2020-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)第一章《有理數(shù)》復(fù)習(xí)講義含答案解析

2020-2021學(xué)年人教版七年級上冊期末復(fù)習(xí)精選題考點講義第一章有理數(shù)知識點1：有理數(shù)的相關(guān)概念1．有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)分類：細(xì)節(jié)剖析（1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點0非正非負(fù)，是一個中性數(shù)2．?dāng)?shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．細(xì)節(jié)剖析（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．細(xì)節(jié)剖析（1）一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等，這兩點是關(guān)于原點對稱的．（2）求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可．（3）多重符號的化簡：數(shù)字前面“”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負(fù)．4．絕對值：（1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．?dāng)?shù)a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離．知識點2：有理數(shù)的運算1．法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．細(xì)節(jié)剖析“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律:①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知識點3：有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而??；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．知識點4：科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)及精確度1.科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法．例如：200000=．2.近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長江的長約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數(shù).細(xì)節(jié)剖析一般采用四舍五入法取近似數(shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是舍還是入.3.精確度：一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數(shù)的精確度.細(xì)節(jié)剖析（1）精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.（2）精確度有兩種形式：①精確到哪一位．②保留幾個有效數(shù)字．這兩種的形式的意義不一樣，一般來說精確到哪一位可以表示誤差絕對值的大小，例如精確到米，說明結(jié)果與實際數(shù)相差不超過米，而有效數(shù)字往往用來比較幾個近似數(shù)哪個更精確些.考點1：正數(shù)和負(fù)數(shù)【例題1】（2013秋?龍口市期末）某糧店出售的三種品牌的面粉袋上，分別標(biāo)有“、、”的字樣，從中任意拿出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差A(yù)． B． C． D．【解答】解．故選：．【變式1-1】（2009秋?寶應(yīng)縣校級期末）學(xué)校、家、書店，依次坐落在一條南北走向的大街上，學(xué)校在家的南邊20米，書店在家的北邊70米，小明同學(xué)從家出發(fā)，向北走了50米，接著又向南走了米，此時小明的位置是A．在家 B．在書店 C．在學(xué)校 D．在家的北邊30米處【解答】解：向南走了米，實際是向北走了20米，此時小明的位置是在家的北邊米處，即在書店．故選：．【變式1-2】（2019秋?芮城縣期末）每袋大米以為標(biāo)準(zhǔn)，其中超過標(biāo)準(zhǔn)的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，則圖中第3袋大米的實際重量是49.3．【解答】解：，故答案為：．【變式1-3】（2019秋?息縣期末）某出租車駕駛員從公司出發(fā)，在南北向的人民路上連續(xù)接送5批客人，行駛路程記錄如下（規(guī)定向南為正，向北為負(fù)，單位：第1批第2批第3批第4批第5批（1）接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？（2）若該出租車每千米耗油0.2升，那么在這過程中共耗油多少升？（3）若該出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為：行駛路程不超過收費10元，超過的部分按每千米加1.8元收費，在這過程中該駕駛員共收到車費多少元？【解答】解：（1）答：接送完第五批客人后，該駕駛員在公司的南邊10千米處．（2）（升答：在這個過程中共耗油4.8升．（3）（元答：在這個過程中該駕駛員共收到車費68元．【變式1-4】（2019秋?漳州期末）某公司6天內(nèi)貨品進出倉庫的噸數(shù)如下：“”表示進庫，“”表示出庫），，，，，．（1）經(jīng)過這6天，倉庫里的貨品是減少（填增多了還是減少了）．（2）經(jīng)過這6天，倉庫管理員結(jié)算發(fā)現(xiàn)倉庫里還有貨品460噸，那么6天前倉庫里有貨品多少噸？（3）如果進出的裝卸費都是每噸5元，那么這6天要付多少元裝卸費？【解答】解：（1）（噸，，倉庫里的貨品是減少了．故答案為：減少了．（2），即經(jīng)過這6天倉庫里的貨品減少了40噸，所以6天前倉庫里有貨品噸．（3）（噸，（元．答：這6天要付860元裝卸費．【變式1-5】（2018秋?恩施市期末）出租車司機小李國慶長假期間的某天下午的營運全是在南北走向的城區(qū)市心路上進行的，如果規(guī)定向南行駛為正，他這天下午行車的里程（單位：千米）如下：，，，，，，，，，（1）小李下午出發(fā)地記為0，他將最后一名乘客送抵目的地時，小李距下午出發(fā)地有多遠(yuǎn)？（2）如果汽車耗油量為0.4升千米，油價每升5.80元，那么這天下午汽車共需花費油價為多少元？【解答】解：（1）．故小李距下午出發(fā)地有6千米遠(yuǎn)．（2）（元．故這天下午汽車共需花費油價為120.64元．考點2：數(shù)軸【例題2】（2019秋?新都區(qū)期末）已知有理數(shù)，，在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則化簡后的結(jié)果是．【解答】解：由有理數(shù)，，在數(shù)軸上的位置可知，，，，，，，故答案為：．【變式2-1】（2019秋?曲沃縣期末）閱讀與計算：出租車司機小李某天上午營運時是在太原迎澤公園門口出發(fā)，沿東西走向的大街上進行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，他這天上午所接送八位乘客的行車?yán)锍蹋▎挝唬喝缦拢海?，，，，，，．?）將最后一位乘客送到目的地時，小李在什么位置？（2）將第幾位乘客送到目的地時，小李離迎澤公園門口最遠(yuǎn)？（3）若汽車消耗天然氣量為，這天上午小李接送乘客，出租車共消耗天然氣多少立方米？（4）若出租車起步價為5元，起步里程為（包括，超過部分每千米1.2元，問小李這天上午共得車費多少元？【解答】解：（1），答：將最后一位乘客送到目的地時，小李在迎澤公園門口西邊處．（2），，，，，，，．，將第6位乘客送到目的地時，小李離迎澤公園門口最遠(yuǎn)．（3）答：這天上午小李接送乘客，出租車共消耗天然氣6.8立方米．（4）元，答：小李這天上午共得車費56.8元．【變式2-2】（2019秋?萬州區(qū)期末）有理數(shù)，，，在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【解答】解：由有理數(shù)，，，在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置可得，，，因此選項不正確；，，則，因此選項不正確；，，，因此選項不正確；，，且，，因此選項正確，故選：．【變式2-3】（2019秋?濟源期末）如圖，數(shù)軸上點、分別對應(yīng)數(shù)、，其中，．（1）當(dāng)，時，線段的中點對應(yīng)的數(shù)是2．（直接填結(jié)果）（2）若該數(shù)軸上另有一點對應(yīng)著數(shù)．①當(dāng)，，且時，求代數(shù)式的值；②．且時學(xué)生小朋通過演算發(fā)現(xiàn)代數(shù)式是一個定值，老師點評；小朋同學(xué)的演算發(fā)現(xiàn)還不完整！請你通過演算解釋為什么“小朋的演算發(fā)現(xiàn)”是不完整的？【解答】解：（1），故答案為：2；（2）①由，，且，可得，整理得．所以，，②當(dāng)，且時，需要分兩種情形．Ⅰ：當(dāng)時，，整理得．Ⅱ：當(dāng)時，，整理得綜上，小朋的演算發(fā)現(xiàn)并不完整．考點3：絕對值【例題3】（2020秋?市中區(qū)期中）已知是一個正整數(shù)，記．若（1）（2）（3），則的值為A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：當(dāng)時，則，；當(dāng)時，則，，（1）（2）（3）（4），設(shè)第個數(shù)時，即，開始為0，即，，（1）（2）（3）（4），即，解得，（舍去）．故選：．考點4：有理數(shù)大小比較【例題4】（2015秋?鐵西區(qū)期末）如圖，四個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為點，，，，若點，表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示絕對值最大的有理數(shù)的點是A．點 B．點 C．點 D．點【解答】解：點，表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，原點在的中點，此時點距原點最遠(yuǎn)，因此點所表示的數(shù)的絕對值最大，故選：．【變式4-1】（2019秋?鳳翔縣期末）有理數(shù)、在數(shù)軸上如圖，（1）在數(shù)軸上表示、；（2）試把這、、0、、五個數(shù)按從小到大用“”連接．（3）用、或填空：，．【解答】解：（1）在數(shù)軸上表示為：（2）；（3），，故答案為：，．考點5：有理數(shù)的加法【例題5】（2018秋?銅陵期末）如圖的正方形方格中共有9個空格，小林同學(xué)想在每個空格中分別填入0、1、2三個數(shù)字中的一個，使得處于同一橫行、同一豎列、同一對角線上的3個數(shù)字之和均不相等，你認(rèn)為小林的設(shè)想能實現(xiàn)嗎？A．一定可以 B．一定不可以 C．有可能 D．無法判斷【解答】解：在每個空格中分別填入0、1、2三個數(shù)字中的一個，和有，共有7種情況，而同一橫行、同一豎列、同一對角線上的3個數(shù)字之和有8個，．故小林的設(shè)想一定不可以實現(xiàn)．故選：．【變式5-1】（2020春?肇東市期末）小蟲從某點出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，爬行的各段路程依次為：（單位：厘米），，，，，，．（1）小蟲最后是否回到出發(fā)點？（2）小蟲離開原點最遠(yuǎn)是多少厘米？（3）在爬行過程中，如果每爬行1厘米獎勵一粒芝麻，則小蟲一共得到多少粒芝麻？【解答】解：（1），所以小蟲最后回到出發(fā)點；（2）第一次爬行距離原點是，第二次爬行距離原點是，第三次爬行距離原點是，第四次爬行距離原點是，第五次爬行距離原點是，第六次爬行距離原點是，第七次爬行距離原點是，從上面可以看出小蟲離開原點最遠(yuǎn)是；（3）小蟲爬行的總路程為：．（粒所以小蟲一共得到54粒芝麻．考點6：有理數(shù)的減法【變式6】（2018秋?岳池縣期末）數(shù)軸上線段的長度可以用線段端點表示的數(shù)進行減法運算得到，例如：如圖①，若點，在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為，，則的長度可以表示為．請你用以上知識解決問題：如圖②，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達點，再向右移動3個單位長度到達點，然后向右移動5個單位長度到達點．（1）請你在圖②的數(shù)軸上表示出，，三點的位置．（2）若點以每秒1個單位長度的速度向左移動，同時，點和點分別以每秒2個單位長度和3個單位長度的速度向右移動，設(shè)移動時間為秒．①當(dāng)時，求和的長度；②試探究：在移動過程中，的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【解答】解：（1），，三點的位置如圖所示：（2）①當(dāng)時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為5，點表示的數(shù)為12，，．②的值不變．當(dāng)移動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，則，，即的值為定值12．在移動過程中，的值不變．考點7：有理數(shù)的加減混合運算【例題7】（2020秋?順德區(qū)校級月考）計算：（1）．（2）．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【變式7-1】（2020秋?蘭州期中）某倉庫6天內(nèi)糧食進、出庫的噸數(shù)如下“”表示進庫，“”表示出庫），，，，，（1）經(jīng)過這6天后，庫里的糧食增多或減少了多少噸？（2）經(jīng)過這6天后，倉庫管理員結(jié)算發(fā)現(xiàn)庫里還存480噸糧食，那么6天前庫里存糧多少噸？【解答】（1）解：，答：經(jīng)過這6天，庫里的糧食減少了23噸．（2）解：，答：6天前庫里存糧503噸．考點8：有理數(shù)的乘法【例題8】（2019秋?鎮(zhèn)江期末）有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式正確的是A． B． C． D．【解答】解：由題意：，，，，，，，故選：．【變式8-1】（2018秋?嵊州市期末）已知、、為非零實數(shù)，請你探究以下問題：（1）當(dāng)時，1；當(dāng)時，．（2）若．那么的值為．【解答】解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，．故答案為：1；．（2），、、均不為0，、、兩正一負(fù)或兩負(fù)一正．當(dāng)、、兩正一負(fù)時，，；當(dāng)、、兩負(fù)一正時，，故答案為：0．考點9：有理數(shù)的除法【例題9】（2019秋?大安市期末）閱讀下面的解題過程：計算解：原式（第一步）（第二步）（第三步）回答：（1）上面解題過程中有兩處錯誤，第一處是第二步，錯誤的原因是，第二處是第步，錯誤的原因是．（2）把正確的解題過程寫出來．【解答】解：（1）上面解題過程中有兩處錯誤，第一處是第二步，錯誤的原因是運算順序錯誤，第二處是第三步，錯誤的原因是得數(shù)錯誤．（2）．故答案為：二、運算順序錯誤；三、得數(shù)錯誤．【變式9-1】（2019秋?江都區(qū)月考）現(xiàn)有以下五個結(jié)論：①有理數(shù)包括所有正數(shù)、負(fù)數(shù)和0；②若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們相除的商等于；③數(shù)軸上的每一個點均表示一個確定的有理數(shù)；④絕對值等于其本身的有理數(shù)是零；⑤幾個有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負(fù)數(shù)．其中正確的有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解答】解：①有理數(shù)包括所有正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0；故原命題錯誤；②若兩個數(shù)（非互為相反數(shù)，則它們相除的商等于；故原命題錯誤；③數(shù)軸上的每一個點均表示一個確定的實數(shù)；故原命題錯誤；④絕對值等于其本身的有理數(shù)是零和正數(shù)，故原命題錯誤；⑤幾個非零的有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負(fù)數(shù)，故原命題錯誤．故選：．【變式9-2】（2018秋?無為縣月考）閱讀下列材料：計算：．解法一：原式．解法二：原式．解法三：原式的倒數(shù)．所以，原式．（1）上述得到的結(jié)果不同，你認(rèn)為解法一是錯誤的；（2）請你選擇合適的解法計算：．【解答】解：（1）上述得到的結(jié)果不同，我認(rèn)為解法一是錯誤的；故答案為：一；（2）原式的倒數(shù)為：，則原式．考點10：有理數(shù)的乘方【例題10】（2019秋?遵化市期末）一根長的繩子，第一次剪去繩子的，第二次剪去剩下繩子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下繩子的長度是A． B． C． D．【解答】解：第一次剪去繩子的，還剩；第二次剪去剩下繩子的，還剩，第100次剪去剩下繩子的后，剩下繩子的長度為；故選：．【變式10-1】（2017秋?紹興期末）小明爸爸給小明出了一道題，說明他本月炒股的盈虧情況（單位：元）股票每股凈賺（元股票招商銀行500浙江醫(yī)藥1000晨光文具1500金龍汽車2000請你也來計算一下，小明爸爸本月投資炒股到底是賠了還是賺了？賠了或賺了多少元？【解答】解：（元答：賺了，賺了950元．考點11：有理數(shù)的混合運算【例題11】（2020春?上虞區(qū)期末）定義一種對正整數(shù)的“”運算：①當(dāng)為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時，結(jié)果為；（其中是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復(fù)進行，例如，?。畡t：若，則第449次