，通過數(shù)學考試的有人，通過語文考試但沒有通過數(shù)學考試的有人，那么通過數(shù)學考試但沒有通過語文考試的有多少人？【分析】通過語文考試且通過數(shù)學考試的有（人），所以通過數(shù)學考試但沒有通過語文考試的有（人）。甲乙丙三個小組學雷鋒，為學校擦玻璃，其中塊玻璃不是甲組擦的，塊玻璃不是乙組擦的，且甲組和乙組一共擦了塊玻璃，那么，甲乙丙三個小組各擦了多少塊玻璃？【分析】塊玻璃不是甲組擦的，說明這塊玻璃是乙丙兩組擦的；塊玻璃不是乙組擦的，說明這塊玻璃是甲丙兩組擦的，如下圖所示，用圓表示乙丙兩組擦的塊玻璃，圓表示甲丙兩組擦的塊玻璃，因為甲乙兩組共擦了塊玻璃，塊，這是兩個兩組擦的玻璃數(shù)，因此丙組擦了塊玻璃。乙組擦了塊玻璃，甲組擦了塊玻璃。某大學某班學生總數(shù)為人，在第一次考試中有人及格，在第二次考試中有人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是多少？【分析】設第一次考試中及格的人()，第二次考試中及格的人()顯然，；，則根據(jù)公式那么兩次考試都及格的人數(shù)是人。在到所有自然數(shù)中，既不是的倍數(shù)又不是和的倍數(shù)的數(shù)有多少個？【分析】此題為容斥原理和數(shù)論相結合的一類典型的題目。，的倍數(shù)的個數(shù)為；，的倍數(shù)的個數(shù)為；，的倍數(shù)的個數(shù)為；再計算各重復部分的個數(shù)，同時是和的倍數(shù)，即是的倍數(shù)的個數(shù)為；，同時是和的倍數(shù)，即是的倍數(shù)的個數(shù)為；，同時是和的倍數(shù)，即是的倍數(shù)的個數(shù)為，同時是、、的倍數(shù)，即是的倍數(shù)的個數(shù)為不是、、的倍數(shù)的個數(shù)為作業(yè)2、（希望杯真題）一個口袋里分別有紅、黃、黑球、、個，為使取出的球中有個同色，則至少要取小球多少個？如果要保證取到個同色的球，至少要取(個)。有一個布袋中有個