大學文科數(shù)學之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計課件

大學文科數(shù)學

之

線性代數(shù)與概率統(tǒng)計北京師范大學珠海分校國際特許經(jīng)營學院與不動產(chǎn)學院2004-2005學年第二學期歐陽順湘2005.5.11

大學文科數(shù)學

之

線性代數(shù)與概率統(tǒng)計1連續(xù)型隨機變量復習+進一步學習分布函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義重要的連續(xù)型r.v連續(xù)型隨機變量復習+進一步學習分布函數(shù)的性質(zhì)2復習隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的概念.分布函數(shù)的性質(zhì)復習隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的概念.3隨機變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.

定義設X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件{X<x}的概率P(X<x)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P(X<x).易知，對任意實數(shù)a,b(a<b),P{aX<b}＝P{X<b}－P{X<a}＝F(b)－F(a).隨機變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.定義4二、分布函數(shù)的性質(zhì)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、歸一性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且

3、左連續(xù)性：對任意實數(shù)x，反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。二、分布函數(shù)的性質(zhì)1、單調(diào)不減性：若x1<x2,5假設離散型r.v.X具有分布列假設離散型r.v.X具有分布列6

連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型7連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義

對于隨機變量X,如果存在非負可積函數(shù)f(x)

,使得X的分布函數(shù)F(x)可以寫成則稱X為連續(xù)型r.v,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度.連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義對于隨機變量X8概率密度函數(shù)的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件.

f(x)xo面積為1概率密度函數(shù)的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是判定一個f(x)xo面積為9連續(xù)r.v.的密度函數(shù)

與離散r.v.分布列的性質(zhì)比較連續(xù)r.v.的密度函數(shù)103311大學文科數(shù)學之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計課件12連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因為連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因13由此得，1)對連續(xù)型r.vX,有由此得，1)對連續(xù)型r.vX,有142)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=S2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能15

故

X的密度f(x)在x這一點的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點，則：=f(x)4.對f(x)的進一步理解:(4)在f(x)的連續(xù)點x處，有故X的密度f(x)在x這一點的值16若不計高階無窮小，有：它表示隨機變量X取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.若不計高階無窮小，有：它表示隨機變量X取17要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.

f(x)xo要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的18下面給出幾個r.v的例子.由于連續(xù)型r.v唯一被它的密度函數(shù)所確定.所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型r.v的概率規(guī)律就得到了全面描述.

f(x)xo下面給出幾個r.v的例子.由于連續(xù)型r.v唯一被它19例9已知連續(xù)型r.v.具有概率密度

求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x),并計算P(1.5<=<=2.5)例9已知連續(xù)型r.v.具有概率密度20大學文科數(shù)學之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計課件21設具有概率密度

C為一常數(shù)，稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布設具有概率密度C為一常數(shù)，稱X服從區(qū)間(a,b)22（1）若r.vX的概率密度為：則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記作：X～U(a,b)

它的實際背景是：r.vX取值在區(qū)間(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比.則X具有(a,b)上的均勻分布.（1）若r.vX的概率密度為：則稱X服從區(qū)間(a,b)23服從均勻分布的隨機變量x的分布函數(shù)為服從均勻分布的隨機變量x的分布函數(shù)為24

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站25

例10

某路公共汽車每5分鐘一趟，設為乘客在某站口的候車時間,試求他候車時間不超過3分鐘的概率.解：X～U(0,30)

例10某路公共汽車每5分鐘一趟，設為乘客在某站口26則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.（2）若r.vX具有概率密度常簡記為X~E().則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.指27

服從以為參數(shù)的指數(shù)分布的隨機變量X的分布函數(shù)為

服從以為參數(shù)的28

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線性代數(shù)與概率統(tǒng)計北京師范大學珠海分校國際特許經(jīng)營學院與不動產(chǎn)學院2004-2005學年第二學期歐陽順湘2005.5.11

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線性代數(shù)與概率統(tǒng)計29連續(xù)型隨機變量復習+進一步學習分布函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義重要的連續(xù)型r.v連續(xù)型隨機變量復習+進一步學習分布函數(shù)的性質(zhì)30復習隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的概念.分布函數(shù)的性質(zhì)復習隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的概念.31隨機變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.

定義設X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件{X<x}的概率P(X<x)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P(X<x).易知，對任意實數(shù)a,b(a<b),P{aX<b}＝P{X<b}－P{X<a}＝F(b)－F(a).隨機變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念.定義32二、分布函數(shù)的性質(zhì)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、歸一性：對任意實數(shù)x，0F(x)1，且

3、左連續(xù)性：對任意實數(shù)x，反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。二、分布函數(shù)的性質(zhì)1、單調(diào)不減性：若x1<x2,33假設離散型r.v.X具有分布列假設離散型r.v.X具有分布列34

連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型35連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義

對于隨機變量X,如果存在非負可積函數(shù)f(x)

,使得X的分布函數(shù)F(x)可以寫成則稱X為連續(xù)型r.v,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度.連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義對于隨機變量X36概率密度函數(shù)的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件.

f(x)xo面積為1概率密度函數(shù)的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是判定一個f(x)xo面積為37連續(xù)r.v.的密度函數(shù)

與離散r.v.分布列的性質(zhì)比較連續(xù)r.v.的密度函數(shù)383339大學文科數(shù)學之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計課件40連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因為連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因41由此得，1)對連續(xù)型r.vX,有由此得，1)對連續(xù)型r.vX,有422)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.可見，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=S2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能43

故

X的密度f(x)在x這一點的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點，則：=f(x)4.對f(x)的進一步理解:(4)在f(x)的連續(xù)點x處，有故X的密度f(x)在x這一點的值44若不計高階無窮小，有：它表示隨機變量X取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.若不計高階無窮小，有：它表示隨機變量X取45要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.

f(x)xo要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的46下面給出幾個r.v的例子.由于連續(xù)型r.v唯一被它的密度函數(shù)所確定.所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型r.v的概率規(guī)律就得到了全面描述.

f(x)xo下面給出幾個r.v的例子.由于連續(xù)型r.v唯一被它47例9已知連續(xù)型r.v.具有概率密度

求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x),并計算P(1.5<=<=2.5)例9已知連續(xù)型r.v.具有概率密度48大學文科數(shù)學之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計課件49設具有概率密度

C為一常數(shù)，稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布設具有概率密度C為一常數(shù)，稱X服從區(qū)間(a,b)50（1）若r.vX的概率密度為：則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記作：X～U(a,b)

它的實際背景是：r.vX取值在區(qū)間(a,