《高中數(shù)學(xué)中分類(lèi)思想的應(yīng)用（論文）5200字》

第高中數(shù)學(xué)中分類(lèi)思想的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u164151緒論 1321111.1研究目的 160701.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀 248401.3研究?jī)?nèi)容 2166862分類(lèi)思想及其特征 274162.1轉(zhuǎn)化和劃歸思想 2172062.2數(shù)形結(jié)合思想 370053分類(lèi)思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 328663.1分類(lèi)思想在高中函數(shù)中的應(yīng)用 320503.2分類(lèi)思想在高中幾何中的應(yīng)用 4197393.3分類(lèi)思想在高中數(shù)列中的應(yīng)用 5107274結(jié)論 613098參考文獻(xiàn) 6摘要：分類(lèi)討論思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，不僅可以指導(dǎo)學(xué)生有效地解題，更能有效地提高學(xué)生思考問(wèn)題的條理性，嚴(yán)謹(jǐn)性，繽密性，完整性，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，因此，開(kāi)展分類(lèi)討論思想的研究和應(yīng)用，具有重要的意義。本文通過(guò)對(duì)分類(lèi)思想的分析，總結(jié)出了分類(lèi)思想的特點(diǎn)以及其在高中數(shù)學(xué)中的幾種應(yīng)用，期望能夠?qū)Ω咧袛?shù)學(xué)的教學(xué)發(fā)展有一定的促進(jìn)作用。關(guān)鍵詞：分類(lèi)思想；高中屬性；應(yīng)用1緒論1.1研究目的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和其他問(wèn)題的金鑰匙。開(kāi)展分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)中的研究與應(yīng)用，不僅有利于教師教學(xué)水平的整體提高，更會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有良好的促進(jìn)作用。其中(1)在教師方面，現(xiàn)代教學(xué)教育論認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識(shí)本身是非常重要的，但是對(duì)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)起到長(zhǎng)期作用的是數(shù)學(xué)思想方法。因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中，不僅要注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的講授，更要把數(shù)學(xué)思想方法在平時(shí)教學(xué)中的滲透作為重點(diǎn)。但是，部分教師在平常的教學(xué)中，對(duì)教材的把握并不是那么精準(zhǔn)，以至于對(duì)分類(lèi)討論思想的講解不到位，滲透不及時(shí)，這對(duì)學(xué)生全面理解分類(lèi)討論思想是沒(méi)有益處的。通過(guò)本文的工作，將有利于教師對(duì)分類(lèi)討論思想的整體理解，從而有利于教師在平時(shí)的教學(xué)中逐步滲透分類(lèi)討論思想，提高教師的教學(xué)水平和教學(xué)效果。(2)在學(xué)生方面，經(jīng)過(guò)初中的學(xué)習(xí)，高中生雖然具備一定的分類(lèi)討論知識(shí)，但他們所知道的分類(lèi)討論方面的知識(shí)卻是零散的，模糊不清的。例如，很多學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論的原則，分類(lèi)討論的步驟以及分類(lèi)討論的結(jié)論作答方式還不是特別清楚。通過(guò)本文的工作，可以讓學(xué)生懂得分類(lèi)討論的實(shí)質(zhì)是:“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整，不僅可以讓學(xué)生掌握解題的方法，更可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力和創(chuàng)新能力，對(duì)全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有良好的促進(jìn)作用。1.2國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的研究，尤其是對(duì)分類(lèi)討論思想方法的研究并不是外國(guó)的專(zhuān)利。分類(lèi)討論思想在我國(guó)古典數(shù)學(xué)的建立與發(fā)展過(guò)程中已經(jīng)起到了重要的作用，這一思想方法集中體現(xiàn)在我國(guó)古代最早的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中。首先，《九章算術(shù)》書(shū)名的由來(lái)就是分類(lèi)討論思想最直接的體現(xiàn)。它把與口常生產(chǎn)、生活有關(guān)的246個(gè)問(wèn)題按照性質(zhì)和解法的不同劃分為九類(lèi)。另外，《九章算術(shù)》第八章“方程”中首次引進(jìn)并使用了負(fù)數(shù)，在人類(lèi)歷史上第一次擴(kuò)充了數(shù)系，使“數(shù)”有了更加合理的分類(lèi)，第二章“粟米”中用其率術(shù)與反其率術(shù)分類(lèi)探討了兩個(gè)不定方程的求解等等，這一系列問(wèn)題都是分類(lèi)討論思想的具體應(yīng)用。在近些年，我國(guó)數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家也在孜孜不斷地進(jìn)行著數(shù)學(xué)思想方法方面的研究工作，并且取得了一系列優(yōu)秀的成果。我國(guó)數(shù)學(xué)方法論的倡導(dǎo)者，著名數(shù)學(xué)家徐利治教授在1983年發(fā)表了《數(shù)學(xué)方法論選講》，并提出了許多獨(dú)到的見(jiàn)解，為我國(guó)數(shù)學(xué)思想方法的研究作了開(kāi)創(chuàng)性和奠基性的工作。1985年鄭毓信教授出版了《數(shù)學(xué)方法論入門(mén)》，為進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)思想方法的研究作了積極的貢獻(xiàn)101989年，王仲春，李元中，顧莉蕾教授等出版了《數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論》，對(duì)數(shù)學(xué)思維以及數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了系統(tǒng)的論述。1990年，朱學(xué)志，周金才，高沛田教授出版《數(shù)學(xué)的歷史，思想和方法》闡述了數(shù)學(xué)思想方法并對(duì)其演變進(jìn)行了分析。進(jìn)入21世紀(jì)，探討數(shù)學(xué)思想方法的論文更是層出不窮，相應(yīng)地，也有一部分專(zhuān)家，學(xué)者和一線教師也在進(jìn)行著數(shù)學(xué)方法論與教學(xué)實(shí)踐的探究，旨在促進(jìn)我國(guó)教育教學(xué)質(zhì)量的提高。1.3研究?jī)?nèi)容為了更清晰地了解學(xué)生學(xué)習(xí)分類(lèi)討論思想時(shí)的現(xiàn)狀并探究對(duì)學(xué)生分類(lèi)討論思想理解與運(yùn)用水平產(chǎn)生影響的因素，以便指導(dǎo)學(xué)生更好地理解和運(yùn)用分類(lèi)討論思想，本文基于分類(lèi)討論思想理論分析，歸納出了分類(lèi)思想的特征何其在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。2分類(lèi)思想及其特征2.1轉(zhuǎn)化和劃歸思想所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想，是指通過(guò)一系列的轉(zhuǎn)化與化歸，把待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在已有范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種思維方式國(guó)。轉(zhuǎn)化與化歸思想的實(shí)質(zhì)就是把待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決或易解決的問(wèn)題。轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)中十分重要的數(shù)學(xué)思想。除極個(gè)別比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)問(wèn)題的解決都離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸思想。在高中數(shù)學(xué)中，常用到以下轉(zhuǎn)化形式:陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、空間與平面的轉(zhuǎn)化、變量與常量的轉(zhuǎn)化、抽象與具體的轉(zhuǎn)化等等回。我們?cè)谵D(zhuǎn)化問(wèn)題時(shí)，可以轉(zhuǎn)化它的條件，也可以轉(zhuǎn)化它的結(jié)論，也可以條件結(jié)論同時(shí)轉(zhuǎn)化。同樣，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化，也可以非等價(jià)轉(zhuǎn)化。若在迫不得已的情況下進(jìn)行非等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，應(yīng)加上與之相應(yīng)的附加條件，以保持轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，或者對(duì)所得的結(jié)論作必要的驗(yàn)證。我們?cè)谶M(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸時(shí)應(yīng)注意以下五條原則：(1)熟悉化原則高中生經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的學(xué)習(xí)，已經(jīng)熟練掌握了一些問(wèn)題的解法。將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的問(wèn)題，有利于學(xué)生用已熟悉的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決陌生的問(wèn)題。(2)簡(jiǎn)單化原則復(fù)雜問(wèn)題往往是由與之相關(guān)聯(lián)的一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題發(fā)展而來(lái)的，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，便于引導(dǎo)學(xué)生找到解決問(wèn)題的方法。(3)和諧統(tǒng)一性原則化歸應(yīng)盡量使要解決的問(wèn)題在表現(xiàn)形式上更趨于和諧，在量、形、關(guān)系方面更趨于統(tǒng)一，使問(wèn)題的條件、結(jié)構(gòu)與結(jié)論表現(xiàn)得更勻稱(chēng)和恰當(dāng)。我們把這一原則稱(chēng)為和諧統(tǒng)一性原則。例如，分?jǐn)?shù)(式)的加減運(yùn)算要化為同分母的分?jǐn)?shù)(式)相加減，就是這一原則的簡(jiǎn)單體現(xiàn)。(4)具體化原則將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較熟悉的問(wèn)題，可以使學(xué)生更容易把握其中的數(shù)量關(guān)系，從而更加有利于問(wèn)題的解決。(5)正難則反原則當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題從正面解決比較困難或者無(wú)法取得進(jìn)展時(shí)，可考慮從問(wèn)題的反面出發(fā)，從而使問(wèn)題得以解決。用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題就是這一原則的具體體現(xiàn)。2.2數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而優(yōu)化解題途徑。數(shù)形結(jié)合作為高中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，在學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)以及高考中都得到了廣泛的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用形式主要有以下三種:(1)“從數(shù)到形，以形助數(shù)”。對(duì)于給定的純代數(shù)問(wèn)題，根據(jù)已知條件畫(huà)出相應(yīng)的圖形，使圖形能夠充分反映出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，從而可以簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題。雖然用圖形分析問(wèn)題可以使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單，但要注意，畫(huà)圖的時(shí)候應(yīng)力求準(zhǔn)確，觀察圖形應(yīng)力求仔細(xì)，否則，會(huì)導(dǎo)致不必要的失誤，甚至錯(cuò)誤?！坝尚蔚綌?shù)”的轉(zhuǎn)化一般比較明顯，而“由數(shù)到形”的轉(zhuǎn)化往往需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)，因此，“由數(shù)到形”的轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的重點(diǎn)。(2)“從形到數(shù)，以數(shù)助形”。即根據(jù)圖像的特征，列出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式，用代數(shù)方法解決相應(yīng)的幾何問(wèn)題。(3)“數(shù)形結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化，相互補(bǔ)充”。對(duì)于一些復(fù)雜的問(wèn)題，如果只單獨(dú)的從以上二者之一進(jìn)行考慮，問(wèn)題就會(huì)難以解決。此時(shí)，就需要“數(shù)”與“形”相互結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化。3分類(lèi)思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1分類(lèi)思想在高中函數(shù)中的應(yīng)用函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重頭戲，其變化方式更是靈活多變。因此，針對(duì)函數(shù)內(nèi)容所開(kāi)展的教學(xué)活動(dòng)向來(lái)是很受教師們重視的。學(xué)生們?nèi)绻軌驅(qū)⒑瘮?shù)部分的知識(shí)內(nèi)容掌握到位，必將為整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，穩(wěn)固半壁江山。既然函數(shù)問(wèn)題形式多樣，內(nèi)容繁雜，逐個(gè)記憶研究自然是不現(xiàn)實(shí)的。如果能夠找到方法，統(tǒng)一適用，必定可以讓函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程事半功倍。例如，在對(duì)函數(shù)知識(shí)進(jìn)行延伸時(shí)，為學(xué)生們?cè)O(shè)計(jì)了這樣一道題目:關(guān)于x的方程ax=-x2+2x+a(a>0且a≠1)有多少個(gè)解?學(xué)生們的初步思路形成都是很順利的，即分別構(gòu)造函數(shù)y=ax和y=-x2+2x+a，通過(guò)確定兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)得出最后答案。而難點(diǎn)就在于交點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)如何確定。由于字母a的存在，使得函數(shù))=a`的單調(diào)性并不唯一為此，就需要分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論，綜合考慮二者結(jié)論得出題目的最終答案。經(jīng)過(guò)分別作圖(如圖3-1和圖3-2所示)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)數(shù)量始終為2個(gè)，答案得以確定。通過(guò)這個(gè)練習(xí)，學(xué)生們找到了借助分類(lèi)討論的方法來(lái)對(duì)函數(shù)問(wèn)題中的不確定部分進(jìn)行把控的方式。圖3-1圖3-2說(shuō)到函數(shù)問(wèn)題的難度，很大程度上都會(huì)體現(xiàn)在問(wèn)題內(nèi)涵的靈活多變上。在很多比較復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)多種方向的可能性。這樣一來(lái)，學(xué)生們的思維就很容易被這些可能性所打亂，造成分析解答的困難。如果學(xué)生們能夠在函數(shù)問(wèn)題的思考中掌握分類(lèi)討論的規(guī)律方法，便能坦然面對(duì)眼前的復(fù)雜局面，冷靜分析，針對(duì)每一種可能性分別進(jìn)行有效處理。3.2分類(lèi)思想在高中幾何中的應(yīng)用分類(lèi)討論的規(guī)律方法并不僅僅適用于代數(shù)類(lèi)問(wèn)題，于幾何問(wèn)題當(dāng)中同樣應(yīng)用廣泛。既然是幾何問(wèn)題，就離不開(kāi)圖形的加入，圖形之間的位置關(guān)系也就成為了很多問(wèn)題的討論焦點(diǎn)。然而，很多幾何問(wèn)題當(dāng)中的條件敘述并不明確，也就為分類(lèi)討論方法的使用提供了前提基礎(chǔ)。學(xué)生們既要善于從已知條件中發(fā)現(xiàn)多種可能性的存在，更要善于運(yùn)用分類(lèi)討論的方法全面解答問(wèn)題。例如，在一次階段測(cè)驗(yàn)中曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)這樣一道平面幾何題目:如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)點(diǎn)C(1,0)，以它為圓心的圓與坐標(biāo)縱軸相切，一條直線Z與該圓相切，切點(diǎn)為點(diǎn)D，且點(diǎn)A(-1,0)在這條直線上。(1)直線Z的解析式是什么?(2)直線Z上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得△APC是一個(gè)等腰三角形?圖3-3這道題目的正確率并不高，主要問(wèn)題都出在第(2)問(wèn)的解答上。對(duì)于△APC中的哪兩條邊等長(zhǎng)，很多學(xué)生都是想當(dāng)然地加以確定，而沒(méi)有進(jìn)行分類(lèi)討論。經(jīng)過(guò)講解，學(xué)生們意識(shí)到，對(duì)于這種不確定的題目條件，必須厘清思路，找準(zhǔn)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)逐一進(jìn)行討論，方能保證結(jié)論的完整。具體至這道題，就應(yīng)當(dāng)根據(jù)點(diǎn)P,C,A分別為三角形頂點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行討論。很多比較復(fù)雜的幾何問(wèn)題，并不是在圖形的層面上獨(dú)立存在的，而是常常與方程、函數(shù)甚至數(shù)列等代數(shù)問(wèn)題聯(lián)系在一起。這樣一來(lái)，就為當(dāng)前的幾何問(wèn)題增加了很多分析的難度。特別是在條件氛圍比較模糊的時(shí)候，學(xué)生們必須準(zhǔn)確找到關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，并以之作為分類(lèi)依據(jù)，對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行有效分析。 3.3分類(lèi)思想在高中數(shù)列中的應(yīng)用數(shù)列問(wèn)題一直是高中生感到難度很大的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一雖然從概念與公式的角度來(lái)看，數(shù)列問(wèn)題的內(nèi)容明確清晰，但是，真正進(jìn)入到問(wèn)題解答環(huán)節(jié)時(shí)，便會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的變化方式著實(shí)靈活，綜合程度也很高，對(duì)學(xué)生們的思維能力提出了相當(dāng)強(qiáng)的要求一方面，學(xué)生們要將數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)掌握到位，融會(huì)貫通，另一方面，還要有能力對(duì)復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行條理清晰的分析，將每一種可能都考慮到位。例如，在數(shù)列內(nèi)容的教學(xué)中，我特意引入了如下題目:數(shù)列{耐是一個(gè)等比數(shù)列，它的首項(xiàng)是2，公比是0.5，前n項(xiàng)和是Sn。(1)請(qǐng)用Sn來(lái)表示Sn+1；(2)能否找到合適的k與c，使得Sk+1很顯然，第(2)問(wèn)是學(xué)生們感到困難的地方，要使得條件成立，只需要c?(32Sk?2)c?Sk<0。由Sk=41?1對(duì)于數(shù)列問(wèn)題的關(guān)注，不能僅僅集中在公式與定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用上，更要訓(xùn)練學(xué)生們?cè)诜彪s情形之下厘清頭緒，尋找分析關(guān)鍵點(diǎn)的能力。當(dāng)學(xué)生們能夠站在一定的高度上來(lái)審視數(shù)列問(wèn)題，及時(shí)發(fā)現(xiàn)其中的分析焦點(diǎn)之所在時(shí)，也就能夠很好地確定解答方向及用力重點(diǎn)，解題過(guò)程自然順利許多。4結(jié)論高中數(shù)學(xué)中的知識(shí)數(shù)量大，知識(shí)難度高，對(duì)學(xué)生們的學(xué)習(xí)能力提出了很高的要求。為了妥善應(yīng)對(duì)各種知識(shí)內(nèi)容，學(xué)生們必須學(xué)會(huì)用巧勁兒，從看似雜亂無(wú)章的內(nèi)容要點(diǎn)當(dāng)中找出共性，提煉總結(jié)，得出可以普適于多