學案空間向量的坐標與空間直角坐標系

5/5空間向量的坐標與空間直角坐標系【學習目標】1．通過空間向量的直角坐標運算的學習，提升數學運算、邏輯推理素養(yǎng)．2．通過對空間直角坐標系的學習，提升數學抽象素養(yǎng)．3．理解空間直角坐標系的定義、建系方法，以及空間的點的坐標確定方法并能簡單運用．【學習重難點】1．掌握空間向量的坐標表示，能在適當的坐標系中寫出向量的坐標．（重點）2．掌握空間向量的坐標運算．（重點）3．掌握空間向量的坐標與空間向量的平行、垂直的關系．（重點、難點）【學習過程】一、新知初探1．空間中向量的坐標一般地，如果空間向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是單位向量，而且這三個向量兩兩垂直，就稱這組基底為單位正交基底，在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，則稱有序實數組（x，y，z）為向量p的坐標，記作p＝（x，y，z）．其中x，y，z都稱為p的坐標分量．2．空間向量的運算與坐標的關系假設空間中兩個向量a，b滿足a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），則有以下結論：（1）a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）；（2）若u，v是兩個實數，ua＋vb＝（ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2）；（3）a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；（4）|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；（5）當a≠0且b≠0時，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．3．空間向量的坐標與空間向量的平行、垂直（1）當a≠0時，a∥b?b＝λa?（x2，y2，z2）＝λ（x1，y1，z1）?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝λx1,y2＝λy1,z2＝λz1))，當a的每一個坐標分量都不為零時，有a∥b?eq\f(x2,x1)＝eq\f(y2,y1)＝eq\f(z2,z1)．（2）a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．4．空間直角坐標系（1）在空間中任意選定一點O作為坐標原點，選擇合適的平面先建立平面直角坐標系xOy，然后過O作一條與xOy平面垂直的數軸z軸．這樣建立的空間直角坐標系記作Oxyz．（2）在空間直角坐標系Oxyz中，x軸、y軸、z軸是兩兩垂直的，它們都稱為坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面都稱為坐標平面．（3）z軸正方向的確定：在z軸的正半軸看xOy平面，x軸的正半軸繞O點沿逆時針方向旋轉90°能與y軸的正半軸重合．（4）空間直角坐標系的畫法：在平面內畫空間直角坐標系Oxyz時，一般把x軸、y軸畫成水平放置，x軸正方向與y軸正方向夾角為135°（或45°），z軸與y軸（或x軸）垂直．（5）空間中一點的坐標：空間一點M的坐標可用有序實數組（x，y，z）來表示，有序實數組（x，y，z）叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，其中x叫做點M的橫坐標（或x坐標），y叫做點M的縱坐標（或y坐標），z叫做點M的豎坐標（或z坐標）．（6）三個坐標平面將不在坐標平面內的點分成了八個部分，每一部分都稱為一個卦限，按逆時針方向，在坐標平面xOy的上方，分別是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分別是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根據點的坐標的特征，第Ⅰ卦限的點集用集合可表示為{（x，y，z）|x＞0，y＞0，z＞0}．5．空間向量坐標的應用（1）點P（x，y，z）到坐標原點O（0,0,0）的距離OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．（2）任意兩點P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）間的距離P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．二、初試身手1．思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）以原點為始點的向量eq\o(OP,\s\up7(→))的坐標和點P的坐標相同．（）（2）若a·b＝0，則a⊥b．（）（3）在空間直角坐標系中，在Ox軸上的點一定是（0，b，c）．（）（4）在空間直角坐標系中，在xOz平面上的點的坐標為（a,0，c）．（）2．（教材P19例2改編）已知向量a＝（3，－2,1），b＝（－2,4,0），則4a＋2b等于（A．（16,0,4） B．（8，－16,4）C．（8,16,4） D．（8,0,4）3．已知{e1，e2，e3}是單位正交基底，則p＝－e1＋2e2＋3e3的坐標為________．4．在空間直角坐標系中，點P（3,4,5）與Q（3，－4，－5）兩點的位置關系是________．三、合作探究類型1空間向量的坐標運算【例1】（1）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分別為棱DD′，D′C′，BC的中點，以{eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA′,\s\up7(→))}為基底，求下列向量的坐標．①eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))；②eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(EG,\s\up7(→))，eq\o(DG,\s\up7(→))．（2）已知空間四點A，B，C，D的坐標分別是（－1,2,1），（1,3,4），（0，－1,4），（2，－1，－2）．若p＝eq\o(AB,\s\up7(→))，q＝eq\o(CD,\s\up7(→))．求①p＋2q；②3p－q；③（p－q）·（p＋q）．類型2空間中點的坐標確定及應用【例2】在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是D1D、BD的中點，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點，試建立適當的坐標系，寫出E，F，G，H的坐標．并求GH的長度．類型3空間向量的平行與垂直【例3】已知空間三點A（－2,0,2），B（－1,1,2），C（－3,0,4），設a＝eq\o(AB,\s\up7(→))，b＝eq\o(AC,\s\up7(→))．（1）若|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up7(→))．求c；（2）若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k．類型4利用坐標運算解決夾角、距離問題【例4】如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點．（1）求證：EF⊥B1C（2）求EF與C1G（3）求FH的長．【學習小結】1．利用空間向量的坐標運算可以判斷兩個向量的平行、垂直，可以求向量的模以及兩個向量的夾角．2．幾何中的平行和垂直可以用向量進行判斷，距離、夾角問題可以借助于空間直角坐標系利用數量積解決．【精煉反饋】1．已知向量a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2），則3a＋b為（A．（－2，－3，－2） B．（2,3,2）C．（－2,3,2） D．（4,3,2）2．在空間直角坐標系中，點P（1,3，－5）關于平面xOy對稱的點的坐標是（）A．（－1,3，－5） B．（1,3,5）C．（1，－3,5） D．（－1，－3,5）3．點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))到原點O的距離是（）A．eq\f(\r(30),6) B．1C．eq\f(\r(33