2021年第38屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論試題（揚(yáng)州、福建賽區(qū)）

第4頁共4頁第38屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽（揚(yáng)州、福建賽區(qū)）理論試題（考試時間：2021年10月10日上午8:30-11:30）考生必讀1、考生考試前請務(wù)必認(rèn)真閱讀本須知．2、本試題共4頁，每大題40分，總分為320分．3、如遇試題印刷不清楚情況，請務(wù)必向監(jiān)考老師提出．4、需要閱卷老師評閱的內(nèi)容一定要寫在答題紙上；寫在試題紙和草稿紙上的解答一律不能得分．一、（40分）如圖所示，質(zhì)量為M的斜面可在水平面上滑動，斜面傾角為θ，質(zhì)量為m的滑塊與勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端相連，彈簧另一端固定在斜面底端．設(shè)初始時M與m靜止，t＝0時將m從彈簧原長位置釋放．斜面與水平面之間的摩擦以及滑塊與斜面之間的摩擦均可忽略。（1）試求系統(tǒng)振動的周期T；（2）試求t時刻彈簧的壓縮量x(t)和斜面M向右的加速度a(t)．二、（40分）一質(zhì)量為m的衛(wèi)星沿地球軌道繞太陽運(yùn)行．某一時刻衛(wèi)星打開太陽帆——半徑為R的圓形鏡面反射薄膜．在隨后運(yùn)動中帆不斷地改變方向，使帆面總是垂直于太陽光．已知：萬有引力常量為G，地球軌道可看作圓，太陽質(zhì)量為M，太陽半徑為RS，太陽表面溫度為TS，太陽可視為理想黑體，輻射遵從斯忒蕃－玻爾茲曼定律，斯忒蕃常量為σ．（1）當(dāng)衛(wèi)星到太陽的距離為r時，試求衛(wèi)星受到的合力F(r)的表達(dá)式（以徑向向外為正）；（2）已知衛(wèi)星質(zhì)量m＝100kg，太陽帆半徑R＝70m，萬有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，太陽質(zhì)量M＝2×1030kg，太陽半徑RS＝6.69×105km，太陽表面溫度TS＝5.78×103K，斯忒蕃常量σ＝5.67×10－8W·m－2·K－4．試判斷在張開帆以后衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡形狀（定性即可）以及軌跡是否閉合．若軌跡閉合，求衛(wèi)星運(yùn)行的周期T（年）；若軌跡不閉合，求衛(wèi)星在無窮遠(yuǎn)處的剩余速度v∞．

三、（40分）一個半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)實(shí)心小圓柱被置于一個半徑為R（R＞r）、質(zhì)量為M的勻質(zhì)薄圓筒中，圓筒的中心軸O和小圓柱的中心軸C均水平，橫截面如圖所示．將圓筒放置在粗糙地面上，圓筒只能在地面上無滑滾動，小圓柱也只能在圓筒內(nèi)壁無滑滾動．如圖所示，將圓筒中心軸O的水平位置記為x，小圓柱中心C與O的連線與豎直方向間的夾角記為θ．重力加速度為g．（1）若t＝0時，θ(0)＝90°，系統(tǒng)由靜止釋放，試求小圓柱運(yùn)動到最低點(diǎn)時，對圓筒的壓力．（2）若運(yùn)動過程中θ始終為小量，系統(tǒng)應(yīng)該具有兩種特殊的運(yùn)動模式，即：①整體勻速運(yùn)動模式；②往返振動模式．（i）寫出關(guān)于x和θ的動力學(xué)方程組；（ii）分別給出系統(tǒng)單獨(dú)呈現(xiàn)上述一種運(yùn)動模式時，x和θ的初始條件應(yīng)滿足的定量關(guān)系；（iii）寫出系統(tǒng)往返振動模式的振動周期；（3）系統(tǒng)的一般運(yùn)動為上述兩種特殊運(yùn)動模式的疊加．若t＝0時，x(0)＝0、，θ(0)＝θ0（小量）、，試求任意t時刻的x(t)、θ(t)．四、（40分）在一個真空二極管中，電子從陰極面“熱蒸發(fā)”后向陽極面加速運(yùn)動．陰極電勢為零，對面陽極的電勢為V0．在兩極間隙中所形成的電子云（稱為空間電荷）很快會達(dá)到一種分布狀態(tài)，使得陰極面上的電場強(qiáng)度為零．然后在兩極板之間形成穩(wěn)定的電流．假定電子從陰極是從靜止開始運(yùn)動的，假定兩個極板面積為A，極板邊長遠(yuǎn)大于它們之間的距離d，所以邊界效應(yīng)可以忽略．則電勢V、電荷密度ρ、電子速度v都僅是x的函數(shù)．已知電子電量為e，電子質(zhì)量為m．（1）試求電勢分布V(x)，用V0和d表示，定性畫出V－x曲線圖，并與沒有空間電荷的情況比較．（2）進(jìn)一步求出速度分布v(x)和電荷密度分布ρ(x)；（3）證明電流I和陽極電勢V0滿足關(guān)系I＝KV0n，求出常數(shù)K和n的表達(dá)式．（此式即為真空二極管的伏安特性關(guān)系，稱為Child-Langmuir定律．只要是空間電荷限制電流的情況，它對另外的幾何構(gòu)型也同樣成立．注意，受空間電荷限制的二極管是非線性的——它不遵從歐姆定律）

五、（40分）如圖所示，左側(cè)和右側(cè)有兩個邊長為b、間距為d（d<<b）的正方形平行板電容器，兩電容器由截面半徑為a（d<<a<<b）的半圓柱面金屬板相連．忽略邊緣效應(yīng)，忽略電磁輻射．t＝0時，左側(cè)電容器帶有電荷Q0．（1）試求左、右兩電容器上極板的電荷量隨時間t的變化關(guān)系q1(t)、q2(t)，試求電荷Q0首次完全由左側(cè)電容器轉(zhuǎn)移到右側(cè)電容器所需的時間；（2）試求t時刻，圓柱區(qū)域內(nèi)的電磁場分布，并求出電磁場能量．六、（40分）如圖所示，氣缸I、II都是絕熱的，底面積均為S＝0.1m2，高度分別為2L和L＝0.5m．氣缸中有一絕熱輕質(zhì)薄活塞，可在氣缸中無摩擦的上下滑動．活塞通過一根勁度系數(shù)為k＝3.30×104N/m、自然長度為L的輕彈簧與氣缸I頂部相連．兩氣缸通過一根很細(xì)的截面積為A＝2.00×10－6m2的絕熱管道相連．管道中靠近氣缸II處有一個小木塞B堵住管道，它與管道間最大靜摩擦力為f＝0.635N．R是電阻絲，可以通電發(fā)熱．C是壓強(qiáng)傳感器，當(dāng)它工作時能控制電阻絲R的發(fā)熱速率，使氣缸I上部壓強(qiáng)維持在它開始工作時一瞬間的數(shù)值．C的開關(guān)在K處，一旦木塞B不能維持平衡，就將很快射出而撞擊K，使C開始工作（圖中未畫出）．現(xiàn)在在氣缸I的上、下部分各充入適量理想氣體氦氣，使它們的壓強(qiáng)均為p1＝1×105Pa、溫度均為T1＝300K，彈簧處于原長；氣缸II中抽成真空．然后接通電源，緩緩加熱．求最終活塞距氣缸底部的距離和此時氣缸II中氣體溫度．

七、（40分）邁克爾遜干涉儀的光路原理圖如圖所示．在焦距為f的透鏡L的焦平面上放置觀察屏，觀察到的干涉圖樣是一系列同心圓環(huán)．（1）此干涉圖樣是等傾干涉還是等厚干涉？設(shè)光源的波長為λ，兩臂上反射鏡M1和M2到半反半透鏡M的距離之差為t．試求屏上k級亮環(huán)的半徑rk．條紋疏密分布如何？（2）若用鈉光燈（含有λ1＝589nm和λ2＝589.6nm兩條分立的譜線）照明邁克爾遜干涉儀，只考慮中心附近的干涉條紋．首先調(diào)整干涉儀得到最清晰的干涉條紋，然后移動M1，干涉圖樣逐漸變得模糊．至第一次干涉現(xiàn)象消失時，M1由原來位置移動了多少距離？（3）若光源的光譜為589nm到589.6nm的連續(xù)譜，只考慮中心附近的干涉條紋，則能看到的最高干涉級數(shù)為多少？此時兩臂的距離差是多少？八、（40分）1913年，玻爾（NielsBohr）首先導(dǎo)出了氫原子能級的公式．他假設(shè)單電子在靜電力的作用下繞一個質(zhì)量比電子大得多的質(zhì)子做圓軌道運(yùn)動，電子軌道具有量子化的角動量．（1）已知電子電量為e，電子質(zhì)量為m，真空介電常量為ε0，普朗克常量為h，試求氫原子能級En的表達(dá)式；（2）有兩個處于基態(tài)的氫原子A、B，B靜止，A以高速與之發(fā)生碰撞．已知：碰撞后二者的速度在一條直線上，碰撞過程中部分動能有可能被某一氫原子吸收，從而該原子由基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，然后，此原子向低能級態(tài)