數(shù)學(xué)建模練習(xí)-點(diǎn)評輸油管布置

A,B考慮到本問題中城市鋪設(shè)管線的附加費(fèi)的浮動性我們引入個資質(zhì)公司的權(quán)值，盡可能坐標(biāo)，再次運(yùn)用函數(shù)方法求解最小值，我們在權(quán)值是0.4，0.3,0.3（即0.3）283.20lingo線性規(guī)劃，從而得出最優(yōu)解；第二個模型是運(yùn)用推廣的費(fèi)馬點(diǎn)-費(fèi)馬點(diǎn)來求解該問0.4,0.3,0.3（0.3）252.4737關(guān)鍵字：最值貪心算法非線性規(guī)劃問題重兩煉油廠的具置由附圖（圖見附錄）所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）a5，b8，c15，l20。若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均7.221萬元/24萬元/千米20萬元/應(yīng)的油管，使得管線鋪設(shè)費(fèi)用分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成6.07.2萬元，拆遷等附加費(fèi)依然不變。要符號說1、A：A2、B:B3、A'：Ax4、(0，y0)：A15、CA'Bx16、L：7、a：OAA8、b：OBB9、d：AB10、(x1，y1)：B11、h12、(xh，h)：H13、f(h)：14、1時，共用管道線費(fèi)用為15、16、m:17、s：城鎮(zhèn)的管線鋪設(shè)附加費(fèi)模型假B；假設(shè)交匯點(diǎn)（即折點(diǎn)）問題分考慮到問題一要求針對兩煉油廠到鐵路沿線及兩煉油廠間的不同距離給出具體的我們不妨定義其費(fèi)用“1管道鋪設(shè)方案轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)之間距離最短問IIIIII區(qū)的費(fèi)用不同，I區(qū)只有管線鋪設(shè)費(fèi)用，II區(qū)費(fèi)用不應(yīng)一概而論全盤接受。所以我們引入一個參數(shù)理程度，為針對施工費(fèi)用的一個權(quán)值。于是我們認(rèn)為對于某工程咨詢公司給出施工費(fèi)m，那么其真正合理的費(fèi)用為m。I區(qū)而言，共用與非共用管道鋪設(shè)費(fèi)用相同，問題便轉(zhuǎn)化為第一問中求解鋪設(shè)費(fèi)II的鋪設(shè)費(fèi)用最??；BDBDII的鋪設(shè)費(fèi)用I不能直接套用問題二的公式，將每一段線路的鋪設(shè)費(fèi)表示出來，求和以得出I區(qū)IIB廠成品油的管道費(fèi)用和附加費(fèi)用之和，附IDBDB，求AE+DE+BD+CEF(x模型的建立與求我們以鐵路線作為橫軸，A如圖(1)：其中y0[0,y1]。x2(yy Bx軸上找一點(diǎn)C1A、B的路線總和最短。由平面幾何知識可知，作AxAABx2(yy 坐標(biāo)為C1

y0y

,0)，最少鋪設(shè)費(fèi)用為min yByBx,y A0,y0Cy01y） A'(0,y0

圖x2(2yx2(2y10 ：當(dāng)存在兩煉油廠共用管道時，我們再次對其做數(shù)學(xué)上的抽象，如圖(2)y0[0,y1 Bx1,y1A0,y0E0A'0,2hy0O

H C 圖L的交點(diǎn)，KLAH1BABAHBH，可得到AB的最短鋪設(shè)方案的函數(shù)表達(dá)式：f(h)f'(h)

(yy2h)2x(yy2h)2x 1(yy2h)2x 1令f

=0

h3(y0y1)

3x1(舍

3(y0y1)6

3x1。又因?yàn)閒''(h)0所以當(dāng)

3(y0y1)

3x1f(h1 1f f(h)y0y1 A，B帶入上面的關(guān)系式h1均可以得到當(dāng)前的最佳鋪設(shè)方案，即H10A'(02h-y0)B(x1,y1)0帶入

3(y0y1)

，得X

3(y0y1)1

2H(3(y0y1)1x,y0y1

3x1)，這樣可得到最短路線方案為H1A+H1B+H1C 2 由最小費(fèi)用函數(shù)的求解可得，當(dāng)hy0y1 時，最小費(fèi)用函數(shù)求得最小 f(h)minx2(yx2(yy1 現(xiàn)在對hAB之間的距離d和ABy0f(h)min（1）當(dāng)0hy時；即0y0y1

x 3(y1y0)x1

3(y1y0x1的范圍代入到d

2(

中，得到dy0y1x2(yyx2(yy1 y2y2y 0f

y0y1 （2）當(dāng)hy時：即y0y1 0，通過化簡，可以求得x的取值范x1

3(y1y0)x2(yy1 將x1的代入到d 中，得到dx2(yy1 d2(y1y0，通過分析，我們求得此時hy0f

min

(yy)2x 1（2）當(dāng)h0時；即y(yy)2x 1x1

3(y1y0)x2(yy1 將x1的范圍代入到dx2(yy1 y2y2yy2y2y 0(yy)2 1f

min(yy)2x 1(yy)2x 1 f

(y0y1)

2(

yd2 Yy2y2yy2y2y 0(yy)2x(yy)2x 1y2y2y 0ABH表(一實(shí)際上，在求解論證鋪設(shè)輸油管線是Y,V型時，我們總結(jié)出一個一般情況下的結(jié)A(0,y0)，B（x1,y1）以及匯點(diǎn)(y0y1

3x1)2603(y0y1)11H(3(y0y2603(y0y1)11

3x1)，則tanAHE 3 2 2613(y0y12613(y0y1)1xtanBHF

3，得AHE300BHF3003 2

Bx1,y1所以AHCBHCAHB

A0,y0

600x 圖用管道線費(fèi)用為yyBx1,y1A0,y0EFHA0,2h'0OCx圖(yy2h)(yy2h)2x 1經(jīng)過分析可以確定h0y0，[1,2]。因?yàn)槿?設(shè)管道將會使管道鋪設(shè)費(fèi)用小于實(shí)際值，顯然這是不合乎邏輯的；若2，則意味著廠將會支付比各自獨(dú)立鋪設(shè)所需費(fèi)用仍要高的費(fèi)用。顯然這是兩家煉油廠所不愿承受的。故取值區(qū)間為[1，2]。f(h(yy(yy2h)2x 1

2(2hy0y1 f'(h0f(h024hy0242

f(h(yy (22f

1 44(yy y4通過求解，可以得到點(diǎn)H( 1,0 1 )即為匯點(diǎn)。又44為當(dāng)

2(y1y0)

=yy，又因?yàn)閐y

,4(y2y4(y2y2)(84)y 0V24f(hhy0242

用管道費(fèi)用不同時，AB之間的距離dA，By0y1((yy)2x 1(

y

4(y2y2)4(y2y2)(84)y 0

y

d2y1y0 f(h) 1 0d Y44(y(yy)2x 04(y2y2)(84)y 0 d y

A(x0,y0

D(x,11 圖IA(x0y0D(xhx(hy2h)2(hy2h)2 1f(h1) 上式當(dāng)

x2

3(hy0)2

f(h的距離為dd(15,229.412(h5)max6，

h2525h)

2(h5)maxd

h2525h)

f

y0h2

Yfmin(hD(15，h)I接下來的問題就是如何確定D也即如何處理區(qū)域II的鋪設(shè)路線使區(qū)域I和區(qū)IID點(diǎn)已經(jīng)確定，但考慮到城區(qū)存在拆遷、安置等附加司中乙級資質(zhì)公司的權(quán)重，則顯然地甲級公司權(quán)重為12，且III(8h)2f(h)7.2fmin(h(8h)2

1)3

其中s為城鎮(zhèn)的管線鋪設(shè)附加費(fèi)，即s21122024212(hh5153I (8h)2f(h7.2(h5153(8h)2 (7.2s)(h對(7.2s)(h(7.2s)2f(hf'(h(7.2s)2

sf(h

(8h)2f(h)7.2(h5153)(8h)2 (7.2s)2(7.2s)2(28.22)(28.22)2

f(h取最小值時，hhf(hf(h也是一個關(guān)于權(quán)重9(28.22)2(28.22)2f(h)9(28.22)2(28.22)22我們可以逐次調(diào)整權(quán)重f匯點(diǎn)坐標(biāo)H'(xhh1D(x,權(quán)重f匯點(diǎn)坐標(biāo)H'(xhh1D(x,表(三問題三的求解lingo軟件，不斷計算、優(yōu)化從而給出最優(yōu)解；模型一求解yIIA(0, E(x,cO圖在整個求解的過程中，總路線分為AE+CE+DE+BD，其中CE為共用管線（6）ABA(05B(20,8x2(5(15x)2(h2x2(5(15x)2(h2F(x)

6

7.2h1(6s)其中s2112202421

，

[0,)3(15(15x)2(hh 25(8h2x2(5x2(5h1

x

7.2h1(6hhh

[0,3權(quán)重FE權(quán)重FE(x由數(shù)學(xué)上有這樣一種問題，其表述為——費(fèi)馬點(diǎn)問題[1]：如圖(7)平面上給定三個A、B、CPPA+PB+PCP點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬問題可進(jìn)一步推廣，表述為的費(fèi)馬問題——費(fèi)馬—圖運(yùn)用物理上的平衡態(tài)公理（勢能最小原理）和正弦定理即可證明費(fèi)馬—爾點(diǎn)IIH到點(diǎn)A、H到點(diǎn)D和H到鐵點(diǎn)C的費(fèi)馬—爾路線最短y

A(0,H(x, 圖即 g(x,y)5.6HA6.0HD因?yàn)镠A(x,5y)、HC(0,y)、HD(x1x,y1y)，又根據(jù)費(fèi)馬—爾sinCHDsinCHAsin

通過向量的點(diǎn)積公式可求得各個角的余弦，又因?yàn)槠渲腥我饨蔷?0,)1cos2所以sin1cos2sinCHDsin

(x 5.62[(xx)2(yy)2

36[x2(y5)2sinCHAsin HDD點(diǎn)坐標(biāo)IIID點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，模型的檢B，CDA+DB+DCDABCDsin

sin

sinp1,p2,p3DA，DB，DCp1p2p3BDCBDAADCD 圖HABCHAHCHB為最問題一中我們假設(shè)共用管道的費(fèi)用為,題中運(yùn)用了光反射原理列出函數(shù)關(guān)44(yy44A(0,y)，B（x,y

H( 1,0 1 )

sinAHE

AE