理論力學(xué)之摩擦

第6章摩擦§6-1靜摩擦和滑動(dòng)摩擦§6-2摩擦角和自鎖現(xiàn)象§6-3考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題§6-4滾動(dòng)摩阻的概念

§6-1靜摩擦和滑動(dòng)摩擦一、摩擦(Friction)的概念

摩擦產(chǎn)生于有相對運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢的受力物體上，摩擦的作用是阻礙兩物體接觸處的相對運(yùn)動(dòng)，摩擦力作用于兩物體接觸處，方向與兩物體接觸處相對滑動(dòng)趨勢方向相反。干摩擦(DryFriction)——固體對固體的摩擦；流體摩擦(FluidFriction)——流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力。靜摩擦(StaticFriction)：靜滑動(dòng)摩擦，靜滾動(dòng)摩擦動(dòng)摩擦(DynamicFriction)： 動(dòng)滑動(dòng)摩擦，動(dòng)滾動(dòng)摩擦FPWFFNFFPO45°FmaxFd滑動(dòng)狀態(tài)靜止?fàn)顟B(tài)臨界狀態(tài)靜摩擦力滑動(dòng)摩擦力最大靜摩擦力庫侖定律F<FmaxF＝Fd

=fd

FNF＝Fmax=fs

FN根據(jù)力系平衡確定F二、滑動(dòng)摩擦力（ForceofSlidingFriction）一、摩擦角(AngleofFriction)FsFNFRa全約束力FR與法向約束力FN作用線之間的夾角用a

表示。FR=FN+FS摩擦力與法向反力的合力FR稱為全約束力FsFN全約束力與接觸面法線間夾角的最大值稱為摩擦角，用

f表示。

§6-2靜摩角和自鎖現(xiàn)象FNFmaxFRf

開始運(yùn)動(dòng)前,a角隨FP的改變而改變，臨近運(yùn)動(dòng)時(shí)達(dá)到最大值f，則物體靜止時(shí)必有

0

a

ftanf==fsFmaxFN=fs

FNFN靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)(StaticFrictionFactor)FN的作用點(diǎn)隨FS的增大而右移？法線測定摩擦系數(shù)的簡易方法n關(guān)于摩擦角的兩點(diǎn)結(jié)論：

摩擦角是靜摩擦力取值范圍的幾何表示。

三維受力狀態(tài)下，摩擦角變?yōu)槟Σ铃F。2jFQFQ四、自鎖現(xiàn)象

(Self-lock)

主動(dòng)力作用線與法線之間的夾角等于摩擦角時(shí)物體處于臨界狀態(tài)。ja=jfa

主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍以外時(shí)，不論主動(dòng)力多小，物體都將發(fā)生運(yùn)動(dòng)。ja>jfj自鎖條件ajfa

主動(dòng)力作用線位于摩擦角范圍內(nèi)時(shí)，不論主動(dòng)力有多大，物體都保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。用平衡方程推導(dǎo)自鎖的條件斜面自鎖自鎖條件ajn斜面摩擦自鎖的應(yīng)用螺距自鎖條件：螺旋F

Fmax

,物體處于一般靜止?fàn)顟B(tài)，已知主動(dòng)力求約束力，與一般平衡問題無異。物體處于臨界狀態(tài)或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，除應(yīng)用平衡方程外，還應(yīng)根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)列出補(bǔ)充方程——庫侖方程?！?-3考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題（EquilibriumofBodieswithFriction）例1

已知：a

、f、塊重W。求：平衡時(shí)P力的范圍。補(bǔ)充條件：FfN∴解：解析法1.分析滑塊受力，P較小時(shí)，物塊有下滑趨勢，摩擦力向上。平衡條件:xyPaWPaWFNFx

=0

F+Pcosa

－

Wsina

=0Fy

=0

N－Psina

－

Wcosa

=02.P較大時(shí)，物塊有上滑趨勢，摩擦力向下3.結(jié)論與1的過程相同,可解得xyPaWFN不管P力多大，都不能破壞系統(tǒng)平衡，亦即發(fā)生

摩擦自鎖即使沒有水平力P的作用，在W作用下滑塊也不會(huì)下滑，發(fā)生摩擦自鎖4.討論時(shí)的力學(xué)意義aPmaxW圖解法（利用摩擦角的概念）1.

求Pmin

2.

求PmaxaPminWPaWFRa+jf法線Pmin

=Wtan(a-jf)a法線Pmax

=Wtan(a+jf)Wtan(a-jf)

P

Wtan(a+jf)3.

結(jié)論FNFNFRjf例2

尖劈起重裝置如圖所示。尖劈的頂角為a，在塊B上受力P1的作用。塊A和塊B之間的靜摩擦系數(shù)為fs（有滾珠處摩擦力忽略不計(jì)）。不計(jì)A，B塊的重量，試求能保持兩者平衡的力P的范圍。解法與例1相同先確定P的最大值此時(shí)A有左移趨勢再確定力P的最小值此時(shí)A有右移趨勢例3：已知凸輪機(jī)構(gòu)推桿與滑道間的摩擦系數(shù)為fs，滑道寬度為b。設(shè)凸輪與推桿接觸處的摩擦忽略不計(jì)。問a為多大，推桿才不致被卡住。解法一：解析法（分析推桿）解法二：圖解法推桿平衡時(shí)，全反力與法線間的夾角a必滿足條件：推桿不被卡住或例4

已知：抽屜尺寸a,b,抽屜與兩壁間的摩擦因數(shù)fs

,不計(jì)抽屜底部摩擦。求：抽拉抽屜不被卡住之e值。解：取抽屜設(shè)抽屜剛好被卡住又聯(lián)立解得則抽屜不被卡住，已知：物塊重P,鼓輪重心位于處，閘桿重量不計(jì)，各尺寸如圖所示：求：制動(dòng)鼓輪所需鉛直力F。例5解：分別以鼓輪和閘桿為研究對象，畫受力圖。設(shè)鼓輪被制動(dòng)處于平衡狀態(tài)對鼓輪對閘桿補(bǔ)充方程且解得列方程，求解各構(gòu)件自重不計(jì)；求：作用于鼓輪上的制動(dòng)力矩。例6已知：解：分析步驟桿O1ABA，O1桿EDCD，E桿O1DFN1輪OMf桿O2KFN2θ

求：（2）能保持木箱平衡的最大拉力。（1）當(dāng)D處為拉力時(shí)，木箱是否平衡?例7已知：均質(zhì)木箱重解：（1）取木箱，設(shè)其處于平衡狀態(tài)。解得而因所以木箱不會(huì)滑動(dòng)；又木箱無翻倒趨勢。結(jié)論：木箱平衡（2）設(shè)木箱將要滑動(dòng)時(shí)拉力為又解得設(shè)木箱有翻倒趨勢時(shí)拉力為解得所以，能保持木箱平衡的最大拉力為*對此題，先解答完（2），自然有（1）。因?yàn)镕1>F2轉(zhuǎn)動(dòng)中心為A例8P=100N的均質(zhì)滾輪夾在無重桿AB和水平面之間，在桿端B作用一垂直于AB的力FB，其大小FB=50N。A為光滑鉸鏈，輪與桿間的靜摩擦系數(shù)為fsC

=0.4。輪半徑為r，桿長為l，當(dāng)α=600時(shí)，AC=BC=l/2。當(dāng)D處靜摩擦系數(shù)fsD分別為0.3和0.15時(shí)，求維持系統(tǒng)平衡需作用于輪心的最小水平推力。取AB為研究對象取輪為研究對象解:即所以假設(shè)C處的靜摩擦力先達(dá)到最大值fsC

=0.4應(yīng)D處先到達(dá)臨界平衡狀態(tài)<FD=40N解決多點(diǎn)摩擦問題的關(guān)鍵是判斷哪一點(diǎn)摩擦力首先達(dá)到最大值.問題：假設(shè)墻壁光滑，若使梯子不滑動(dòng)，地面與梯子間的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)fs

至少為多大(不計(jì)梯子自重,人重為W).ABBAn解：研究梯子，畫受力圖討論問題：長軸為a

，短軸為b

，重為W的均質(zhì)橢圓，一端鉛垂吊起，另一端放在傾角為的固定斜面上，圓盤長軸與水平線的夾角為，若圓盤處于平衡，圓盤與斜面的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)最小為多大？不滑動(dòng)的條件不平衡力系

剛性約束模型的局限性根據(jù)剛性約束模型，得到不平衡力系，即不管力FT多么小,都會(huì)發(fā)生滾動(dòng)，這顯然是不正確的。FTFPFFN§6-4

滾動(dòng)摩阻的概念滾動(dòng)，分布力系分布力系合成變形,未滾動(dòng)向A點(diǎn)簡化,滾動(dòng)阻力偶Mf

。滾動(dòng)摩阻(RollingResistance)的形成滾動(dòng)摩阻（擦）系數(shù)，長度量綱的物理意義M

fmax＝FN滾動(dòng)摩阻力偶矩的取值范圍0M

fM

fmax其中滾動(dòng)摩阻定律:滾動(dòng)摩阻力偶矩的最大值與正壓力成正比求解滾動(dòng)摩阻問題時(shí)需加補(bǔ)充方程M

fFN為什么滾動(dòng)比滑動(dòng)省力？滑動(dòng)摩擦力是阻力滑動(dòng)摩擦力是驅(qū)動(dòng)力思考:以直徑450mm的充氣輪胎為例,令=3.15mm,fs=0.7,FT1與FT2的比值。例1

半徑為R的滑輪上作用有力偶，輪上繞有細(xì)繩拉住半徑為R，重量為P的圓柱，斜面傾角為α，圓柱與斜面間的滾動(dòng)摩阻系數(shù)為δ。求保持圓柱平衡時(shí)，力偶矩MB的最大與最小值；并求能使圓柱勻速滾動(dòng)而不滑動(dòng)時(shí)靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)的最小值。解：拉力最小時(shí)，圓柱有向下滾動(dòng)的趨勢；拉力最大時(shí)，圓柱有向上滾動(dòng)的趨勢。（1）求Fmin（2）求Fmax（3）取滑輪為研究對象解（4）求圓柱只滾不滑時(shí)靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)的最小值取圓柱為研究對象，當(dāng)它有上滾趨勢時(shí)滿足只滾不滑的力學(xué)條件例2

重量P=19.62kN的重物放在半徑r=50mm的滾輪上，滾輪重量不計(jì)，滾輪與其上下接觸面間的滾動(dòng)摩擦系數(shù)δ=0.5mm。求即將拉動(dòng)重物時(shí)所需的水平力F的大小。解：取滾輪A、B為研究對象，處于臨界狀態(tài)時(shí)若將重物直接放在軌道上拖拉設(shè)靜摩擦系數(shù)fs=0.15再取整體為研究對象滾動(dòng)比滑動(dòng)省力F2F1NF2NF1M1M2求：拉動(dòng)拖車最小牽引力（平行于斜坡）。拖車總重P

，車輪半徑，其它尺寸如圖；例3已知：解：1）取整體，分析受力2）列方程，求解（1）（2）（3）七個(gè)未知數(shù)。（4）（5）能否用，作為補(bǔ)充方程?取前、后輪七個(gè)方程聯(lián)立解得（6）（7），意味什么？意味什么？若，若，則則，若拖車總重，車輪半徑在水平路上行駛（），牽引力為總重的1％。問題

分析可能的工作狀態(tài)

每一種工作狀態(tài)下都會(huì)遇到什么問題

設(shè)定已知參數(shù)和欲求的未知量求解

結(jié)論與討論討論小結(jié)摩擦力是在受力物體有運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢時(shí)才產(chǎn)生的,所以摩擦力的作用與約束力的作用相似,阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，但在不同的狀態(tài)下計(jì)算方法各異。解帶有滑動(dòng)摩擦的平衡問題時(shí),除應(yīng)用平衡方程外，還必須應(yīng)用關(guān)于摩擦的物理方程，即庫侖定律Fmax

=fsFN對于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未知的情形,求約束力,與一般平衡

問題一樣,摩擦力作為約束力,其方向可以假設(shè)。對于F=Fmax的情形，要求確定平衡或不平衡條件，這時(shí)必須根據(jù)滑動(dòng)趨勢正確確定滑動(dòng)摩擦力的方向，而不能任意假設(shè)。對于滑動(dòng)狀態(tài),