2021-2022學(xué)年山西省長(zhǎng)治市屯留縣第一中學(xué)高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，滿足()，，，若，則A．2020B．4038C．4039D．40402．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（）A．B．C．或D．或3．設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（）A．B．C．D．4．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5．“角谷猜想”的內(nèi)容是：對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（）A．6B．7C．8D．96．已知函數(shù)，則（）上單調(diào)遞增B．函數(shù)對(duì)稱D．函數(shù)A．函數(shù)C．函數(shù)在在上單調(diào)遞減對(duì)稱圖像關(guān)于圖像關(guān)于7．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A．B．C．D．8．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P橢圓上，且，則橢圓的離心率為（），若A．B．C．D．9．如圖所示，正方體所成角的正弦值為（）的棱，的中點(diǎn)分別為，，則直線與平面A．B．C．D．10．定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．11．某中學(xué)有高中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間，采用分層抽樣的方法人，初中生從高生和初中生中抽取一個(gè)容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A．B．C．D．12．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量）?（，，滿足||＝1，||＝2，，的夾角等于，且（）＝0，則||的取值范圍是_____．14．關(guān)于函數(shù)有下列四個(gè)命題：函數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)；的圖象關(guān)于中心對(duì)稱；不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線；函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）15．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，要求男生中的甲和乙不能同時(shí)參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）16．已知等差數(shù)列滿足，，則的值為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）證明：函數(shù).在上存在唯一的零點(diǎn)；上的最小值為1，求中，．（2）若函數(shù)在區(qū)間的值.18．（12分）等比數(shù)列(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和．若，求．19．（12分）記拋物線的斜率為1，當(dāng)直線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點(diǎn)，，求直線的斜率.20．（12分）新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，電子購(gòu)物平臺(tái)成為人們的熱門(mén)選擇.為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī)，某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后，對(duì)“采用促銷”和“沒(méi)有采用促銷”的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個(gè)，對(duì)比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長(zhǎng)的百分點(diǎn)分成5組：，分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長(zhǎng)10個(gè)百分點(diǎn)及以上的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.（1）請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”；采用促銷沒(méi)有采用促銷合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤(rùn)，通過(guò)分析上一年度的售價(jià)(單位：元)和日銷量(單位：件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的：根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值；已知該公司成本為10元/件，促銷費(fèi)用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價(jià)定為多少時(shí)日利潤(rùn)可以達(dá)到最大.附：附：對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.21．（12分）已知點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點(diǎn)），與拋物線C的準(zhǔn)線交于M，N兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為H．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值．22．（10分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長(zhǎng)，若不存在說(shuō)明理由．參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】計(jì)算，代入等式，根據(jù)化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.2．D【解析】由成等差數(shù)列得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開(kāi)即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，2aq2=aq+a，2q2=q+1，q=1或q=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練．3．B【解析】，故選B點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.4．B【解析】首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為【詳解】，求出，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】模擬程序運(yùn)行，觀察變量值可得結(jié)論．【詳解】循環(huán)前，循環(huán)時(shí)：，不滿足條件，不滿足條件；；，不滿足條件，不滿足條件；；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值，從而得出結(jié)論．6．C【解析】依題意可得性；，即函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)【詳解】解：由，，所以函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，又，在上不單調(diào).故正確的只有C，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性的判定，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】利用直線與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為故選：D..【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】不妨設(shè)在第一象限，故【詳解】，根據(jù)得到，解得答案.不妨設(shè)在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9．C【解析】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為AA1D1D所成角的正弦值．軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出直線EF與平面【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則，，，取平面的法向量為，設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．10．A【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)，，且，有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)椋?，所以故選：A【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.11．B【解析】利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.12．A【解析】根據(jù)圖象可知，函數(shù)個(gè)驗(yàn)證即可得出．為奇函數(shù)，以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且有一個(gè)零點(diǎn)，即可對(duì)選項(xiàng)逐【詳解】首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷，可知，其次，在剩下的3個(gè)選項(xiàng),對(duì)其在為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷,在上無(wú)零點(diǎn),不符合題意，排除D；然后,對(duì)剩下的2個(gè)選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性判斷,不符合題意，排除C.在上單調(diào)遞減,故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象的識(shí)別和函數(shù)性質(zhì)的判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】計(jì)算得到||，||cosα1，解得cosα，根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.【詳解】由（）?（）＝0可得（）?||?||cosα1×2cos||?||cosα1，α為與的夾角．再由2?1+4+2×1×2cos7可得||，||cosα1，解得cosα．0≤α≤π，1≤cosα≤1，1，即||+1≤0，解得||，故答案為【點(diǎn)睛】．本題考查了向量模的范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.14．【解析】由單調(diào)性、對(duì)稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】函數(shù)由于的定義域是，，在上遞增，函數(shù)在上是遞增，正確；的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，正，函數(shù)確；，時(shí)取等號(hào)，即正確；，設(shè)，則，顯然是的極小值點(diǎn)，錯(cuò)誤．故答案為：【點(diǎn)睛】.本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值，解題時(shí)按照相關(guān)概念判斷即可，屬于中檔題．15．1【解析】由排列組合及分類討論思想分別討論：設(shè)甲參加，乙不參加，設(shè)乙參加，甲不參加，設(shè)甲，乙都不參加，可得不同的選法種數(shù)為9+9+51＝，得解．【詳解】設(shè)甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，9，設(shè)乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為設(shè)甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為5，綜合得：不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合及分類討論思想，準(zhǔn)確分類及計(jì)算是關(guān)鍵，屬中檔題．16．11【解析】由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得【詳解】，由即可求出公差，即可求解；解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，又因?yàn)?，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說(shuō)明在上存在唯一的零點(diǎn)即可；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，判斷出的單調(diào)性，從而可確定，利用以及的單調(diào)性，可確定出之間的關(guān)系，從而的值可求.【詳解】（1）證明：，.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，令又，，則令在上單調(diào)遞減，，故.，則所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn).（2）解：由（1）可知存在唯一的（*）.，使得，即函數(shù)當(dāng)在上單調(diào)遞增.時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增..由（*）式得.，顯然是方程的解.又是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，把代入（*）式，得，，即所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)，難度較難.（1）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷；（2）函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問(wèn)題，可通過(guò)“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.18．(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】（1）先設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，，或.（2）時(shí)，，解得；時(shí)，，無(wú)正整數(shù)解；綜上所述【點(diǎn)睛】.本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.19．（1）（2）0【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線，與聯(lián)立，得，再由弦長(zhǎng)公式，求解.（2）設(shè)，根據(jù)直線，所以線段的斜率為1，則，得到，再由的方程中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，然后直線，說(shuō)明直線的方程與直線聯(lián)立解得交點(diǎn)H的縱坐標(biāo)軸，直線的斜率為0.【詳解】（1）依題意，，則直線，聯(lián)立得；設(shè)則，，解得，故拋物線的方程為.（2），因?yàn)橹本€因?yàn)榈男甭蕿?，則，所以，，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.直線的方程為，即直線的方程為，即聯(lián)立解得即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即直線軸，故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在，結(jié)論也顯然成立，綜上所述，直線【點(diǎn)睛】的斜率為0.本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20．（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有把握；（2）；元時(shí)【解析】（1）直接由題意列出列聯(lián)表，通過(guò)計(jì)算，可判斷精英店與采用促銷活動(dòng)是否有關(guān).（2）代入表中數(shù)據(jù)，結(jié)合公式求出，日銷售量為；由中所得的線性回歸方程，若售價(jià)為，單價(jià)利潤(rùn)為，進(jìn)而可求出日利潤(rùn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求最值.【詳解】解：（1）由題意知，采用促銷中精英店的數(shù)量為，采用促銷中非精英店的數(shù)量為；沒(méi)有采用促銷中精英店的數(shù)量為，沒(méi)有采用促銷中非精英店的數(shù)量為，列聯(lián)表為采用促銷沒(méi)有采用促銷合計(jì)55精英店非精英店合計(jì)35203050155045100因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”.（2）由公式可得：所以回歸方程為若售價(jià)為，單件利潤(rùn)為故日利潤(rùn)，日銷售為，，解得.當(dāng)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減.故當(dāng)售價(jià)【點(diǎn)睛】元時(shí)，日利潤(rùn)達(dá)到最大為元.本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了線性回歸方程的求法，考查了函數(shù)最值的求解.在求函數(shù)的最值時(shí)，常用的方法有：函數(shù)圖像法、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最值、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法.其中最常用的還是導(dǎo)數(shù)法.21．(1)(2)4【解析】（1）將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入拋物線中求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)以及直線AB的方程，代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及垂直關(guān)系，得出關(guān)系式，計(jì)算的值即可．【詳解】（1）將點(diǎn)P橫坐標(biāo)P（2，），代入中，求得，，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，，，解得，，拋物線C的方程為：（2）拋物線設(shè)；的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為，；，直線AB的方程為，代入拋物線方程可得，，…由又，可得，，，，，即，，…把代入得，則，．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及拋物線與圓的方程應(yīng)用問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力