目標規(guī)劃模型與一些優(yōu)化問題的Matlab求解課件

目標規(guī)劃方法與優(yōu)化問題的Matlab求解目標規(guī)劃方法與內(nèi)容提要8.1線性規(guī)劃與目標規(guī)劃8.2目標規(guī)劃的數(shù)學模型8.3目標規(guī)劃模型的實例8.4數(shù)據(jù)包絡分析內(nèi)容提要8.1線性規(guī)劃與目標規(guī)劃8.1線性規(guī)劃與目標規(guī)劃線性規(guī)劃通?？紤]一個目標函數(shù)(問題簡單)目標規(guī)劃考慮多個目標函數(shù)(問題復雜)線性規(guī)劃目標規(guī)劃發(fā)展演變8.1線性規(guī)劃與目標規(guī)劃線性規(guī)劃通常考慮一個某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到A,B,C三種設備，關于產(chǎn)品的盈利與使用設備的工時及限制如下表所示。例8.1生產(chǎn)安排問題問該企業(yè)應如何安排生產(chǎn)，使得在計劃期內(nèi)總利潤最大？某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到A,B,C三種設備，關于產(chǎn)1.線性規(guī)劃建模該例8.1是一個線性規(guī)劃問題，直接考慮它的線性規(guī)劃模型設甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1,x2,建立線性規(guī)劃模型：用Lindo或Lingo軟件求解,得到最優(yōu)解1.線性規(guī)劃建模該例8.1是一個線性規(guī)劃問題，2.目標規(guī)劃建模在上例8.1中，企業(yè)的經(jīng)營目標不僅要考慮利潤，還需要考慮多個方面，因此增加下列因素(目標)：力求使利潤指標不低于1500元考慮到市場需求,甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量比應盡量保持1:2設備A為貴重設備，嚴格禁止超時使用設備C可以適當加班，但要控制；設備B既要求充分利用，又盡可能不加班，在重要性上，設備B是設備C的3倍從上述問題可以看出，僅用線性規(guī)劃方法是不夠的，需要借助于目標規(guī)劃的方法進行建模求解2.目標規(guī)劃建模在上例8.1中，企業(yè)的經(jīng)營目標某汽車銷售公司委托一個廣告公司在電視上為其做廣告，汽車銷售公司提出三個目標：例8.2汽車廣告費問題廣告公司必須決定購買兩種類型的電視廣告展播各多少分鐘？第一個目標，至少有40萬高收入的男性公民(記為HIM)看到這個廣告第二個目標，至少有60萬一般收入的公民(記為LIP)看到這個廣告第三個目標，至少有35萬高收入的女性公民(記為HIW)看到這個廣告廣告公司可以從電視臺購買兩種類型的廣告展播：足球賽中插播廣告和電視系列劇插播廣告。廣告公司最多花費60萬元的電視廣告費。每一類廣告展播每一分鐘的花費及潛在的觀眾人數(shù)如下表所示某汽車銷售公司委托一個廣告公司在電視上為其做廣告，汽車銷售公3.嘗試線性規(guī)劃建模對于例8.2考慮建立線性規(guī)劃模型設x1,x2分別是足球賽和電視系列劇中插播的分鐘數(shù)，按照要求，可以列出相應的線性規(guī)劃模型用Lindo或Lingo軟件求解,會發(fā)現(xiàn)該問題不可行。（可以任意目標）3.嘗試線性規(guī)劃建模對于例8.2考慮建立線性規(guī)劃4.線性規(guī)劃建模局限性線性規(guī)劃要求所有求解的問題必須滿足全部的約束，而實際問題中并非所有約束都需要嚴格的滿足；線性規(guī)劃只能處理單目標的優(yōu)化問題，而對一些次目標只能轉化為約束處理。但在實際問題中，目標和約束好似可以相互轉化的，處理時不一定要嚴格區(qū)分；線性規(guī)劃在處理問題時，將各個約束(也可看作目標)的地位看成同等重要，而在實際問題中，各個目標的重要性即有層次上的差別，也有在同一層次上不同權重的差別線性規(guī)劃尋求最優(yōu)解，而許多實際問題只需要找到滿意解就可以了。4.線性規(guī)劃建模局限性線性規(guī)劃要求所有求解的問8.2目標規(guī)劃的數(shù)學模型為了克服線性規(guī)劃的局限性,目標規(guī)劃采用如下手段：1.設置偏差變量;2.統(tǒng)一處理目標與約束;3.目標的優(yōu)先級與權系數(shù)。目標規(guī)劃的基本概念8.2目標規(guī)劃的數(shù)學模型為了克服線性規(guī)劃的

1.設置偏差變量用偏差變量(Deviationalvariables)來表示實際值與目標值之間的差異，令----超出目標的差值，稱為正偏差變量----未達到目標的差值，稱為負偏差變量其中與至少有一個為0約定如下：當實際值超過目標值時，有當實際值未達到目標值時，有當實際值與目標值一致時，有1.設置偏差變量用偏差變量(Deviatio

2.

統(tǒng)一處理目標與約束在目標規(guī)劃中，約束可分兩類，一類是對資源有嚴格限制的，稱為剛性約束(HardConstraint)；例如在用目標規(guī)劃求解例8.1中設備A禁止超時使用，則有剛性約束另一類是可以不嚴格限制的，連同原線性規(guī)劃的目標,構成柔性約束(SoftConstraint).例如在求解例8.1中，我們希望利潤不低于1500元，則目標可表示為2.統(tǒng)一處理目標與約束在目標規(guī)劃中，約束可分求解例8.1中甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量盡量保持1:2的比例，則目標可表示為設備C可以適當加班，但要控制，則目標可表示為設備B既要求充分利用，又盡可能不加班，則目標可表示為從上面的分析可以看到：如果希望不等式保持大于等于，則極小化負偏差；如果希望不等式保持小于等于，則極小化正偏差；如果希望保持等式，則同時極小化正、負偏差．求解例8.1中甲、乙兩種產(chǎn)品設備C可以適當加班，但要控制，設3.目標的優(yōu)先級與權系數(shù)在目標規(guī)劃模型中，目標的優(yōu)先分為兩個層次，第一個層次是目標分成不同的優(yōu)先級，在計算目標規(guī)劃時，必須先優(yōu)化高優(yōu)先級的目標，然后再優(yōu)化低優(yōu)先級的目標。通常以P1,P2,...表示不同的因子,并規(guī)定Pk>>Pk+1，第二個層次是目標處于同一優(yōu)先級，但兩個目標的權重不一樣，因此兩目標同時優(yōu)化，用權系數(shù)的大小來表示目標重要性的差別。3.目標的優(yōu)先級與權系數(shù)在目標規(guī)劃模型中，目標解在例８.1中設備A是剛性約束，其于是柔性約束．首先，最重要的指標是企業(yè)的利潤，將它的優(yōu)先級列為第一級；其次，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持1:2的比例，列為第二級；再次，設備B和C的工作時間要有所控制，列為第三級，設備B的重要性是設備C的三倍，因此它們的權重不一樣。由此可以得到相應的目標規(guī)劃模型。目標規(guī)劃模型的建立例8.3用目標規(guī)劃方法求解例8.1解在例８.1中設備A是剛性約束，其于是柔性約束．首先，最重目標規(guī)劃的一般模型目標規(guī)劃模型的一般數(shù)學表達式為：目標規(guī)劃的一般模型目標規(guī)劃模型的一般數(shù)學表達式為求解目標規(guī)劃的序貫式算法其算法是根據(jù)優(yōu)先級的先后次序，將目標規(guī)劃問題分解成一系列的單目標規(guī)劃問題，然后再依次求解。算法8.1對于k=1,2,…,q,求解單目標問題求解目標規(guī)劃的序貫式算法其算法是根據(jù)優(yōu)先級的先解因為每個單目標問題都是一個線性規(guī)劃問題，因此可以采用LINDO軟件進行求解。按照算法8.1和例8.3目標規(guī)劃模型編寫單個的線性規(guī)劃求解程序。求第一級目標企業(yè)利潤最大，列出LINDO程序。程序名：exam0804a.ltx例8.4用算法8.1求解例8.3MINDMINUS1SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15END求解結果可見程序演示目標解因為每個單目標問題都是一個線性規(guī)劃問題，例8.4解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為０，即第一級偏差為０.再求第二級目標，列出其LINDO程序。程序名：exam0804b.ltx例8.4用算法8.1求解例8.3MINDPLUS2+DMINUS2SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15DMINUS1=0END求解結果可見程序演示修改的目標增加的約束解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為０，即第一級偏差為例8.解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值仍為０，即第二級偏差仍為０.繼續(xù)求第三級目標，列出其LINDO程序。程序名：exam0804c.ltx例8.4用算法8.1求解例8.3MIN3DPLUS3+3DMINUS3+DPLUS4SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15DMINUS1=0DPLUS2+DMINUS2=0END求解結果可見程序演示求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為29,即第三級偏差為29,分析結果,x1為2,x2為4,DPLUS1為100,因此目標規(guī)劃的最優(yōu)解為x

*=(2,4),最優(yōu)利潤為1600.修改的目標增加的約束解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值仍為０，即第二級偏差例8.解按照算法8.1和例8.3目標規(guī)劃模型編寫LINGO求解程序，列出其LINGO程序,程序名：exam0805.lg4例8.5(繼例8.4)用算法8.1求解例8.3的LINGO程序程序運行說明，分三次求解：在做第一級目標計算時，P(1),P(2)和P(3)分別輸入1,0和0，Goal(1)和Goal(2)輸入兩個較大的數(shù)，表示這兩項約束不起作用；在做第二級目標計算時，P(1),P(2)和P(3)分別輸入0,1和0，由于第一級的偏差為0，因此Goal(1)為0，Goal(2)輸入一個較大的數(shù)；在做第三級計算時，P(1),P(2)和P(3)分別輸入0,0和1，由于第一級、第二級的偏差為0，因此Goal(1)和Goal(2)的輸入值也為0。結果可以參見程序演示?。?！由于在例8.4中雖然給出了目標規(guī)劃問題的最優(yōu)解,但需要連續(xù)編幾個LINDO程序,在使用時不方便,下面使用LINGO軟件,編寫一個通用程序。解按照算法8.1和例8.3目標規(guī)劃模型編寫LINGO求解程8.3目標規(guī)劃模型的實例前面介紹了目標規(guī)劃的求解方法，接著再介紹幾個目標規(guī)劃模型的實例。8.3目標規(guī)劃模型的實例前面介紹了目標規(guī)某音像商店有5名全職售貨員和4名兼職售貨員。全職售貨員每月工作160小時，兼職售貨員每月工作80小時。根據(jù)過去的工作記錄，全職售貨員每小時銷售CD25張，平均每小時工資15元，加班工資每小時22.5元。兼職售貨員每小時銷售CD10張，平均每小時工資10元，加班工資每小時10元?，F(xiàn)在預測下月CD銷售量為27500張，商店每周開門營業(yè)6天，所以可能要加班。另每出售一張CD盈利1.5元。例8.6該商店經(jīng)理認為，保持穩(wěn)定的就業(yè)水平加上必要的加班，比不加班但就業(yè)水平不穩(wěn)定要好。但全職售貨員如果加班過多，就會因疲勞過度而造成效率下降，因此不允許每月加班超過100小時。建立相應的目標規(guī)劃模型，并運用LINGO軟件進行求解。某音像商店有5名全職售貨員和4名兼職售貨員。全職售貨員每月工解首先建立目標約束的優(yōu)先級。P1：下月的CD銷售量達到27500張；P2：限制全職售貨員加班時間不超過100小時；P3：保持全體售貨員充分就業(yè)，因為充分工作是良好勞資關系的重要因素，但對全職售貨員要比兼職售貨員加倍優(yōu)先考慮；P4：盡量減少加班時間，但對兩種售貨員區(qū)別對待，優(yōu)先權因子由他們對利潤的貢獻而定。例8.6解首先建立目標約束的優(yōu)先級。例8.6例8.6第二，建立目標約束。(1)銷售目標約束。設

x1

：全體全職售貨員下月的工作時間；

x2

：全體兼職售貨員下月的工作時間；：達不到銷售目標的偏差；：超過銷售目標的偏差。希望下月的銷售量超過27500張CD片，因此銷售目標為例8.6第二，建立目標約束。例8.6第二，建立目標約束。(2)正常工作時間約束，設：全體全職售貨員下月的停工時間；：全體全職售貨員下月的加班時間；：全體兼職售貨員下月的停工時間；：全體兼職售貨員下月的加班時間。

由于希望保持全體售貨員充分就業(yè)，同時加倍優(yōu)先考慮全職售貨員,因此工作目標約束為例8.6第二，建立目標約束。例8.6第二，建立目標約束。(3)正常工作時間約束，設：全體全職售貨員下月加班不足100小時的偏差；：全體全職售貨員下月加班超過100小時的偏差。限制全職售貨員加班時間不超過100小時，將加班約束看成正常上班約束，不同的是右端加上100小時，因此加班目標約束為例8.6第二，建立目標約束。例8.6第二，建立目標約束。接上(3)另外，全職售貨員加班1小時，商店得到的利潤為15元(25*1.5-22.5=15)，兼職售貨員加班1小時，商店得到的利潤為5元(10*1.5-10=5)，因此加班1小時全職售貨員獲得的利潤是兼職售貨員的3倍，故權因子之比為

所以，另一個加班目標約束為：例8.6第二，建立目標約束。所以，另一例8.6

第三，按目標的優(yōu)先級，寫出相應的目標規(guī)劃模型：例8.6第三，按目標的優(yōu)先級，寫出相應的目標規(guī)劃

第四，寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0806.lg4.程序運行說明，分四次求解：在做第一級目標計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入1,0,0和0，Goal(1),Goal(2)和Goal(3)輸入兩個較大的數(shù)，表示這兩項約束不起作用；在做第二級目標計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,1,0和0，由于第一級的偏差為0，因此Goal(1)為0,Goal(2)和Goal(3)輸入一個較大的數(shù)；在做第三級計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,0,1和0，由于第一級,第二級的偏差為0，因此Goal(1)和Goal(2)的輸入值也為0，Goal(3)輸入一個較大的數(shù)；在做第四級計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,0,0和1，由于第一級,第二級和第三級的偏差為0,因此Goal(1),Goal(2)和Goal(3)輸入值也為0；全職售貨員總工作時間為900小時(加班100小時)，兼職售貨員總工作時間500小時(加班180小時)，下月共銷售CD27500張，商店共獲得利潤27500*1.5-800*15-100*22.5-500*10=22000(元)其結果可以參見程序演示?。?！第四，寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0806某計算機公司生產(chǎn)三種型號的筆記本電腦A,B,C。這三種筆記本電腦需要在復雜的裝配線上生產(chǎn)，生產(chǎn)1臺A,B,C型號的筆記本電腦分別需要5,8,12小時。公司裝配線正常的生產(chǎn)時間是每月1700小時。公司營業(yè)部門估計A,B,C三種筆記本電腦的利潤分別是每臺1000,1440,2520元，而公司預測這個月生產(chǎn)的筆記本電腦能夠全部售出。例8.7某計算機公司生產(chǎn)三種型號的筆記本電腦A,B,C。這例8.例8.7公司經(jīng)理考慮以下目標：第一目標：充分利用正常的生產(chǎn)能力，避免開工不足；第二目標：優(yōu)先滿足老客戶的需求，A,B,C三種型號的電腦50,50,80臺，同時根據(jù)三種電腦的純利潤分配不同的權因子；第三目標：限制裝配線加班時間，不允許超過200小時；第四目標：滿足各種型號電腦的銷售目標,A,B,C型號分別為100,120,100臺,再根據(jù)三種電腦的純利潤分配不同的權因子；第五目標：裝配線的加班時間盡可能少。請列出相應的目標規(guī)劃模型,并用LINGO軟件求解。例8.7公司經(jīng)理考慮以下目標：例8.7解建立目標約束。(1)裝配線正常生產(chǎn)設生產(chǎn)A,B,C型號的電腦為x1,x2,x3臺，裝配線正常生產(chǎn)時間未利用數(shù)，裝配線加班時間，希望裝配線正常生產(chǎn),避免開工不足,因此裝配線約束目標為例8.7解建立目標約束。例8.7(2)銷售目標優(yōu)先滿足老客戶的需求，并根據(jù)三種電腦的純利潤分配不同的權因子，A,B,C三種型號的電腦每小時的利潤是因此,老客戶的銷售目標約束為例8.7(2)銷售目標銷售目標約束為例8.7(2)銷售目標(接上)再考慮一般銷售，類似上面的討論，得到例8.7(2)銷售目標(接上)例8.7(3)加班限制首先是限制裝配線加班時間，不允許超過200小時，因此得到其次裝配線的加班時間盡可能少，即例8.7(3)加班限制其次裝配線的加班時間盡可能少例8.7

寫出相應的目標規(guī)劃模型：例8.7寫出相應的目標規(guī)劃模型：

寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0807.lg4.程序運行說明：經(jīng)5次計算得到x1=100,x2=55,x3=80。裝配線生產(chǎn)時間為1900小時，滿足裝配線加班不超過200小時的要求。能夠滿足老客戶的需求，但未能達到銷售目標。銷售總利潤為100x1000+55x1440+80x2520=380800(元)其結果可以參見程序演示！?。懗鱿鄳腖INGO程序，程序名：exam0807例8.8已知三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品供應給四個用戶，各工廠生產(chǎn)量、用戶需求量及從各工廠到用戶的單位產(chǎn)品的運輸費用如表所示。由于總生產(chǎn)量小于總需求量,上級部門經(jīng)研究后，制定了調配方案的8項指標，并規(guī)定重要性的次序是:例8.8已知三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品供應給四個用戶，各工廠例8.8第一目標：用戶4為重要部門,需求量必須全部滿足；第二目標：供應用戶1的產(chǎn)品中，工廠3的產(chǎn)品不少于100個單位；第三目標：每個用戶的滿足率不低于80%；第四目標：應盡量滿足各用戶的需求；第五目標：新方案的總運費不超過原運輸問題的調度方案的10%；第六目標：因道路限制，工廠2到用戶4的路線應盡量避免運輸任務；第七目標：用戶1和用戶3的滿足率應盡量保持平衡；第八目標：力求減少總運費。請列出相應的目標規(guī)劃模型，并用LINGO軟件求解。例8.8第一目標：用戶4為重要部門,需求量必須全部滿足；例8.8解求解原運輸問題。由于總生產(chǎn)量小于總需求量,虛設工廠4,生產(chǎn)量為100個單位,到各個用戶間的運輸單價為0,利用第7章介紹的運輸問題的求解方法,用LINGO軟件求解,得到總運費是2950元,運輸方案如表所示.例8.8解求解原運輸問題。例8.8從上表可以看出，上述方案中，第一個目標就不滿足，用戶4的需求量得不到滿足。下面按照目標的重要性的等級列出目標規(guī)劃的約束和目標函數(shù)。設xij為工廠i調配給用戶j的運量.(1)供應約束應嚴格滿足,即(2)供應用戶1的產(chǎn)品中,工廠3的產(chǎn)品不少于100個單位,即例8.8從上表可以看出，上述方案中，第一個目標就不滿(1例8.8(3)需求約束.各用戶的滿足率不低于80%,即需求應盡量滿足各用戶的需求，即例8.8(3)需求約束.需求應盡量新方案的總運費不超過原運方案的10%（原運輸方案的運費為2950元），即(5)工廠2到用戶4的路線應盡量避免運輸任務,即(6)用戶1和用戶3的滿足率應盡量保持平衡，即(7)力求總運費最少,即新方案的總運費不超過原運方案的10%（原運輸(5)工廠2到例8.8

寫出相應的目標函數(shù)為

寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0808.lg4.例8.8寫出相應的目標函數(shù)為寫出相應程序運行說明其結果可以參見程序演示?。?！經(jīng)8次計算，得到最終的計算結果，見下表所示?？傔\費為3360元，高于原運費410元，超過原方案10%的上限115元。程序運行說明其結果可以參見程序演示?。?！經(jīng)8在經(jīng)濟研究中，常常需要考慮多個目標，如經(jīng)濟效益目標，生態(tài)效益目標，社會效益目標，等等。為了滿足這類問題研究之需要，對多目標規(guī)劃方法作一些介紹。在經(jīng)濟研究中，常常需要考慮多個目標，如經(jīng)濟效益目標，第一節(jié)多目標規(guī)劃及其非劣解

多目標規(guī)劃及其非劣解多目標規(guī)劃求解技術簡介第一節(jié)多目標規(guī)劃及其非劣解多目標規(guī)劃及其非劣解一、多目標規(guī)劃及其非劣解（一）任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標函數(shù)；（2）若干個約束條件。（二）多目標決策的兩個較明顯的特點：（1）目標之間的不可公度性；（2）目標之間的矛盾性。（三）對于多目標規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學模型一般地描寫為如下形式：

一、多目標規(guī)劃及其非劣解（一）任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基（1.2）（1.1）式中：為決策變量向量。

（1.2）（1.1）式中：為決如果將（1.1）和（1.2）式進一步縮寫，即：（1.3）

（1.4）式中：是k維函數(shù)向量，

k是目標函數(shù)的個數(shù)；是m維函數(shù)向量；是m維常數(shù)向量；m是約束方程的個數(shù)。

如果將（1.1）和（1.2）式進一步縮寫，對于線性多目標規(guī)劃問題，（1.3）和（1.4）式可以進一步用矩陣表示：

（1.5）（1.6）式中：為n維決策變量向量；為k×n矩陣，即目標函數(shù)系數(shù)矩陣；為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；為m維的向量，約束向量。

對于線性多目標規(guī)劃問題，（1.3）和（1.4）式可以進一二、多目標規(guī)劃的非劣解多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化（最大或最?。活櫰渌繕?。二、多目標規(guī)劃的非劣解多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標在圖1.1中，就方案①和②來說，①的目標值比②大，但其目標值比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱之為多目標規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構成的集合稱為非劣解集。非劣解可以用圖1.1說明。圖1.1多目標規(guī)劃的劣解與非劣解在圖1.1中，就方案①和②來說，①的目標值比②大，當目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數(shù)同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。

當目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數(shù)同第二節(jié)多目標規(guī)劃求解技術簡介

為了求得多目標規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標規(guī)劃問題去處理。實現(xiàn)這種轉化，有如下幾種建模方法。一、效用最優(yōu)化模型(線性和加權法)二、平方和加權法三、約束模型

四、目標規(guī)劃模型五、目標達到法第二節(jié)多目標規(guī)劃求解技術簡介為了求得多目標規(guī)劃是與各目標函數(shù)相關的效用函數(shù)的和函數(shù)。

一、效用最優(yōu)化模型（線性加權法）

建模依據(jù)：規(guī)劃問題的各個目標函數(shù)可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標函數(shù)與效用函數(shù)建立相關關系，各目標之間通過效用函數(shù)協(xié)調，使多目標規(guī)劃問題轉化為傳統(tǒng)的單目標規(guī)劃問題：

（2.1）

（2.2）

是與各目標函數(shù)相關的效用函數(shù)的和函數(shù)。一、效用最優(yōu)化模型（在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權值來反映原問題中各目標函數(shù)在總體目標中的權重，即：式中，諸應滿足：若采用向量與矩陣

在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權值來反映原問題規(guī)劃決策者對每一個目標函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值與期望值之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學表達式如下：二、平方和加權法規(guī)劃決策者對每一個目標函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；或寫成矩陣形式：

式中，是與第i個目標函數(shù)相關的權重；

A是由組成的m×m對角矩陣?；驅懗删仃囆问剑喝⒓s束模型

理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標就可以作為約束條件而被排除出目標組，進入約束條件組中。假如，除第一個目標外，其余目標都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標規(guī)劃問題就可以轉化為單目標規(guī)劃問題：

三、約束模型采用矩陣可記為：采用矩陣可記為：四、目標規(guī)劃模型

也需要預先確定各個目標的期望值，同時給每一個目標賦予一個優(yōu)先因子和權系數(shù)，假定有K個目標，L個優(yōu)先級，目標規(guī)劃模型的數(shù)學形式為：四、目標規(guī)劃模型也需要預先確定各個目標的期式中：和分別表示與相應的、與相比的目標超過值和不足值，即正、負偏差變量；表示第l個優(yōu)先級；、表示在同一優(yōu)先級中，不同目標的正、負偏差變量的權系數(shù)。式中：和分別表示與相應的、與五、目標達到法

首先將多目標規(guī)劃模型化為如下標準形式：五、目標達到法首先將多目標規(guī)劃模型化為如下標準形式：在求解之前，先設計與目標函數(shù)相應的一組目標值理想化的期望目標,每一個目標對應的權重系數(shù)為，再設為一松弛因子。那么，多目標規(guī)劃問題就轉化為：在求解之前，先設計與目標函數(shù)相應的一組用目標達到法求解多目標規(guī)劃的計算過程，可以通過調用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數(shù)實現(xiàn)。x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)[x,fval]=fgoalattain(...)用目標達到法求解多目標規(guī)劃的計算過程，可以通第四節(jié)多目標規(guī)劃應用實例

一、生產(chǎn)計劃問題二、投資問題第四節(jié)多目標規(guī)劃應用實例一、生產(chǎn)計劃問題某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費用分別為2100元/t和4800元/t。A、B兩種產(chǎn)品的利潤分別為3600元/t和6500元/t。A、B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為5t和8t；市場對這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于9t。試問該企業(yè)應該如何安排生產(chǎn)計劃，才能既能滿足市場需求，又節(jié)約投資，而且使生產(chǎn)利潤達到最大?

一、生產(chǎn)計劃問題某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費用分別為210該問題是一個線性多目標規(guī)劃問題。如果計劃決策變量用和表示，它們分別代表A、B產(chǎn)品每月的生產(chǎn)量（單位：t）；表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總投資費用（單位：元）；表示生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤（單位：元）。那么，該多目標規(guī)劃問題就是：求和，使：

該問題是一個線性多目標規(guī)劃問題。如果計劃決策而且滿足：

對于上述多目標規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標是：（1）每個月的總投資不超30000元；（2）每個月的總利潤達到或超過45000元；（3）兩個目標同等重要。那么，借助Matlab軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為：

而且滿足：對于上述多目標規(guī)劃問題，如果決策者提出的按照此方案進行生產(chǎn)，該企業(yè)每個月可以獲得利潤44000元，同時需要投資29700元。

按照此方案進行生產(chǎn)，該企業(yè)每個月可以獲得利潤44000元，同二、投資問題某企業(yè)擬用1000萬元投資于A、B兩個項目的技術改造。設、分別表示分配給A、B項目的投資（萬元）。據(jù)估計，投資項目A、B的年收益分別為投資的60%和70%；但投資風險損失，與總投資和單項投資均有關系：

據(jù)市場調查顯示，A項目的投資前景好于B項目，因此希望A項目的投資額不小B項目。試問應該如何在A、B兩個項目之間分配投資，才能既使年利潤最大，又使風險損失為最小？二、投資問題某企業(yè)擬用1000萬元投資于A、B兩個該問題是一個非線性多目標規(guī)劃問題，將它用數(shù)學語言描述出來，就是：求、，使：

而且滿足：

該問題是一個非線性多目標規(guī)劃問題，將它用數(shù)學語言描述對于上述多目標規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標是：（1）每一年的總收益不小于600萬元；（2）希望投資風險損失不超過800萬元；（3）兩個目標同等重要。那么，借助Matlab軟件中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為：

＝750.0001萬元，＝249.9999萬元此方案的每一年的總收益為625萬元，投資風險損失為875萬元。

對于上述多目標規(guī)劃問題，如果決策者提出的期望目標是：優(yōu)化問題的Matlab求解線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題

有約束的一元函數(shù)的最小值無約束多元函數(shù)最小值有約束的多元函數(shù)最小值二次規(guī)劃問題“半無限”有約束的多元函數(shù)最優(yōu)解極小化極大（Minmax）問題多目標規(guī)劃問題最小二乘最優(yōu)問題

約束線性最小二乘非線性數(shù)據(jù)（曲線）擬合非線性最小二乘非負線性最小二乘圖論優(yōu)化----離散問題優(yōu)化問題的Matlab求解線性規(guī)劃問題極小化極大（Minmax）問題極小化極大（Minmax）問題目標規(guī)劃模型與一些優(yōu)化問題的Matlab求解課件目標規(guī)劃模型與一些優(yōu)化問題的Matlab求解課件目標規(guī)劃模型與一些優(yōu)化問題的Matlab求解課件多目標規(guī)劃問題多目標規(guī)劃問題目標規(guī)劃模型與一些優(yōu)化問題的Matlab求解課件目標規(guī)劃模型與一些優(yōu)化問題的Matlab求解課件目標規(guī)劃方法與優(yōu)化問題的Matlab求解目標規(guī)劃方法與內(nèi)容提要8.1線性規(guī)劃與目標規(guī)劃8.2目標規(guī)劃的數(shù)學模型8.3目標規(guī)劃模型的實例8.4數(shù)據(jù)包絡分析內(nèi)容提要8.1線性規(guī)劃與目標規(guī)劃8.1線性規(guī)劃與目標規(guī)劃線性規(guī)劃通?？紤]一個目標函數(shù)(問題簡單)目標規(guī)劃考慮多個目標函數(shù)(問題復雜)線性規(guī)劃目標規(guī)劃發(fā)展演變8.1線性規(guī)劃與目標規(guī)劃線性規(guī)劃通?？紤]一個某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到A,B,C三種設備，關于產(chǎn)品的盈利與使用設備的工時及限制如下表所示。例8.1生產(chǎn)安排問題問該企業(yè)應如何安排生產(chǎn)，使得在計劃期內(nèi)總利潤最大？某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到A,B,C三種設備，關于產(chǎn)1.線性規(guī)劃建模該例8.1是一個線性規(guī)劃問題，直接考慮它的線性規(guī)劃模型設甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1,x2,建立線性規(guī)劃模型：用Lindo或Lingo軟件求解,得到最優(yōu)解1.線性規(guī)劃建模該例8.1是一個線性規(guī)劃問題，2.目標規(guī)劃建模在上例8.1中，企業(yè)的經(jīng)營目標不僅要考慮利潤，還需要考慮多個方面，因此增加下列因素(目標)：力求使利潤指標不低于1500元考慮到市場需求,甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量比應盡量保持1:2設備A為貴重設備，嚴格禁止超時使用設備C可以適當加班，但要控制；設備B既要求充分利用，又盡可能不加班，在重要性上，設備B是設備C的3倍從上述問題可以看出，僅用線性規(guī)劃方法是不夠的，需要借助于目標規(guī)劃的方法進行建模求解2.目標規(guī)劃建模在上例8.1中，企業(yè)的經(jīng)營目標某汽車銷售公司委托一個廣告公司在電視上為其做廣告，汽車銷售公司提出三個目標：例8.2汽車廣告費問題廣告公司必須決定購買兩種類型的電視廣告展播各多少分鐘？第一個目標，至少有40萬高收入的男性公民(記為HIM)看到這個廣告第二個目標，至少有60萬一般收入的公民(記為LIP)看到這個廣告第三個目標，至少有35萬高收入的女性公民(記為HIW)看到這個廣告廣告公司可以從電視臺購買兩種類型的廣告展播：足球賽中插播廣告和電視系列劇插播廣告。廣告公司最多花費60萬元的電視廣告費。每一類廣告展播每一分鐘的花費及潛在的觀眾人數(shù)如下表所示某汽車銷售公司委托一個廣告公司在電視上為其做廣告，汽車銷售公3.嘗試線性規(guī)劃建模對于例8.2考慮建立線性規(guī)劃模型設x1,x2分別是足球賽和電視系列劇中插播的分鐘數(shù)，按照要求，可以列出相應的線性規(guī)劃模型用Lindo或Lingo軟件求解,會發(fā)現(xiàn)該問題不可行。（可以任意目標）3.嘗試線性規(guī)劃建模對于例8.2考慮建立線性規(guī)劃4.線性規(guī)劃建模局限性線性規(guī)劃要求所有求解的問題必須滿足全部的約束，而實際問題中并非所有約束都需要嚴格的滿足；線性規(guī)劃只能處理單目標的優(yōu)化問題，而對一些次目標只能轉化為約束處理。但在實際問題中，目標和約束好似可以相互轉化的，處理時不一定要嚴格區(qū)分；線性規(guī)劃在處理問題時，將各個約束(也可看作目標)的地位看成同等重要，而在實際問題中，各個目標的重要性即有層次上的差別，也有在同一層次上不同權重的差別線性規(guī)劃尋求最優(yōu)解，而許多實際問題只需要找到滿意解就可以了。4.線性規(guī)劃建模局限性線性規(guī)劃要求所有求解的問8.2目標規(guī)劃的數(shù)學模型為了克服線性規(guī)劃的局限性,目標規(guī)劃采用如下手段：1.設置偏差變量;2.統(tǒng)一處理目標與約束;3.目標的優(yōu)先級與權系數(shù)。目標規(guī)劃的基本概念8.2目標規(guī)劃的數(shù)學模型為了克服線性規(guī)劃的

1.設置偏差變量用偏差變量(Deviationalvariables)來表示實際值與目標值之間的差異，令----超出目標的差值，稱為正偏差變量----未達到目標的差值，稱為負偏差變量其中與至少有一個為0約定如下：當實際值超過目標值時，有當實際值未達到目標值時，有當實際值與目標值一致時，有1.設置偏差變量用偏差變量(Deviatio

2.

統(tǒng)一處理目標與約束在目標規(guī)劃中，約束可分兩類，一類是對資源有嚴格限制的，稱為剛性約束(HardConstraint)；例如在用目標規(guī)劃求解例8.1中設備A禁止超時使用，則有剛性約束另一類是可以不嚴格限制的，連同原線性規(guī)劃的目標,構成柔性約束(SoftConstraint).例如在求解例8.1中，我們希望利潤不低于1500元，則目標可表示為2.統(tǒng)一處理目標與約束在目標規(guī)劃中，約束可分求解例8.1中甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量盡量保持1:2的比例，則目標可表示為設備C可以適當加班，但要控制，則目標可表示為設備B既要求充分利用，又盡可能不加班，則目標可表示為從上面的分析可以看到：如果希望不等式保持大于等于，則極小化負偏差；如果希望不等式保持小于等于，則極小化正偏差；如果希望保持等式，則同時極小化正、負偏差．求解例8.1中甲、乙兩種產(chǎn)品設備C可以適當加班，但要控制，設3.目標的優(yōu)先級與權系數(shù)在目標規(guī)劃模型中，目標的優(yōu)先分為兩個層次，第一個層次是目標分成不同的優(yōu)先級，在計算目標規(guī)劃時，必須先優(yōu)化高優(yōu)先級的目標，然后再優(yōu)化低優(yōu)先級的目標。通常以P1,P2,...表示不同的因子,并規(guī)定Pk>>Pk+1，第二個層次是目標處于同一優(yōu)先級，但兩個目標的權重不一樣，因此兩目標同時優(yōu)化，用權系數(shù)的大小來表示目標重要性的差別。3.目標的優(yōu)先級與權系數(shù)在目標規(guī)劃模型中，目標解在例８.1中設備A是剛性約束，其于是柔性約束．首先，最重要的指標是企業(yè)的利潤，將它的優(yōu)先級列為第一級；其次，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持1:2的比例，列為第二級；再次，設備B和C的工作時間要有所控制，列為第三級，設備B的重要性是設備C的三倍，因此它們的權重不一樣。由此可以得到相應的目標規(guī)劃模型。目標規(guī)劃模型的建立例8.3用目標規(guī)劃方法求解例8.1解在例８.1中設備A是剛性約束，其于是柔性約束．首先，最重目標規(guī)劃的一般模型目標規(guī)劃模型的一般數(shù)學表達式為：目標規(guī)劃的一般模型目標規(guī)劃模型的一般數(shù)學表達式為求解目標規(guī)劃的序貫式算法其算法是根據(jù)優(yōu)先級的先后次序，將目標規(guī)劃問題分解成一系列的單目標規(guī)劃問題，然后再依次求解。算法8.1對于k=1,2,…,q,求解單目標問題求解目標規(guī)劃的序貫式算法其算法是根據(jù)優(yōu)先級的先解因為每個單目標問題都是一個線性規(guī)劃問題，因此可以采用LINDO軟件進行求解。按照算法8.1和例8.3目標規(guī)劃模型編寫單個的線性規(guī)劃求解程序。求第一級目標企業(yè)利潤最大，列出LINDO程序。程序名：exam0804a.ltx例8.4用算法8.1求解例8.3MINDMINUS1SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15END求解結果可見程序演示目標解因為每個單目標問題都是一個線性規(guī)劃問題，例8.4解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為０，即第一級偏差為０.再求第二級目標，列出其LINDO程序。程序名：exam0804b.ltx例8.4用算法8.1求解例8.3MINDPLUS2+DMINUS2SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15DMINUS1=0END求解結果可見程序演示修改的目標增加的約束解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為０，即第一級偏差為例8.解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值仍為０，即第二級偏差仍為０.繼續(xù)求第三級目標，列出其LINDO程序。程序名：exam0804c.ltx例8.4用算法8.1求解例8.3MIN3DPLUS3+3DMINUS3+DPLUS4SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15DMINUS1=0DPLUS2+DMINUS2=0END求解結果可見程序演示求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為29,即第三級偏差為29,分析結果,x1為2,x2為4,DPLUS1為100,因此目標規(guī)劃的最優(yōu)解為x

*=(2,4),最優(yōu)利潤為1600.修改的目標增加的約束解因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值仍為０，即第二級偏差例8.解按照算法8.1和例8.3目標規(guī)劃模型編寫LINGO求解程序，列出其LINGO程序,程序名：exam0805.lg4例8.5(繼例8.4)用算法8.1求解例8.3的LINGO程序程序運行說明，分三次求解：在做第一級目標計算時，P(1),P(2)和P(3)分別輸入1,0和0，Goal(1)和Goal(2)輸入兩個較大的數(shù)，表示這兩項約束不起作用；在做第二級目標計算時，P(1),P(2)和P(3)分別輸入0,1和0，由于第一級的偏差為0，因此Goal(1)為0，Goal(2)輸入一個較大的數(shù)；在做第三級計算時，P(1),P(2)和P(3)分別輸入0,0和1，由于第一級、第二級的偏差為0，因此Goal(1)和Goal(2)的輸入值也為0。結果可以參見程序演示！?。∮捎谠诶?.4中雖然給出了目標規(guī)劃問題的最優(yōu)解,但需要連續(xù)編幾個LINDO程序,在使用時不方便,下面使用LINGO軟件,編寫一個通用程序。解按照算法8.1和例8.3目標規(guī)劃模型編寫LINGO求解程8.3目標規(guī)劃模型的實例前面介紹了目標規(guī)劃的求解方法，接著再介紹幾個目標規(guī)劃模型的實例。8.3目標規(guī)劃模型的實例前面介紹了目標規(guī)某音像商店有5名全職售貨員和4名兼職售貨員。全職售貨員每月工作160小時，兼職售貨員每月工作80小時。根據(jù)過去的工作記錄，全職售貨員每小時銷售CD25張，平均每小時工資15元，加班工資每小時22.5元。兼職售貨員每小時銷售CD10張，平均每小時工資10元，加班工資每小時10元。現(xiàn)在預測下月CD銷售量為27500張，商店每周開門營業(yè)6天，所以可能要加班。另每出售一張CD盈利1.5元。例8.6該商店經(jīng)理認為，保持穩(wěn)定的就業(yè)水平加上必要的加班，比不加班但就業(yè)水平不穩(wěn)定要好。但全職售貨員如果加班過多，就會因疲勞過度而造成效率下降，因此不允許每月加班超過100小時。建立相應的目標規(guī)劃模型，并運用LINGO軟件進行求解。某音像商店有5名全職售貨員和4名兼職售貨員。全職售貨員每月工解首先建立目標約束的優(yōu)先級。P1：下月的CD銷售量達到27500張；P2：限制全職售貨員加班時間不超過100小時；P3：保持全體售貨員充分就業(yè)，因為充分工作是良好勞資關系的重要因素，但對全職售貨員要比兼職售貨員加倍優(yōu)先考慮；P4：盡量減少加班時間，但對兩種售貨員區(qū)別對待，優(yōu)先權因子由他們對利潤的貢獻而定。例8.6解首先建立目標約束的優(yōu)先級。例8.6例8.6第二，建立目標約束。(1)銷售目標約束。設

x1

：全體全職售貨員下月的工作時間；

x2

：全體兼職售貨員下月的工作時間；：達不到銷售目標的偏差；：超過銷售目標的偏差。希望下月的銷售量超過27500張CD片，因此銷售目標為例8.6第二，建立目標約束。例8.6第二，建立目標約束。(2)正常工作時間約束，設：全體全職售貨員下月的停工時間；：全體全職售貨員下月的加班時間；：全體兼職售貨員下月的停工時間；：全體兼職售貨員下月的加班時間。

由于希望保持全體售貨員充分就業(yè)，同時加倍優(yōu)先考慮全職售貨員,因此工作目標約束為例8.6第二，建立目標約束。例8.6第二，建立目標約束。(3)正常工作時間約束，設：全體全職售貨員下月加班不足100小時的偏差；：全體全職售貨員下月加班超過100小時的偏差。限制全職售貨員加班時間不超過100小時，將加班約束看成正常上班約束，不同的是右端加上100小時，因此加班目標約束為例8.6第二，建立目標約束。例8.6第二，建立目標約束。接上(3)另外，全職售貨員加班1小時，商店得到的利潤為15元(25*1.5-22.5=15)，兼職售貨員加班1小時，商店得到的利潤為5元(10*1.5-10=5)，因此加班1小時全職售貨員獲得的利潤是兼職售貨員的3倍，故權因子之比為

所以，另一個加班目標約束為：例8.6第二，建立目標約束。所以，另一例8.6

第三，按目標的優(yōu)先級，寫出相應的目標規(guī)劃模型：例8.6第三，按目標的優(yōu)先級，寫出相應的目標規(guī)劃

第四，寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0806.lg4.程序運行說明，分四次求解：在做第一級目標計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入1,0,0和0，Goal(1),Goal(2)和Goal(3)輸入兩個較大的數(shù)，表示這兩項約束不起作用；在做第二級目標計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,1,0和0，由于第一級的偏差為0，因此Goal(1)為0,Goal(2)和Goal(3)輸入一個較大的數(shù)；在做第三級計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,0,1和0，由于第一級,第二級的偏差為0，因此Goal(1)和Goal(2)的輸入值也為0，Goal(3)輸入一個較大的數(shù)；在做第四級計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,0,0和1，由于第一級,第二級和第三級的偏差為0,因此Goal(1),Goal(2)和Goal(3)輸入值也為0；全職售貨員總工作時間為900小時(加班100小時)，兼職售貨員總工作時間500小時(加班180小時)，下月共銷售CD27500張，商店共獲得利潤27500*1.5-800*15-100*22.5-500*10=22000(元)其結果可以參見程序演示！?。〉谒?，寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0806某計算機公司生產(chǎn)三種型號的筆記本電腦A,B,C。這三種筆記本電腦需要在復雜的裝配線上生產(chǎn)，生產(chǎn)1臺A,B,C型號的筆記本電腦分別需要5,8,12小時。公司裝配線正常的生產(chǎn)時間是每月1700小時。公司營業(yè)部門估計A,B,C三種筆記本電腦的利潤分別是每臺1000,1440,2520元，而公司預測這個月生產(chǎn)的筆記本電腦能夠全部售出。例8.7某計算機公司生產(chǎn)三種型號的筆記本電腦A,B,C。這例8.例8.7公司經(jīng)理考慮以下目標：第一目標：充分利用正常的生產(chǎn)能力，避免開工不足；第二目標：優(yōu)先滿足老客戶的需求，A,B,C三種型號的電腦50,50,80臺，同時根據(jù)三種電腦的純利潤分配不同的權因子；第三目標：限制裝配線加班時間，不允許超過200小時；第四目標：滿足各種型號電腦的銷售目標,A,B,C型號分別為100,120,100臺,再根據(jù)三種電腦的純利潤分配不同的權因子；第五目標：裝配線的加班時間盡可能少。請列出相應的目標規(guī)劃模型,并用LINGO軟件求解。例8.7公司經(jīng)理考慮以下目標：例8.7解建立目標約束。(1)裝配線正常生產(chǎn)設生產(chǎn)A,B,C型號的電腦為x1,x2,x3臺，裝配線正常生產(chǎn)時間未利用數(shù)，裝配線加班時間，希望裝配線正常生產(chǎn),避免開工不足,因此裝配線約束目標為例8.7解建立目標約束。例8.7(2)銷售目標優(yōu)先滿足老客戶的需求，并根據(jù)三種電腦的純利潤分配不同的權因子，A,B,C三種型號的電腦每小時的利潤是因此,老客戶的銷售目標約束為例8.7(2)銷售目標銷售目標約束為例8.7(2)銷售目標(接上)再考慮一般銷售，類似上面的討論，得到例8.7(2)銷售目標(接上)例8.7(3)加班限制首先是限制裝配線加班時間，不允許超過200小時，因此得到其次裝配線的加班時間盡可能少，即例8.7(3)加班限制其次裝配線的加班時間盡可能少例8.7

寫出相應的目標規(guī)劃模型：例8.7寫出相應的目標規(guī)劃模型：

寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0807.lg4.程序運行說明：經(jīng)5次計算得到x1=100,x2=55,x3=80。裝配線生產(chǎn)時間為1900小時，滿足裝配線加班不超過200小時的要求。能夠滿足老客戶的需求，但未能達到銷售目標。銷售總利潤為100x1000+55x1440+80x2520=380800(元)其結果可以參見程序演示?。?！寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0807例8.8已知三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品供應給四個用戶，各工廠生產(chǎn)量、用戶需求量及從各工廠到用戶的單位產(chǎn)品的運輸費用如表所示。由于總生產(chǎn)量小于總需求量,上級部門經(jīng)研究后，制定了調配方案的8項指標，并規(guī)定重要性的次序是:例8.8已知三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品供應給四個用戶，各工廠例8.8第一目標：用戶4為重要部門,需求量必須全部滿足；第二目標：供應用戶1的產(chǎn)品中，工廠3的產(chǎn)品不少于100個單位；第三目標：每個用戶的滿足率不低于80%；第四目標：應盡量滿足各用戶的需求；第五目標：新方案的總運費不超過原運輸問題的調度方案的10%；第六目標：因道路限制，工廠2到用戶4的路線應盡量避免運輸任務；第七目標：用戶1和用戶3的滿足率應盡量保持平衡；第八目標：力求減少總運費。請列出相應的目標規(guī)劃模型，并用LINGO軟件求解。例8.8第一目標：用戶4為重要部門,需求量必須全部滿足；例8.8解求解原運輸問題。由于總生產(chǎn)量小于總需求量,虛設工廠4,生產(chǎn)量為100個單位,到各個用戶間的運輸單價為0,利用第7章介紹的運輸問題的求解方法,用LINGO軟件求解,得到總運費是2950元,運輸方案如表所示.例8.8解求解原運輸問題。例8.8從上表可以看出，上述方案中，第一個目標就不滿足，用戶4的需求量得不到滿足。下面按照目標的重要性的等級列出目標規(guī)劃的約束和目標函數(shù)。設xij為工廠i調配給用戶j的運量.(1)供應約束應嚴格滿足,即(2)供應用戶1的產(chǎn)品中,工廠3的產(chǎn)品不少于100個單位,即例8.8從上表可以看出，上述方案中，第一個目標就不滿(1例8.8(3)需求約束.各用戶的滿足率不低于80%,即需求應盡量滿足各用戶的需求，即例8.8(3)需求約束.需求應盡量新方案的總運費不超過原運方案的10%（原運輸方案的運費為2950元），即(5)工廠2到用戶4的路線應盡量避免運輸任務,即(6)用戶1和用戶3的滿足率應盡量保持平衡，即(7)力求總運費最少,即新方案的總運費不超過原運方案的10%（原運輸(5)工廠2到例8.8

寫出相應的目標函數(shù)為

寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0808.lg4.例8.8寫出相應的目標函數(shù)為寫出相應程序運行說明其結果可以參見程序演示?。。〗?jīng)8次計算，得到最終的計算結果，見下表所示。總運費為3360元，高于原運費410元，超過原方案10%的上限115元。程序運行說明其結果可以參見程序演示！??！經(jīng)8在經(jīng)濟研究中，常常需要考慮多個目標，如經(jīng)濟效益目標，生態(tài)效益目標，社會效益目標，等等。為了滿足這類問題研究之需要，對多目標規(guī)劃方法作一些介紹。在經(jīng)濟研究中，常常需要考慮多個目標，如經(jīng)濟效益目標，第一節(jié)多目標規(guī)劃及其非劣解

多目標規(guī)劃及其非劣解多目標規(guī)劃求解技術簡介第一節(jié)多目標規(guī)劃及其非劣解多目標規(guī)劃及其非劣解一、多目標規(guī)劃及其非劣解（一）任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標函數(shù)；（2）若干個約束條件。（二）多目標決策的兩個較明顯的特點：（1）目標之間的不可公度性；（2）目標之間的矛盾性。（三）對于多目標規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學模型一般地描寫為如下形式：

一、多目標規(guī)劃及其非劣解（一）任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基（1.2）（1.1）式中：為決策變量向量。

（1.2）（1.1）式中：為決如果將（1.1）和（1.2）式進一步縮寫，即：（1.3）

（1.4）式中：是k維函數(shù)向量，

k是目標函數(shù)的個數(shù)；是m維函數(shù)向量；是m維常數(shù)向量；m是約束方程的個數(shù)。

如果將（1.1）和（1.2）式進一步縮寫，對于線性多目標規(guī)劃問題，（1.3）和（1.4）式可以進一步用矩陣表示：

（1.5）（1.6）式中：為n維決策變量向量；為k×n矩陣，即目標函數(shù)系數(shù)矩陣；為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；為m維的向量，約束向量。

對于線性多目標規(guī)劃問題，（1.3）和（1.4）式可以進一二、多目標規(guī)劃的非劣解多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化（最大或最?。活櫰渌繕?。二、多目標規(guī)劃的非劣解多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標在圖1.1中，就方案①和②來說，①的目標值比②大，但其目標值比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱之為多目標規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構成的集合稱為非劣解集。非劣解可以用圖1.1說明。圖1.1多目標規(guī)劃的劣解與非劣解在圖1.1中，就方案①和②來說，①的目標值比②大，當目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數(shù)同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。

當目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數(shù)同第二節(jié)多目標規(guī)劃求解技術簡介

為了求得多目標規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標規(guī)劃問題去處理。實現(xiàn)這種轉化，有如下幾種建模方法。一、效用最優(yōu)化模型(線性和加權法)二、平方和加權法三、約束模型

四、目標規(guī)劃模型五、目標達到法第二節(jié)多目標規(guī)劃求解技術簡介為了求得多目標規(guī)劃是與各目標函數(shù)相關的效用函數(shù)的和函數(shù)。

一、效用最優(yōu)化模型（線性加權法）

建模依據(jù)：規(guī)劃問題的各個目標函數(shù)可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標函數(shù)與效用函數(shù)建立相關關系，各目標之間通過效用函數(shù)協(xié)調，使多目標規(guī)劃問題轉化為傳統(tǒng)的單目標規(guī)劃問題：

（2.1）

（2.2）

是與各目標函數(shù)相關的效用函數(shù)的和函數(shù)。一、效用最優(yōu)化模型（在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權值來反映原問題中各目標函數(shù)在總體目標中的權重，即：式中，諸應滿足：若采用向量與矩陣

在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權值來反映原問題規(guī)劃決