高中三年級(jí)物理二輪練習(xí)專項(xiàng)8數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用

..高三物理二輪練習(xí)專項(xiàng)8數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用方法概述數(shù)學(xué)是解決物理問題的重要工具,借助數(shù)學(xué)方法可使一些復(fù)雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性,能達(dá)到打通關(guān)卡、長驅(qū)直入地解決問題的目的．中學(xué)物理《考試大綱》中對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力作出了明確的要求,要求考生有"應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題"的能力．對(duì)這一能力的考查在歷年高考試題中也層出不窮．所謂數(shù)學(xué)方法,就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來,并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析,以形成對(duì)問題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)．可以說,任何物理問題的分析、處理過程,都是數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過程．本專題中所指的數(shù)學(xué)方法,都是一些特殊、典型的方法,常用的有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差<比>數(shù)列求和法等．一、極值法數(shù)學(xué)中求極值的方法很多,物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等．1．利用三角函數(shù)求極值y＝acosθ＋bsinθ＝eq\r<a2＋b2><eq\f<a,\r<a2＋b2>>cosθ＋eq\f<b,\r<a2＋b2>>sinθ>令sinφ＝eq\f<a,\r<a2＋b2>>,cosφ＝eq\f<b,\r<a2＋b2>>則有：y＝eq\r<a2＋b2><sinφcosθ＋cosφsinθ>＝eq\r<a2＋b2>sin<φ＋θ>所以當(dāng)φ＋θ＝eq\f<π,2>時(shí),y有最大值,且ymax＝eq\r<a2＋b2>．2．利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù)：y＝ax2＋bx＋c＝a<x2＋eq\f<b,a>x＋eq\f<b2,4a2>>＋c－eq\f<b2,4a>＝a<x＋eq\f<b,2a>>2＋eq\f<4ac－b2,4a><其中a、b、c為實(shí)常數(shù)>,當(dāng)x＝－eq\f<b,2a>時(shí),有極值ym＝eq\f<4ac－b2,4a><若二次項(xiàng)系數(shù)a>0,y有極小值；若a<0,y有極大值>．3．均值不等式對(duì)于兩個(gè)大于零的變量a、b,若其和a＋b為一定值p,則當(dāng)a＝b時(shí),其積ab取得極大值eq\f<p2,4>；對(duì)于三個(gè)大于零的變量a、b、c,若其和a＋b＋c為一定值q,則當(dāng)a＝b＝c時(shí),其積abc取得極大值eq\f<q3,27>．二、幾何法利用幾何方法求解物理問題時(shí),常用到的有"對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)"、"兩點(diǎn)間直線距離最短"、"直角三角形中斜邊大于直角邊"以及"全等、相似三角形的特性"等相關(guān)知識(shí),如：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類問題,物體的變力分析時(shí)經(jīng)常要用到相似三角形法、作圖法等．與圓有關(guān)的幾何知識(shí)在力學(xué)部分和電學(xué)部分的解題中均有應(yīng)用,尤其在帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)類問題中應(yīng)用最多,此類問題的難點(diǎn)往往在圓心與半徑的確定上,確定方法有以下幾種．1．依切線的性質(zhì)確定．從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對(duì)應(yīng)的切點(diǎn),過切點(diǎn)作切線的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)為圓心,圓心與切點(diǎn)的連線為半徑．2．依垂徑定理<垂直于弦的直徑平分該弦,且平分弦所對(duì)的弧>和相交弦定理<如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)>確定．如圖8－1所示．圖8－1由EB2＝CE·ED＝CE·<2R－CE>得：R＝eq\f<EB2,2CE>＋eq\f<CE,2>也可由勾股定理得：R2＝<R－CE>2＋EB2解得：R＝eq\f<EB2,2CE>＋eq\f<CE,2>．以上兩種求半徑的方法常用于求解"帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)"這類習(xí)題中．三、圖象法中學(xué)物理中一些比較抽象的習(xí)題常較難求解,若能與數(shù)學(xué)圖形相結(jié)合,再恰當(dāng)?shù)匾胛锢韴D象,則可變抽象為形象,突破難點(diǎn)、疑點(diǎn),使解題過程大大簡化．圖象法是歷年高考的熱點(diǎn),因而在復(fù)習(xí)中要密切關(guān)注圖象,掌握?qǐng)D象的識(shí)別、繪制等方法．1．物理圖象的分類整個(gè)高中教材中有很多不同類型的圖象,按圖形形狀的不同可分為以下幾類．<1>直線型：如勻速直線運(yùn)動(dòng)的s－t圖象、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖象、定值電阻的U－I圖象等．<2>正弦曲線型：如簡諧振動(dòng)的x－t圖象、簡諧波的y－x圖象、正弦式交變電流的e－t圖象、正弦式振蕩電流的i－t圖象及電荷量的q－t圖象等．<3>其他型：如共振曲線的A－f圖象、分子力與分子間距離的f－r圖象等．下面我們對(duì)高中物理中接觸到的典型物理圖象作一綜合回顧,以期對(duì)物理圖象有個(gè)較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和歸納．圖象函數(shù)形式特例物理意義y＝c勻速直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖象做勻速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度是恒矢量．y＝kx①勻速直線運(yùn)動(dòng)的s－t圖象②初速度v0＝0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖象<若v0≠0,則縱截距不為零>③純電阻電路的I－U圖象①表示物體的位移大小隨時(shí)間線性增大．②表示物體的速度大小隨時(shí)間線性增大．③表示純電阻電路中I隨導(dǎo)體兩端的電壓U線性增大．y＝a－kx①勻減速直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖象②閉合電路中的U－I圖象<U＝E－Ir>①表示物體的速度大小隨時(shí)間線性減小．②表示路端電壓隨電流的增大而減?。畒＝eq\f<a,x＋b>·x<雙曲線函數(shù)>①由純電阻用電器組成的閉合電路的U－R圖象<U＝eq\f<E,R＋r>R>②在垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)的[XCzt71．tifBP]導(dǎo)軌上,自由導(dǎo)體棒在一恒定動(dòng)力F的作用下做變加速運(yùn)動(dòng)的v－t圖象①表示純電阻電路中電源的端電壓隨外電阻而非線性增大．②將達(dá)到穩(wěn)定速度vm＝eq\f<FR總,B2L2>．y＝kx2<拋物線函數(shù)>①小燈泡消耗的實(shí)際功率與外加電壓的P－U圖象②位移與時(shí)間的s－t圖象<s＝eq\f<1,2>at2>①表示小燈泡消耗的實(shí)際功率隨電壓的增大而增大,且增大得越來越快．②表示位移隨時(shí)間的增大而增大,且增大得越來越快．xy＝c<雙曲線函數(shù)>機(jī)械在額定功率下,其牽引力與速度的關(guān)系圖象<P＝Fv>表示功率一定時(shí),牽引力與速度成反比．y＝Asinωt交流電的e－t圖象<e＝Emsinωt>表示交流電隨時(shí)間變化的關(guān)系．2．物理圖象的應(yīng)用<1>利用圖象解題可使解題過程更簡化,思路更清晰．利用圖象法解題不僅思路清晰,而且在很多情況下可使解題過程得到簡化,起到比解析法更巧妙、更靈活的獨(dú)特效果．甚至在有些情況下運(yùn)用解析法可能無能為力,但是運(yùn)用圖象法則會(huì)使你豁然開朗,如求解變力分析中的極值類問題等．<2>利用圖象描述物理過程更直觀．從物理圖象上可以比較直觀地觀察出物理過程的動(dòng)態(tài)特征．<3>利用物理圖象分析物理實(shí)驗(yàn)．運(yùn)用圖象處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種方法,這是因?yàn)樗司哂泻喢?、直觀、便于比較和減少偶然誤差的特點(diǎn)外,還可以由圖象求解第三個(gè)相關(guān)物理量,尤其是無法從實(shí)驗(yàn)中直接得到的結(jié)論．3．對(duì)圖象意義的理解<1>首先應(yīng)明確所給的圖象是什么圖象,即認(rèn)清圖象中比縱橫軸所代表的物理量及它們的"函數(shù)關(guān)系",特別是對(duì)那些圖形相似、容易混淆的圖象,更要注意區(qū)分．例如振動(dòng)圖象與波動(dòng)圖象、運(yùn)動(dòng)學(xué)中的s－t圖象和v－t圖象、電磁振蕩中的i－t圖象和q－t圖象等．<2>要注意理解圖象中的"點(diǎn)"、"線"、"斜率"、"截距"、"面積"的物理意義．①點(diǎn)：圖線上的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)研究對(duì)象的一個(gè)狀態(tài)．要特別注意"起點(diǎn)"、"終點(diǎn)"、"拐點(diǎn)"、"交點(diǎn)",它們往往對(duì)應(yīng)著一個(gè)特殊狀態(tài)．如有的速度圖象中,拐點(diǎn)可能表示速度由增大<減小>變?yōu)闇p小<增大>,即加速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻,而速度圖線與時(shí)間軸的交點(diǎn)則代表速度的方向發(fā)生變化的時(shí)刻．②線：注意觀察圖線是直線、曲線還是折線等,從而弄清圖象所反映的兩個(gè)物理量之間的關(guān)系．③斜率：表示縱橫坐標(biāo)上兩物理量的比值．常有一個(gè)重要的物理量與之對(duì)應(yīng),用于求解定量計(jì)算中所對(duì)應(yīng)的物理量的大小以及定性分析變化的快慢．如v－t圖象的斜率表示加速度．④截距：表示縱橫坐標(biāo)兩物理量在"邊界"條件下物理量的大?。纱送傻玫揭粋€(gè)很有意義的物理量．如電源的U－I圖象反映了U＝E－Ir的函數(shù)關(guān)系,兩截距點(diǎn)分別為<0,E>和eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<E,r>,0>>．⑤面積：有些物理圖象的圖線與橫軸所圍的面積往往代表一個(gè)物理量的大?。鐅－t圖象中面積表示位移．4．運(yùn)用圖象解答物理問題的步驟<1>看清縱橫坐標(biāo)分別表示的物理量．<2>看圖象本身,識(shí)別兩物理量的變化趨勢(shì),從而分析具體的物理過程．<3>看兩相關(guān)量的變化范圍及給出的相關(guān)條件,明確圖線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圖線斜率、圖線與坐標(biāo)軸圍成的"面積"的物理意義．四、數(shù)學(xué)歸納法在解決某些物理過程中比較復(fù)雜的具體問題時(shí),常從特殊情況出發(fā),類推出一般情況下的猜想,然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,從而確定我們的猜想是正確的．利用數(shù)學(xué)歸納法解題要注意書寫上的規(guī)范,以便找出其中的規(guī)律．五、微元法利用微分思想的分析方法稱為微元法．它是將研究對(duì)象<物體或物理過程>進(jìn)行無限細(xì)分,再從中抽取某一微小單元進(jìn)行討論,從而找出被研究對(duì)象的變化規(guī)律的一種思想方法．微元法解題的思維過程如下．<1>隔離選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃鳛檠芯繉?duì)象．微元可以是一小段線段、圓弧或一小塊面積,也可以是一個(gè)小體積、小質(zhì)量或一小段時(shí)間等,但必須具有整體對(duì)象的基本特征．<2>將微元模型化<如視為點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)、勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速轉(zhuǎn)動(dòng)等>,并運(yùn)用相關(guān)的物理規(guī)律求解這個(gè)微元與所求物體之間的關(guān)聯(lián)．<3>將一個(gè)微元的解答結(jié)果推廣到其他微元,并充分利用各微元間的對(duì)稱關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系等,對(duì)各微元的求解結(jié)果進(jìn)行疊加,以求得整體量的合理解答．六、三角函數(shù)法三角函數(shù)反映了三角形的邊、角之間的關(guān)系,在物理解題中有較廣泛的應(yīng)用．例如：討論三個(gè)共點(diǎn)的平衡力組成的力的三角形時(shí),常用正弦定理求力的大?。挥煤瘮?shù)的單調(diào)變化的臨界狀態(tài)來求取某個(gè)物理量的極值；用三角函數(shù)的"和積公式"將結(jié)論進(jìn)行化簡等．七、數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn),但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù),而是一種變化了的重復(fù)．隨著物理過程的重復(fù),某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化．該類問題求解的基本思路為：<1>逐個(gè)分析開始的幾個(gè)物理過程；<2>利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式<這是解題的關(guān)鍵>；<3>最后分析整個(gè)物理過程,應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律求解．無窮數(shù)列的求和,一般是無窮遞減數(shù)列,有相應(yīng)的公式可用．等差：Sn＝eq\f<n<a1＋an>,2>＝na1＋eq\f<n<n－1>,2>d<d為公差>．等比：Sn＝eq\f<a1<1－qn>,1－q><q為公比>．八、比例法比例計(jì)算法可以避開與解題無關(guān)的量,直接列出已知和未知的比例式進(jìn)行計(jì)算,使解題過程大為簡化．應(yīng)用比例法解物理題,要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系,要清楚公式的物理意義和每個(gè)量在公式中的作用,以及所要討論的比例關(guān)系是否成立．同時(shí)要注意以下幾點(diǎn)．<1>比例條件是否滿足．物理過程中的變量往往有多個(gè),討論某兩個(gè)量間的比例關(guān)系時(shí)要注意只有其他量為常量時(shí)才能成比例．<2>比例是否符合物理意義．不能僅從數(shù)學(xué)關(guān)系來看物理公式中各量的比例關(guān)系,要注意每個(gè)物理量的意義．<如不能根據(jù)R＝eq\f<U,I>認(rèn)定電阻與電壓成正比><3>比例是否存在．討論某公式中兩個(gè)量的比例關(guān)系時(shí),要注意其他量是否能認(rèn)為是不變量．如果該條件不成立,比例也不能成立．<如在串聯(lián)電路中,不能認(rèn)為P＝eq\f<U2,R>中P與R成反比,因?yàn)镽變化的同時(shí),U也隨之變化而并非常量>許多物理量都是用比值法來定義的,常稱之為"比值定義"．如密度ρ＝eq\f<m,V>,導(dǎo)體的電阻R＝eq\f<U,I>,電容器的電容C＝eq\f<Q,U>,接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝eq\f<f,FN>,電場(chǎng)強(qiáng)度E＝eq\f<F,q>等．它們的共同特征是：被定義的物理量是反映物體或物質(zhì)的屬性和特征的,它和定義式中相比的物理量無關(guān)．對(duì)此,學(xué)生很容易把它當(dāng)做一個(gè)數(shù)學(xué)比例式來處理而忽略了其物理意義,也就是說教學(xué)中還要防止數(shù)學(xué)知識(shí)在物理應(yīng)用中的負(fù)遷移．?dāng)?shù)學(xué)是"物理學(xué)家的思想工具",它使物理學(xué)家能"有條理地思考"并能想象出更多的東西．可以說,正是有了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的有機(jī)結(jié)合,才使物理學(xué)日臻完善．物理學(xué)的嚴(yán)格定量化,使得數(shù)學(xué)方法成為物理解題中一個(gè)不可或缺的工具．熱點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)●例1如圖8－2甲所示,一薄木板放在正方形水平桌面上,木板的兩端與桌面的兩端對(duì)齊,一小木塊放在木板的正中間．木塊和木板的質(zhì)量均為m,木塊與木板之間、木板與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ．現(xiàn)突然以一水平外力F將薄木板抽出,要使小木塊不從桌面上掉下,則水平外力F至少應(yīng)為________．<假設(shè)木板抽動(dòng)過程中始終保持水平,且在豎直方向上的壓力全部作用在水平桌面上>圖8－2甲A．2μmg B．4μmg C．6μmg D．8μmg[解析]解法一F越大,木塊與木板分離時(shí)的速度、位移越小,木塊越不可能從桌面滑下．設(shè)拉力為F0時(shí),木塊恰好能滑至桌面的邊緣,再設(shè)木塊與木板分離的時(shí)刻為t1,在0～t1時(shí)間內(nèi)有：eq\f<1,2>·eq\f<<F0－μmg－2μmg>,m>·t12－eq\f<1,2>μgt12＝eq\f<L,2>對(duì)t1時(shí)間后木塊滑行的過程,有：eq\f<v12,2μg>＝eq\f<<μgt1>2,2μg>＝eq\f<L,2>－eq\f<1,2>μgt12解得：F0＝6μmg．解法二F越大,木塊與木板分離時(shí)的速度、位移越小,木塊越不可能從桌面滑出．若木塊不從桌面滑出,則其v－t圖象如圖8－2乙中OBC所示,其中OB的斜率為μg,BC的斜率為－μg,t1＝t2圖8－2乙有：S△OBC＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>·μgt12>>×2≤eq\f<L,2>設(shè)拉力為F時(shí),木板的v－t圖象為圖7－2乙中的直線OA,則S△OAB＝eq\f<L,2>即eq\f<1,2><v2－v1>·t1＝eq\f<L,2>其中v1＝μgt1,v2＝eq\f<F－3μmg,m>·t1解得：F≥6μmg即拉力至少為6μmg．[答案]C[點(diǎn)評(píng)]對(duì)于兩物體間的多過程運(yùn)動(dòng)問題,在明確物理過程的基礎(chǔ)上,畫出物體各自的運(yùn)動(dòng)圖象,這樣兩物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)就很明顯了．利用圖線與坐標(biāo)軸所夾面積的關(guān)系明確物體間的位移關(guān)系,可省略一些物理量的計(jì)算,從而快速、簡捷地解答問題,同類題可見專題一能力演練第3題．●例2如圖8－3甲所示,在豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系中,一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在外力F的作用下從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止沿直線ON斜向下運(yùn)動(dòng),直線ON與y軸負(fù)方向成θ角<θ＜eq\f<π,4>>,則F的大小至少為________；若F＝mgtanθ,則質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能大小的變化情況是__________________________．[2017年高考·上海物理卷]圖8－3甲[解析]該質(zhì)點(diǎn)在重力和外力F的作用下從靜止開始做直線運(yùn)動(dòng),說明質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng),如圖8－3乙所示,當(dāng)F的方向?yàn)閍方向<垂直于ON>時(shí),F最小為mgsinθ；若F＝mgtanθ,即F可能為b方向或c方向,故除重力外的力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)可能做正功,也可能做負(fù)功,所以質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能增加、減少都有可能．圖8－3乙[答案]mgsinθ增加、減少都有可能[點(diǎn)評(píng)]運(yùn)用平行四邊形<三角形>定則分析物體受力的變化情況<或用相似三角形比較受力>是一種常用的方法,同類題可見專題一同類拓展2和例題4．●例3總質(zhì)量為80kg的跳傘運(yùn)動(dòng)員從離地500m的直升機(jī)上跳下,經(jīng)過2s拉開繩索開啟降落傘,圖8－4是跳傘過程中的v－t圖象,試根據(jù)圖象求：<取g＝10m/s2>圖8－4<1>t＝1s時(shí)運(yùn)動(dòng)員的加速度和所受阻力的大?。?lt;2>估算14s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的高度及克服阻力做的功．<3>估算運(yùn)動(dòng)員從飛機(jī)上跳下到著地的總時(shí)間．[2017年高考·上海物理卷][解析]<1>從圖象中可以看出,在t＝2s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員做勻加速運(yùn)動(dòng),其加速度的大小為：a＝eq\f<vt,t>＝eq\f<16,2>m/s2＝8m/s2設(shè)此過程中運(yùn)動(dòng)員受到的阻力大小為f,根據(jù)牛頓第二定律,有：mg－f＝ma得：f＝m<g－a>＝80×<10－8>N＝160N．<2>v－t圖象與t軸所包圍的面積表示位移,由圖象可知14s內(nèi)該面積包含的格子為39格所以h＝39×2×2m＝156m根據(jù)動(dòng)能定理,有：mgh－Wf＝eq\f<1,2>mv2所以Wf＝mgh－eq\f<1,2>mv2＝<80×10×156－eq\f<1,2>×80×62>J≈1.23×105J．<3>14s后運(yùn)動(dòng)員做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t′＝eq\f<H－h(huán),v>＝eq\f<500－156,6>s≈57s運(yùn)動(dòng)員從飛機(jī)上跳下到著地所需要的總時(shí)間為：t總＝t＋t′＝<14＋57>s≈71s．[答案]<1>160N<2>1.23×105J<3>71s[點(diǎn)評(píng)]對(duì)于此題,應(yīng)明確v－t圖象中"面積"的含義,在數(shù)小方格個(gè)數(shù)時(shí)需注意合理取舍,即大于半格的算1個(gè),小于半格的舍去．●例4如圖8－5甲所示,一質(zhì)量m＝1kg的木板靜止在光滑水平地面上．開始時(shí),木板右端與墻相距L＝0.08m,一質(zhì)量m＝1kg的小物塊以初速度v0＝2m/s滑上木板左端．木板的長度可保證物塊在運(yùn)動(dòng)過程中不與墻接觸．物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.1,木板與墻碰撞后以與碰撞前瞬時(shí)等大的速度反彈．取g＝10m/s2,求：圖8－5甲<1>從物塊滑上木板到兩者達(dá)到共同速度時(shí),木板與墻碰撞的次數(shù)及所用的時(shí)間．<2>達(dá)到共同速度時(shí)木板右端與墻之間的距離．[解析]解法一物塊滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板從靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)木板的加速度大小為a,經(jīng)歷時(shí)間T后與墻第一次碰撞,碰撞時(shí)的速度為v1,則有：μmg＝maL＝eq\f<1,2>aT2v1＝aT可得：a＝1m/s2,T＝0.4s,v1＝0.4m/s物塊與木板達(dá)到共同速度之前,在每兩次碰撞之間,木板受到物塊對(duì)它的摩擦力作用而做加速度恒定的運(yùn)動(dòng),因而木板與墻相碰后將返回至初態(tài),所用時(shí)間為T．設(shè)在物塊與木板達(dá)到共同速度v之前木板共經(jīng)歷了n次碰撞,則有：v＝v0－<2nT＋Δt>a＝a·Δt式中Δt是碰撞n次后木板從起始位置至達(dá)到共同速度所需要的時(shí)間上式可改寫為：2v＝v0－2nTa由于木板的速率只能在0到v1之間,故有：0≤v0－2nTa≤2v1解得：1.5≤n≤2.5由于n是整數(shù),故n＝2解得：v＝0.2m/s,Δt＝0.2s從開始到物塊與木板達(dá)到共同速度所用的時(shí)間為：t＝4T＋Δt＝1.8s．<2>物塊與木板達(dá)到共同速度時(shí),木板右端與墻之間的距離為：s＝L－eq\f<1,2>a·Δt2解得：s＝0.06m解法二<1>物塊滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度a1＝μg＝1m/s,方向向右物塊做減速運(yùn)動(dòng)的加速度a2＝μg＝1m/s,方向向左可作出物塊、木板的v－t圖象如圖8－5乙所示由圖可知,木板在0.4s、1.2s時(shí)刻兩次與墻碰撞,在t＝1.8s時(shí)刻物塊與木板達(dá)到共同速度．<2>由圖8－5乙可知,在t＝1.8s時(shí)刻木板的位移為：s＝eq\f<1,2>×a1×0.22＝0.02m木板右端距墻壁的距離Δs＝L－s＝0.06m．圖8－5乙[答案]<1>1.8s<2>0.06m[點(diǎn)評(píng)]此題的兩種解題方法都是在清晰地理解物理過程的前提下巧妙地應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解析的,專題一例4中的解法二也是典型地利用圖象來確定物理過程的．●例5圖8－6所示為一個(gè)內(nèi)外半徑分別為R1和R2的圓環(huán)狀均勻帶電平面,其單位面積的帶電量為σ．取環(huán)面中心O為原點(diǎn),以垂直于環(huán)面的軸線為x軸．設(shè)軸上任意點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離為x,P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．下面給出E的四個(gè)表達(dá)式<式中k為靜電力常量>,其中只有一個(gè)是合理的．你可能不會(huì)求解此處的場(chǎng)強(qiáng)E,但是你可以通過一定的物理分析,對(duì)以下表達(dá)式的合理性作出判斷．根據(jù)你的判斷,E的合理表達(dá)式應(yīng)為[2017年高考·北京理綜卷]<>圖8－6A．E＝2πkσeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<R1,\r<x2＋R12>>－\f<R2,\r<x2＋R22>>>>xB．E＝2πkσeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,\r<x2＋R12>>－\f<1,\r<x2＋R22>>>>xC．E＝2πkσeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<R1,\r<x2＋R12>>＋\f<R2,\r<x2＋R22>>>>D．E＝2πkσeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,\r<x2＋R12>>＋\f<1,\r<x2＋R22>>>>x[解析]A選項(xiàng)表達(dá)式可變形為：E＝2πkσeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<R1,\r<1＋<\f<R1,x>>2>>－\f<R2,\r<1＋<\f<R2,x>>2>>>>,對(duì)于這一表達(dá)式,當(dāng)R1＝0時(shí),E＝－eq\f<2πkσR2,\r<1＋<\f<R2,x>>2>>,隨x的增大,E的絕對(duì)值增大,這與客觀事實(shí)不符合,故A錯(cuò)誤,對(duì)于C選項(xiàng)中的表達(dá)式,當(dāng)x＝0時(shí),E＝4πkσ,而事實(shí)由對(duì)稱性知應(yīng)該為E＝0,故C錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng),E＝2πkσeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,\r<1＋<\f<R1,x>>2>>＋\f<1,\r<1＋<\f<R2,x>>2>>>>同樣E隨x增大而增大,當(dāng)x＝∞時(shí)E>0,這與事實(shí)不符合,故D錯(cuò)誤,只有B可能正確．[答案]B[點(diǎn)評(píng)]本例與2017年高考北京理綜卷第20題相似,給出某一規(guī)律的公式,要求證它的正確性,這類試題應(yīng)引起足夠的重視．●例6如圖8－7所示,一輕繩吊著一根粗細(xì)均勻的棒,棒下端離地面高為H,上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)．棒和環(huán)的質(zhì)量均為m,相互間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg<k＞1>．?dāng)嚅_輕繩,棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長,與地面發(fā)生碰撞時(shí)觸地時(shí)間極短,無動(dòng)能損失．棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持豎直,空氣阻力不計(jì)．求：圖8－7<1>棒第一次與地面碰撞后彈起上升的過程中,環(huán)的加速度．<2>從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間,棒運(yùn)動(dòng)的路程s．<3>從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止的過程中,摩擦力對(duì)環(huán)和棒做的總功W．[20XX高考·XX物理卷][解析]<1>設(shè)棒第一次上升的過程中環(huán)的加速度為a環(huán),由牛頓第二定律有：a環(huán)＝eq\f<kmg－mg,m>＝<k－1>g,方向豎直向上．<2>棒第一次落地前瞬間的速度大小為：v1＝eq\r<2gH>設(shè)棒彈起后的加速度為a棒,由牛頓第二定律有：a棒＝－eq\f<kmg＋mg,m>＝－<k＋1>g故棒第一次彈起的最大高度為：H1＝－eq\f<v12,2a棒>＝eq\f<H,k＋1>路程s＝H＋2H1＝eq\f<k＋3,k＋1>H．<3>解法一設(shè)棒第一次彈起經(jīng)過t1時(shí)間后與環(huán)達(dá)到共同速度v1′環(huán)的速度v1′＝－v1＋a環(huán)t1棒的速度v1′＝v1＋a棒t1解得：t1＝eq\f<1,k>eq\r<\f<2H,g>>v1′＝－eq\f<\r<2gH>,k>環(huán)的位移h環(huán)1＝－v1t1＋eq\f<1,2>a環(huán)t12＝－eq\f<k＋1,k2>H棒的位移h棒1＝v1t1＋eq\f<1,2>a棒t12＝eq\f<k－1,k2>Hx1＝h環(huán)1－h(huán)棒1解得：x1＝－eq\f<2H,k>棒、環(huán)一起下落至地,有：v22－v1′2＝2gh棒1解得：v2＝eq\r<\f<2gH,k>>同理,環(huán)第二次相對(duì)棒的位移為：x2＝h環(huán)2－h(huán)棒2＝－eq\f<2H,k2>……xn＝－eq\f<2H,kn>故環(huán)相對(duì)棒的總位移x＝x1＋x2＋…＋xn＝－eq\f<2H,k－1>所以W＝kmgx＝－eq\f<2kmgH,k－1>．解法二經(jīng)過足夠長的時(shí)間棒和環(huán)最終靜止,設(shè)這一過程中它們相對(duì)滑動(dòng)的總路程為l,由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律有：mgH＋mg<H＋l>＝kmgl解得：l＝eq\f<2H,k－1>故摩擦力對(duì)環(huán)和棒做的總功為：W＝－kmgl＝－eq\f<2kmgH,k－1>．[答案]<1><k