近代概率論試題庫(計(jì)算證明題部分)

..近代概率論基礎(chǔ)題庫〔計(jì)算證明題部分一、某人寫好封信,又寫好個(gè)信封,然后在黑暗中隨機(jī)地把封信放入個(gè)信封中〔一個(gè)信封中只能放一封信,試求至少有一封信放對(duì)的概率?！?0分一、解：若以記第封信與信封符合,則所求的事件為：。不難求得：,,,故二、從數(shù)字中〔可重復(fù)地任取次,試求所取的個(gè)數(shù)的乘積能被10整除的概率?！?0分二、解：個(gè)數(shù)的乘積要能被10整除,則這個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù),也至少有一個(gè)為5。因取數(shù)是放回抽樣,顯然樣本空間中有基本事件個(gè)。設(shè)={所取的個(gè)數(shù)的乘積能被10整除},={所取的個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)},={所取的個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)為5},則為所取的個(gè)數(shù)全為奇數(shù),故所含基本事件數(shù)為；為所取的個(gè)數(shù)無5,故所含基本事件數(shù)為；為所取的個(gè)數(shù)全為奇數(shù)且不含5,故所含基本事件數(shù)為,且所以由計(jì)算公式得：三、一質(zhì)點(diǎn)從平面上某點(diǎn)出發(fā),等可能的向上、下、左及右方向移動(dòng),每次移動(dòng)的距離為1,求經(jīng)過次移動(dòng)后回到出發(fā)點(diǎn)的概率?！?0分三、解：若要在次移動(dòng)后回到原來的出發(fā)點(diǎn),則向左移動(dòng)的次數(shù)與向右移動(dòng)的次數(shù)應(yīng)該相等,向上移動(dòng)的次數(shù)與向下移動(dòng)的次數(shù)也應(yīng)該相等,而總移動(dòng)次數(shù)為。故所求的概率為：四、假定一塊放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)射出的粒子數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布。而每個(gè)放射出的粒子被記錄下來的概率均為。如果各粒子是否被記錄相互獨(dú)立,試求記錄下的粒子數(shù)的分布。〔10分四、解：以事件為分割用全概率公式得：對(duì)任意得非負(fù)整數(shù)有：五、證明：在獨(dú)立重復(fù)的伯努利實(shí)驗(yàn)序列中,如果實(shí)驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)服從參數(shù)為泊松分布,求成功次數(shù)和失敗次數(shù)的概率分布,并證明與相互獨(dú)立?！?0分五、解：以事件為分割用全概率公式得：對(duì)任意得非負(fù)整數(shù)有：同理進(jìn)一步地,六、若是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,具有相同的分布函數(shù),而及相當(dāng)于把按大小順序重新排列為的末項(xiàng)和首項(xiàng),求及的分布函數(shù),并求的聯(lián)合分布函數(shù)?！?0分六、解：首先求的分布函數(shù)：再求的分布函數(shù)：因?yàn)樗宰詈笄蟮穆?lián)合分布函數(shù)：記若,則若,則七、設(shè)與相互獨(dú)立,且均服從上的均勻分布,證明：與相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?！?0分七、證明：因?yàn)閯t因此故雅可比行列式為：因?yàn)榕c相互獨(dú)立,故的密度函數(shù)為：因?yàn)榈拿芏群瘮?shù)為：因而,與的邊際密度函數(shù)分別為：并且,因而與相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。八、〔10分已知隨機(jī)向量服從多項(xiàng)分布,即這里且僅當(dāng)時(shí)上式才成立,否則為0.求隨機(jī)向量的各個(gè)分量之間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。八、解：顯然,因此注意到因此由于因而有相關(guān)系數(shù)為：。九、袋中有張卡片,各記以數(shù)字,不放回地從中抽出張,求其和的數(shù)學(xué)期望和方差?！?0分九、解：取一張時(shí),其數(shù)字的均值及方差分別為及若以記張卡片的數(shù)字之和,以記第次抽得的卡片上的數(shù)字,則由于抽簽與順序無關(guān),因此故所以在上式中令,因?yàn)槭且粋€(gè)常數(shù),因此,于是因而于是。十、擲5顆骰子,求所得總和為15的概率?！蔡崾荆豪媚负瘮?shù)〔10分十1、解：以表示第顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù),則總和為：因服從1到6上的等可能分布,故其母函數(shù)均為又因?yàn)橄嗷オ?dú)立,故其和的母函數(shù)為：。于是,所求的概率恰為的冪級(jí)數(shù)展開式中前面的系數(shù)。由于因此。十2、〔10分?jǐn)S5顆骰子,求所得總和為16的概率?！蔡崾荆豪媚负瘮?shù)解：以表示第顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù),則總和為：。。。。。2分因服從1到6上的等可能分布,故其母函數(shù)均為。。。。。1分又因?yàn)橄嗷オ?dú)立,故其和的母函數(shù)為：。。。。。。2分于是,所求的概率恰為的冪級(jí)數(shù)展開式中前面的系數(shù)。。。。。1分由于。。。。。2分。。。。。1分因此。。。。。。1分十一、求正態(tài)分布的特征函數(shù)。十一、解：先討論的場(chǎng)合：由于正態(tài)分布的一階矩存在,可對(duì)上式求導(dǎo),得因此由于,故,因此對(duì)于的場(chǎng)合,因?yàn)?故由特征函數(shù)的性質(zhì)可知其特征函數(shù)為：十二、〔10分設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,它們服從相同的分布,且具有有限的數(shù)學(xué)期望,證明：對(duì)任意的,有十二、證明：由于具有相同分布,故有相同的特征函數(shù),設(shè)為,因?yàn)閿?shù)學(xué)期望存在,故可展開成：。。。。。2分而的特征函數(shù)為：。。。。。2分對(duì)固定的,。。。。。2分由于極限函數(shù)是連續(xù)函數(shù),它是退化分布所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù),根據(jù)逆極限定理知：的分布函數(shù)收斂于。。。。。。2分最后根據(jù)以概率收斂和依分布收斂的關(guān)系可知：以概率收斂于常數(shù),從而結(jié)論成立。。。。。。2分十三、設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且,令證明：若,則〔10分十三、證明：記的特征函數(shù)為,則的特征函數(shù)為。。。。。。2分由于故。。。。。。2分因此。。。。。。2分所以。。。。。。2分由于是連續(xù)函數(shù),它對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為,因此由逆極限定理知因此結(jié)論成立。。。。。。。2分十四、若為可測(cè)空間上滿足的非負(fù)集合函數(shù),證明：它具有可列可加性的充要條件為：〔1它是有限可加的；〔2它是下連續(xù)的。十四、證明：即要證明其中互不相容,且。。。。。。2分取由立刻得到式。。。。。。。1分下面我們證明式,事實(shí)上,。。。。。。1分。。。。。。1分。。。。。。1分。。。。。。1分故。。。。。。1分。。。。。。2分十五、設(shè)一個(gè)家庭中有個(gè)小孩的概率為：這里,若認(rèn)為生一個(gè)小孩為男孩或女孩是等可能的,求一個(gè)家庭中有個(gè)男孩的概率。十五、解：用表示"一個(gè)家庭有個(gè)小孩",用表示"一個(gè)家庭有個(gè)男孩",則根據(jù)題意,顯然有且對(duì)任意的有；對(duì)任意的有。。。。。。。2分根據(jù)全概率公式,對(duì)任意的,我們有〔。。。。。。2分。。。。。。2分。。。。。。2分。。。。。。。2分注：在求〔式和的時(shí)候,還有其它辦法,比如：設(shè),則,故。十六、在伯努利實(shí)驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的概率為,分別求在次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中事件出現(xiàn)奇數(shù)次和偶數(shù)次的概率。十六、解：設(shè),則；。。。。。。3分。。。。。。3分故出現(xiàn)偶數(shù)次的概率為上面兩式相加再除以2,即為：。。。。。。。2分而出現(xiàn)奇數(shù)次的概率為上面兩式相減再除以2,即為：。。。。。。。2分十七、用表示某交換裝置在時(shí)間段內(nèi)的呼叫數(shù),假定它是參數(shù)為的泊松過程。用表示它的第個(gè)呼叫發(fā)生的時(shí)刻,證明它的密度函數(shù)為：即服從參數(shù)為的埃爾蘭分布。并用上式推證泊松分布的部分和的下面的公式：十七、證明：顯然,。。。。。。。2分若用記的分布函數(shù),則,。。。。。。2分因此,。。。。。。2分。。。。。。。2分故對(duì)任意的,我們有。。。。。。1分最后在上式的兩邊令,并作變量代換即得結(jié)論。。。。。。。1分十八、若,而的密度函數(shù)為,求的分布函數(shù)和密度函數(shù)；進(jìn)一步地,如果與相互獨(dú)立且分別服從分布,求的密度函數(shù)。十八、解：的分布函數(shù)為。。。。。。2分因。。。。。。2分因此,的密度函數(shù)為：。。。。。。3分進(jìn)一步地,如果與獨(dú)立且分別服從分布,則的密度函數(shù)為,。。。。。。1分故此時(shí)的密度函數(shù)為。。。。。。2分十九、若與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,均服從,化為極坐標(biāo)后,及取值于,試求的聯(lián)合密度函數(shù),并證明它們是相互獨(dú)立的。十九、解：因?yàn)?故。。。。。。。2分因此。。。。。。2分因?yàn)榈拿芏群瘮?shù)為。。。。。。2分故的密度函數(shù)為。。。。。。2分因而,與的邊際密度函數(shù)分別為并且于是與相互獨(dú)立。。。。。。。2分二十、設(shè)隨機(jī)變量取值于,若只與長(zhǎng)度有關(guān)〔對(duì)一切,證明：服從的均勻分布。二十、證明：設(shè)．。。。。。。1分根據(jù)題意：對(duì)任意的,有,。。。。。。2分故對(duì)任意的,有。。。。。。2分考慮到為的增函數(shù),這樣類似于教材P98頁引理２.4.1的證明,我們可以證得：,其中為一常數(shù)．。。。。。。4分又因?yàn)?故．因此,即服從的均勻分布．。。。。。。1分二十一、〔共15分設(shè)與相互獨(dú)立且服從同一幾何分布,令,求〔1的聯(lián)合分布律；〔2的分布；〔3關(guān)于的條件概率分布。二十一、解：〔1為求的聯(lián)合概率分布,分別考慮下列三種情況：其中利用到獨(dú)立性。〔a；。。。。。。2分<b>；。。。。。。2分<c>。。。。。。2分<2>因?yàn)?所以。。。。。。2分。。。。。。2分〔3。。。。。。2分。。。。。。3分二十二、設(shè)為單調(diào)非降函數(shù),且。對(duì)隨機(jī)變量,若,證明：對(duì)任意的,有二十二、解：設(shè)的分布函數(shù)為,根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義,注意到的單調(diào)非降性,可知：對(duì)任意的,有。。。。。。2分。。。。。。2分。。。。。。2分。。。。。。2分最后由可知結(jié)論成立。。。。。。。2分二十三、若相互獨(dú)立,均服從,證明：二十三、解：的聯(lián)合密度為,。。。。。。2分∴。。。。。。2分。。。。。。2分〔利用密度函數(shù)的積分值為1,減a再加a〔在前一積分中交換積分次序,在后一積分中交換x與y的記號(hào)。。。。。。2分.。。。。。。2分另證：設(shè),則。而和的分布函數(shù)均為：,又因?yàn)橄嗷オ?dú)立,故的分布函數(shù)應(yīng)為：,于是。二十四、若都是只能取兩個(gè)值的隨機(jī)變量,證明如果它們不相關(guān),則獨(dú)立。二十四、解：不妨設(shè)的分布律及聯(lián)合分布律分別為：,；。。。。。。。3分那么；。。。。。。2分。。。。。。2分如果不相關(guān),則有,即。。。。。。。2分由上式可解得：于是與相互獨(dú)立。。。。。。。1分二十五、求參數(shù)為的泊松分布的特征函數(shù),并特征函數(shù)證明泊松分布關(guān)于參數(shù)的再生性。二十五、解：根據(jù)特征函數(shù)的定義,參數(shù)為的泊松分布的特征函數(shù)為：。。。。。。2分。。。。。。。2分進(jìn)一步地,如果服從,服從,而且相互獨(dú)立,則的特征函數(shù)為：。。。。。。2分。。。。。。。2分于是服從,故。。。。。。。2分即泊松分布關(guān)于參數(shù)具有再生性。二十六、<10分>若的密度函數(shù)為,而,,這里,求的密度函數(shù).二十六、解:因?yàn)?,。。。。。2分故,.。。。。。2分而.。。。。。3分因此的密度函數(shù)為.。。。。。3分二十七、〔10分在圓周上任取三點(diǎn)試求這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為銳角三角形的概率。解分別以表示的弧度,于是樣本點(diǎn)是三維空間中的點(diǎn),而樣本空間為由任意性可知樣本點(diǎn)在中均勻分布。我們關(guān)心的事件為故所求的概率為二十八、〔10分個(gè)男孩和個(gè)女孩隨機(jī)的沿著圓桌坐下,試求任意兩個(gè)女孩都不相鄰的概率。解：法一：我們不對(duì)椅子編號(hào),即只要各個(gè)人相互之間的位置相同我們就認(rèn)為是同一種排法。個(gè)人隨機(jī)的沿著圓桌坐下,共有種不同的坐法。要使任意兩個(gè)女孩都不相鄰,可以先排男孩,再在男孩的空隙中放女孩。這樣,首先讓個(gè)男孩沿沿著圓桌隨機(jī)的坐下,共有種不同的坐法,男孩坐好之后,再在男孩的空隙中放入個(gè)女孩,共有種放法,因此,有利事件的個(gè)數(shù)應(yīng)為：,于是。。下面的兩種辦法都是先對(duì)椅子進(jìn)行編號(hào)。法二：看1號(hào)位為"男"還是"女"。。法三：先在直線上排,再減去多出的。。二十九、<10分>甲、已、丙三人進(jìn)行某項(xiàng)比賽,若三人勝每局的概率相等,比賽規(guī)定先勝三局者為整場(chǎng)比賽的優(yōu)勝者若甲勝了第一、三局,乙勝了第二局,問丙成為整場(chǎng)比賽的優(yōu)勝者的概率是多少？解：丙要成為整場(chǎng)比賽的優(yōu)勝者,在后面的比賽中只有下面的四種可能：局?jǐn)?shù)45671．丙勝丙勝丙勝2．乙勝丙勝丙勝丙勝3．丙勝乙勝丙勝丙勝4．丙勝丙勝乙勝