兩角和與差正弦余弦正切公式

1.會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系.

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝

；(2)cos2α＝

＝

＝

；(3)tan2α＝2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α[思考探究]你能用tanα表示sin2α和cos2α嗎？提示：sin2α＝2sinαcosα＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝3.形如asinx＋bcosx的化簡1.sin72°·cos42°－cos72°sin42°的值為(

)A.

B.C.D.cos114°解析：sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝.答案：B2.已知sinα＝，且α∈(，π)，則的值為(

)A.B.C.D.解析：∵sinα＝，α∈(，π)，∴cosα＝－，答案：B3.下列各式中，值為的是(

)A.sin15°cos15°B.2cos2－1C.D.解析：答案：D4.已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，則tan2α＝

.解析：∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝答案：5.若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，則tanαtanβ＝

.解析：cos(α＋

β)＝cosαcos

β

－sinαsin

β

＝，①cos(α－

β)＝cosαcosβ＋sinαsin

β

＝.②①×3－②得：2cosαcosβ

＝4sinαsin

β，即tanαtan

β

＝.答案：1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則(1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與

聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式.(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使

用的公式，常見的有“切化弦”.(3)三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變

形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等.2.根式的化簡常常需要升冪去根號，在化簡中注意角的范

圍以確定三角函數(shù)值的正負號.3.對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這

類問題的基本思路有：(1)化為特殊角的三角函數(shù)值；(2)化為正、負相消的項，消去求值；(3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值.[特別警示]要善于觀察和分析所要化簡的表達式，對比它與和、差、倍角公式結構上的相似之處，以便確定相應的公式進行化簡整理.化簡：[思路點撥][課堂筆記]

(1)∵sin50°(1＋tan10°)(2)原式＝因為0＜θ＜π，所以0＜

＜，所以cos

＞0，所以原式＝－cosθ.1.解決三角函數(shù)的給值求值問題的關鍵是把“所求角”用“已

知角”表示.(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”

的和或差的形式；(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”

的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已

知角”.2.常見的配角技巧(1)設cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且

＜α＜π，0＜β＜，求cos(α＋β).(2)已知sin(＋α)·sin(－α)＝，α∈(，π)，求sin4α.[思路點撥][課堂筆記]

(1)∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos(α－)＝－，得sin(α－)＝.由sin(－β)＝，得cos(－β)＝.∴cos()＝cos[(α－)－(－β)]＝.∴cos(α＋β)＝2cos2α＋－1＝.(2)法一：∵sin(＋α)·sin(－α)＝sin(＋α)cos(＋α)＝，∴sin(＋2α)＝，即cos2α＝.∵α∈(，π)，則2α∈(π，2π)，∴sin2α＝于是sin4α＝2sin2αcos2α＝.法二：由條件得(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，即(cos2α－sin2α)＝.∴cos2α＝.由2α∈(π，2π)得sin2α＝－，∴sin4α＝－.1.通過先求角的某個三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，

遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍

是(0，)，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，

選余弦較好；若角的范圍為(－，)，選正弦較好.2.解給值求角問題的一般步驟為：(1)求角的某一個三角函數(shù)值；(2)確定角的范圍；(3)根據角的范圍寫出所求的角.已知0＜α＜＜β＜π，tan，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值.[思路點撥][課堂筆記]

(1)tanα＝所以又因為sin2α＋cos2α＝1,0＜α＜，解得sinα＝.(2)因為0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π.因為cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.所以sinβ

＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝因為β∈(,π)，所以β＝.保持例題條件不變，求cos(α－β).解：由例題可知sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式作為解題工具，是每年高考的必考內容，常在選擇題中以條件求值的形式考查.近幾年該部分內容與向量的綜合問題常出現(xiàn)在解答題中，并且成為高考的一個新考查方向.(2009·廣東高考)(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)與b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，).(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0＜φ＜，求cosφ的值.[考題印證]【解】

(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0?sinθ＝2cosθ.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1?cos2θ＝┄(4分)∵θ∈(0，)，∴cosθ＝?sinθ＝.┄┄┄┄(6分)(2)由5cos(θ－φ)＝3cosφ有，5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝3cosφ┄┄┄┄┄┄┄(8分)?cosφ＋2sinφ＝3cosφ，∴cosφ＝sinφ.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)∵0＜φ＜，∴cosφ＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)[自主體驗]已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sinβ＝，求sinα的值.解：(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ).∵|a－b|＝∴＝，即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.(2)∵0＜α＜，－＜β＜0，sinβ＝，∴cosβ＝,0＜α－β＜π，∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ

1.(2009·福建高考)函數(shù)f(x)＝sinxcosx的最小值是(

)A.－1

B.C.D.1解析：∵f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴f(x)min＝－.答案：B2.(2009·陜西高考)若3sinα＋cosα＝0，則

的值為(

)A.B.C.D.－2解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，則＝答案：A3.sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的

值為(

)

解析：原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.答案：B4.(2010·黃岡模擬)已知sin(－α)＝，則cos(＋2α)

＝

.解析：cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1，且cos(＋α)＝sin(－α)＝.所以cos(＋2α)＝－.答案：－5.已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，

若a·b＝，則tan(α＋)的值為

.

解析：由a·b＝，得cos2α＋sinα(2sinα－