二函數(shù)的最值

關(guān)于二函數(shù)的最值第一頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)習(xí)：1.函數(shù)的單調(diào)性概念;2.增(減)函數(shù)的定義;3.增(減)函數(shù)的圖象特征;4.增(減)函數(shù)的判定;5.增(減)函數(shù)的證明.第二頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日一、引入新課觀察下面兩幅函數(shù)圖象：可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)f（x）=x2的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)（0，0），即對(duì)于任意x∈R，都有f（x）≥f（0）.當(dāng)一個(gè)函數(shù)f（x）的圖象有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)函數(shù)f（x）有最小值.而f（x）=x的圖象沒(méi)有最低點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）=x沒(méi)有最小值.第三頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日最值函數(shù)圖象特征函數(shù)值特征最小值函數(shù)圖象上有最低點(diǎn)存在x0，使對(duì)于任意x∈R，都有f（x）≥f（x0）最大值函數(shù)圖象上有最高點(diǎn)存在x0，使對(duì)于任意x∈R，都有f（x）≤f（x0）根據(jù)上面的觀察和學(xué)習(xí)，我們可以總結(jié)出下面表格：第四頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么，我們稱M是函數(shù)y=f（x）的最大值(maximumvalue).同樣的可以給出最小值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f（x）≥M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么，我們稱M是函數(shù)y=f（x）的最小值(minimumvalue).第五頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日二、鞏固練習(xí)例1求函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值.分析:由函數(shù)(x∈[2,6])的圖象可知,函數(shù)在區(qū)間[2,6]上遞減.所以函數(shù)在區(qū)間[2,6]的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值.第六頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日先說(shuō)明函數(shù)是在區(qū)間上的減函數(shù)，復(fù)習(xí)一下判定函數(shù)單調(diào)性的基本步驟。利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)的最大值與最小值是一種十分常用的方法，要注意掌握。第七頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日例2畫(huà)出函數(shù)y=2x2-5x+5的圖象，并結(jié)合圖象寫出函數(shù)在下列區(qū)間上的最大值與最小值.(1)[-2,1](2)[3,6](3)[1,3]解:根據(jù)題意畫(huà)出如下函數(shù)圖象(1)最大值為f(-2)=23,最小值為f(1)=2;(2)最大值為f(6)=47,最小值為f(3)=8;(3)最大值為f(3)=8,最小值為f(5/4)=15/8.第八頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日例3.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間［0,m］上最大值為3，最小值為2，則m的取值范圍為（）A.［1，+∞）B.［0，2］C.（-∞，-2］D.［1，2］解析

∵f（x）=（x-1）2+2，其對(duì)稱軸為x=1,

當(dāng)x=1時(shí)，f(x)min=2,故m≥1,

又∵f(0)=3,∴f(2)=3,∴m≤2.綜上，1≤m≤2.D第九頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日例4.求函數(shù)f(x)=x2-2ax-1在區(qū)間［0,2］上的最值.由f(x)=(x-a)2-a2-1，因?yàn)閤∈［0,2］,(1)當(dāng)0≤a≤2時(shí)，f(x)min=f(a)=-a2-1.①當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)max=f(2)=22-4a-1=3-4a；②當(dāng)1<a≤2時(shí)，f(x)max=f(0)=-1.(2)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.(3)當(dāng)a>2時(shí)，f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.綜上所述：f(x)max=f(x)min=返回第十頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日例5求f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值.解:f(x)=(x-a)2+2-a2,①當(dāng)a＜2時(shí),②當(dāng)2≤a＜4時(shí)，

③當(dāng)a≥4時(shí),

∴f(x)min=f(2)=6－4a;f(x)在[2,4]上是增函數(shù),∴f(x)min=f(a)=2－a2.f(x)在[2,4]上是減函數(shù).∴f(x)min=f(4)=18－8a.幾何畫(huà)板第十一頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日求最大值：①當(dāng)a＜3時(shí)，

②當(dāng)a≥3時(shí)，

f(x)max=

xyo2

4x=3f(x)max=f(4)=18－8af(x)max=f(2)=6－4a第十二頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日例6.已知f(x)=x2－4x－4,x∈[t,t+1](t∈R)，求f(x)的最小值g(t)的解析式.解:f(x)=(x－2)2－8(1)當(dāng)2∈[t,t+2],即1≤t≤2時(shí)，

g(t)=f(2)=－8;(2)當(dāng)t＞2時(shí)，∴g(t)=f(t)=t2－4t－4;(3)當(dāng)t+1＜2,即t＜1時(shí),f(x)在[t,t+1]上是減函數(shù),∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.綜上所述:g(t)=

f(x)在[t,t+1]上是增函數(shù)，xyox=2t

t+1x=2x=2第十三頁(yè)，共十六頁(yè)，2022年，8月28日三、總結(jié)函數(shù)的最大值與最小值的圖象特征與數(shù)值特征.