同濟線性代數(shù)第一講課件

在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，叫做元素的代數(shù)余子式．如，一、余子式與代數(shù)余子式定義：記作：行列式的每一個元素都對應一個余子式和代數(shù)余子式在階行列式中，把元素所在的第行和1引理：一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．如，二、行列式按行（列）展開法則引理：一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都2證：10當位于第一行第一列時,即有：20

再證一般情形,此時又證：10當位于第一行第一列時,即有：3得得4得得5證：或定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即：證：或定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的6同濟線性代數(shù)第一講課件7證：推論：

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即：證：推論：行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元8同理相同同理相同9代數(shù)余子式的重要性質注：代數(shù)余子式的重要性質注：10例1計算例1計算11例2

計算n

階行列式例2計算n階行列式12證：用數(shù)學歸納法例3證明范德蒙德(Vandermonde)行列式證：用數(shù)學歸納法例3證明范德蒙德(Vandermonde)13同濟線性代數(shù)第一講課件14

n-1階范德蒙德行列式注：此結論可直接使用。數(shù)學歸納法n-1階范德蒙德行列式注：此結論可直接使用。數(shù)學歸納法15如，如，16§7克拉默法則§7克拉默法則17設方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.一、線性方程組線性設方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組;此18二、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即二、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即19其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方20例1

用克拉默法則解方程組解:例1用克拉默法則解方程組解:21同濟線性代數(shù)第一講課件22同濟線性代數(shù)第一講課件23三、重要定理如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式則(1)一定有解,且解是唯一的.定理1如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，定理2則它的系數(shù)行列式必為零，即：三、重要定理如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式24四、齊次線性方程組的相關定理1.齊次線性方程組的零解與非零解注：齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解。四、齊次線性方程組的相關定理1.齊次線性方程組的零25定理：

如果齊次線性方程組（2）有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零,即：

如果齊次線性方程組（2）的系數(shù)行列式定理：則齊次線性方程組（2）沒有非零解。2.重要性質定理：如果齊次線性方程組（2）有非零解,則它的系數(shù)行列式必26例2問取何值時，齊次線性方程組有非零解？例2問取何值時，齊次線性方程組有非零解？27解：齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.或解：齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.或28

1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.小結3.克拉默法則及其重要性質1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列29思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和：思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和：30思考題解答解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成思考題解答解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成31在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，叫做元素的代數(shù)余子式．如，一、余子式與代數(shù)余子式定義：記作：行列式的每一個元素都對應一個余子式和代數(shù)余子式在階行列式中，把元素所在的第行和32引理：一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．如，二、行列式按行（列）展開法則引理：一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都33證：10當位于第一行第一列時,即有：20

再證一般情形,此時又證：10當位于第一行第一列時,即有：34得得35得得36證：或定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即：證：或定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的37同濟線性代數(shù)第一講課件38證：推論：

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即：證：推論：行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元39同理相同同理相同40代數(shù)余子式的重要性質注：代數(shù)余子式的重要性質注：41例1計算例1計算42例2

計算n

階行列式例2計算n階行列式43證：用數(shù)學歸納法例3證明范德蒙德(Vandermonde)行列式證：用數(shù)學歸納法例3證明范德蒙德(Vandermonde)44同濟線性代數(shù)第一講課件45

n-1階范德蒙德行列式注：此結論可直接使用。數(shù)學歸納法n-1階范德蒙德行列式注：此結論可直接使用。數(shù)學歸納法46如，如，47§7克拉默法則§7克拉默法則48設方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.一、線性方程組線性設方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組;此49二、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即二、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即50其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方51例1

用克拉默法則解方程組解:例1用克拉默法則解方程組解:52同濟線性代數(shù)第一講課件53同濟線性代數(shù)第一講課件54三、重要定理如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式則(1)一定有解,且解是唯一的.定理1如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，定理2則它的系數(shù)行列式必為零，即：三、重要定理如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式55四、齊次線性方程組的相關定理1.齊次線性方程組的零解與非零解注：齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解。四、齊次線性方程組的相關定理1.齊次線性方程組的零56定理：

如果齊次線性方程組（2）有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零,即：

如果齊次線性方程組（2）的系數(shù)行列式定理：則齊次線性方程組（2）沒有非零解。2.重要性質定理：如果齊次線性方程組（2）有非零解,則它的系數(shù)行列式必57例2問取何值時，齊次線性方程組有非零解？例2問取何值時，齊次線性方程組有非零解？58解：齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.或解：齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.或59

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