正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近

總結(jié)2連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近1

連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式2.4正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!

2.4正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近

正交多項(xiàng)式是數(shù)值計(jì)算中的重要工具，這里只介紹正交多項(xiàng)式的基本概念、某些性質(zhì)和構(gòu)造方法。離散情形的正交多項(xiàng)式用于下節(jié)的數(shù)據(jù)擬合，連續(xù)情形的正交多項(xiàng)式用于生成最佳平方逼近多項(xiàng)式和下章的高斯型求積公式的構(gòu)造。它們?cè)跀?shù)值分析的其他領(lǐng)域中也有不少應(yīng)用。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!1連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式的概念與離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式概念相似，只要將內(nèi)積的定義作相應(yīng)的改變。定義2.10函數(shù)f(x)和g(x)在連續(xù)意義下的內(nèi)積定義為

（1）其中的(x)0為給定的權(quán)函數(shù)。按連續(xù)意義下的內(nèi)積，若多項(xiàng)式組{k(x)}k=0,…n滿足條件(1),則稱它為在區(qū)間[a,b]上的帶權(quán)(x)的正交多項(xiàng)式序列。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!事實(shí)上，例2.17三角函數(shù)組上關(guān)于權(quán)函數(shù)1的正交組。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!下面給出幾種常用的正交多項(xiàng)式.

(1)勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式.正交多項(xiàng)式記為，由三項(xiàng)遞推公式得(2.4.7)它們是在區(qū)間[-1,1]上的帶權(quán)(x)=1的正交多項(xiàng)式.它們的根都是在開(kāi)區(qū)間(-1,1)上的單根,并且與原點(diǎn)對(duì)稱.正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!它們的根都在開(kāi)區(qū)間（-1，1）上的單根，并且與原點(diǎn)對(duì)稱。前幾個(gè)類Chebyshev多項(xiàng)式如下:正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!它們的根都是在區(qū)間（0，+∞）上的單根。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!它們的根都在區(qū)間（-∞，+∞）上的單根，并且與原點(diǎn)對(duì)稱前幾個(gè)Hermite多項(xiàng)式如下：正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!例如函數(shù)組,其中線性無(wú)關(guān)。

定理2.9

在[a,b]上線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的Gramer行列式Gn≠０，其中正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!函數(shù)逼近:用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)代替復(fù)雜的函數(shù)誤差為最小，即距離為最小(不同的度量意義)2.函數(shù)逼近問(wèn)題的提出下面討論在區(qū)間[a,b]上一般的最佳平方逼近問(wèn)題。下面我們討論在區(qū)間[a,b]上函數(shù)的逼近問(wèn)題。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!討論最佳平方逼近函數(shù)的存在性，唯一性及計(jì)算方法。(1)存在性，唯一性原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)分知識(shí),它有穩(wěn)定解正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!這是關(guān)于{aj}(j=0,1,…n)的線性方程組，稱為法方程.簡(jiǎn)記為Ga=d.其展開(kāi)形式為(2.4.13)正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!事實(shí)上,非負(fù)誤差與基函數(shù)正交正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!證：法方程組的系數(shù)矩陣為正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!考慮特殊情形-----用多項(xiàng)式｛1,x,x2,…,xn,｝作n次最佳平方多項(xiàng)式p*(x)逼近步驟/方法(權(quán)函數(shù)為１時(shí)，［a,b］=[0,1])解法方程組Ga=d正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!說(shuō)明:上式中矩陣G稱為Hilbert矩陣,是一個(gè)著名病態(tài)矩陣（見(jiàn)第4章）,即當(dāng)某個(gè)元素有微小變化時(shí),引起解的變化很大,且當(dāng)n越大時(shí)，病態(tài)愈嚴(yán)重。求Ga=d比較準(zhǔn)確的計(jì)算解就很困難.當(dāng)n很大時(shí)它的精度便由舍入誤差影響而迅速惡化。補(bǔ)救的辦法就是取正交多項(xiàng)式作基。改進(jìn):用正交多項(xiàng)式作最佳平方逼近.正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!③平方誤差優(yōu)點(diǎn)：用正交多項(xiàng)式求最佳平方逼近多項(xiàng)式，解法方程組變得簡(jiǎn)單了。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!在[-1，1]上3次最佳平方逼近多項(xiàng)式。例2.18解：法方程組為正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!法方程組為正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!本節(jié)介紹了最佳平方逼近的基本理論(即最佳平方逼近多項(xiàng)式的存在性、唯一性)及計(jì)算方法。用多項(xiàng)式作最佳平方逼近存在缺陷，補(bǔ)救的方法是取正交基。即正交多項(xiàng)式的最佳平方逼近。總結(jié)：本課重點(diǎn)：

理解最佳平方逼近的理論推導(dǎo)并會(huì)求最佳平方逼近多項(xiàng)式。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!正交多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞推公式:是首項(xiàng)系數(shù)為1的i次多項(xiàng)式，則滿足遞推公式:正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!

(2)類Chebyshev多項(xiàng)式.類Chebyshev多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出.它們是在區(qū)間[-1,1]上的帶權(quán)的正交多項(xiàng)式.(2.4.8)正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!（3）拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式。Laguerre多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出。它們是在區(qū)間[0,+∞)上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。前幾個(gè)Laguerre多項(xiàng)式如下:

正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!(4)Hermite多項(xiàng)式Hermite多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出。它們是在區(qū)間（-∞，+∞）上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!2連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近

連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]上定義了內(nèi)積（2.4.6）就形成了一個(gè)內(nèi)積空間。在Rn空間中任一向量都可用它的線性無(wú)關(guān)的基表示。類似地，對(duì)內(nèi)積空間任一元素f(x)∈C[a,b]，也可用線性無(wú)關(guān)的基表示。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!特別地，它的Gramer行列式Gn是對(duì)角矩陣。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!則稱是f(x)在中的最佳平方逼近函數(shù)。對(duì)于f(x)∈C[a,b],若存在，使得設(shè)是C[a,b]中的線性無(wú)關(guān)函數(shù),記定義2.12(最佳平方逼近函數(shù))(2.4.11)正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!取得極小值。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!由(2.4.12)知(2.4.14)誤差與基函數(shù)正交正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!(3)平方誤差總結(jié)上述討論則有定理2.10-2.12.正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!H幾何解釋：正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!定理2.12（最佳平方逼近）(2)函數(shù)類(2.4.15)正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!法方程Ga=d中的系數(shù)矩陣為稱之為Hilbert矩陣。正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!(2)用正交多項(xiàng)式作最佳平方逼近方法（步驟）：