三角函數(shù)題型及解法

高中數(shù)學(xué)常見函數(shù)題型及解法近幾年高考已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點(diǎn)轉(zhuǎn)移對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查上來.在考查三角公式進(jìn)行恒等變形的同時，也直接考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，降低了對三角函數(shù)恒等變形的要求，加強(qiáng)了對三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的考查力度.三角函數(shù)的命題趨于穩(wěn)定,會保持原有的考試風(fēng)格，盡管命題的背景上有所變化，但仍屬基礎(chǔ)題、中檔題、常規(guī)題.實施新課標(biāo)后，新一輪基礎(chǔ)教育的改革增添了與現(xiàn)代生活和科學(xué)技術(shù)發(fā)展相適應(yīng)的許多全新的內(nèi)容，它們會吸引命題者關(guān)注的目光.三角函數(shù)試題可以歸納為以下幾種典型題型。1、三角函數(shù)的概念及同角關(guān)系式此類題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的符號規(guī)律.解此類題注意必要的分類討論以及三角函數(shù)值符號的正確選取.例1（10全I(xiàn)卷理2）記cos（—80°）=k，那么tanlOO°=1-k21—k2kkA.B.-C.D.-_kkdl—k2Jl—k2解：0sin80o=J1—cos280。=J1—cos2（—80。）=J1—k2,tan100°=—tan80。=—sin80。cos80oJl-k2

ktan100°=—tan80。=—sin80。cos80oJl-k2

k故選B評注：本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.同時熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號.3113例2（10全1卷文1）cos300=（A）—（B）-（C）（D）~2~解：cos300°=cos（360°—60°）=cos60°=—2評注：本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識2、三角函數(shù)的化簡求值這類題主要考查三角函數(shù)的變換.解此類題應(yīng)根據(jù)考題的特點(diǎn)靈活地正用、逆用，變形運(yùn)用和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式，進(jìn)行化簡、求值.例3（10重文數(shù)15）如題（15）圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點(diǎn)p（點(diǎn)P不在C上）且半徑相等?設(shè)第i段弧所對的圓心角為ai（=1，2,3），則a

costcos3a+a33解:,+a+a=2兀，123a+a+a...CoST23評注：本題以過同一點(diǎn)的三段圓弧為背景，考查了三角恒等變形中公式逆用的基本技巧，將已知與求解合理轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到有效地求解目的.例4（10全1理數(shù)14）已知a為第三象限的角，cos2a=—3，則tan（扌+2a）=一3解：0a為第三象限的角???2k兀+?！碼<2刼+-兀厶4k—+2—<2a<4k—+3—(KeZ)TOC\o"1-5"\h\z34-sin2a4又0cos2a=—一〈°.?.sm2a=—tan2a==-—5'5'cos2a3—4丁tan—+tan2a1-—..tan(—+2a)=4=_4=-14兀47'1-tan一tan2a1+—43評注：本題主要考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系和二倍角公式的靈活運(yùn)用。是一道綜合性較強(qiáng)的題目。3、y=Asingx+屮）的圖象和性質(zhì)圖像變換是三角函數(shù)的考察的重要內(nèi)容，?解決此類問題的關(guān)鍵是理解A,①，屮的意義，特別是①的判定，以及伸縮變換對屮的影響。例5（10全2理數(shù)7）為了得到函數(shù)y二sin（2x—壬）的圖像，只需把函數(shù)y的圖像36——向左平移-個長度單位（B）向右平移4個長度單位C）——向左平移-個長度單位（D）向右平移亍個長度單位C）解：0y=sin（2x+—）=sin2（x+），解：612y=sin（2x-—）==sin2（x一）36.?.將y=sin（2x+—）的圖像向右平移—個長度單位得到y(tǒng)=sin（2x-—）的圖像，故選B.TOC\o"1-5"\h\z643評注：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換中的平移變換、伸縮變換，特別是函數(shù)y=Asin（3x+申）中的3對函數(shù)圖象變化的影響是歷年考生的易錯點(diǎn)，也是高考的重點(diǎn)。\o"CurrentDocument"兀4兀例6（10遼理數(shù)5）設(shè)①＞0,函數(shù)y=sin（①x+y）+2的圖像向右平移丁個單位后與原圖像重合，則①的最小值是243（A）3（B）3（C）2（D）3\o"CurrentDocument"兀4兀解：?將y=sin（①x+3）+2的圖像向右平移丁個單位后為y=sin[?（x-色）+—]+2=sin（①x+—-）+233334w—3k3k3一3~=2k—，即3=—又°，k21故3=—2，所以選C評注：本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換與三角函數(shù)的周期性，考查了同學(xué)們對三角函數(shù)圖像知識靈活掌握的程度4、三角形中的三角函數(shù)此類題主要考查在三角形中三角函數(shù)的利用.解三角形的關(guān)鍵是在轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，正確、靈活地運(yùn)用正弦、余弦定理、三角形的面積公式及三角形內(nèi)角和等公式定理.例7（10津理數(shù)7）在厶ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=\3bc，sinC二2、：'3sinB，則A=A)300(B)600(C)1200(D)1500解：由正弦定理得2R=^2R~二c二2丁免2R2R所以cosA=b2+c2所以cosA=b2+c2-a22bcr'3bc+c22bc—爲(wèi)be+2?c<3—，所以A=3002bc評注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫呥\(yùn)算。通過恰當(dāng)?shù)厥褂谜?、余弦定理將有關(guān)的邊角確定，從而解決問題。batanCtanC.例8（10蘇卷13）、在銳角三角形ABC,A、B、C的對邊分別為a.b.c,+-=6cosC，則+——-abtanAtanB解：ab=6cosC解：ab=6cosCn6abcosC=a2+b21a2+b2一c2abc2c2==4abc2T評注：三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中頻繁出現(xiàn).這類題型難度比較低估計以后這類題型仍會保留，不會有太大改變.解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?5、三角應(yīng)用題此類題主要考查三角函數(shù)實際應(yīng)用.解決三角應(yīng)用題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，正確理解題意，運(yùn)用所學(xué)知識建立適當(dāng)?shù)娜悄Ｐ?，?zhǔn)確無誤的計算等。該八邊形的面積為J頂角為a的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成例9該八邊形的面積為J頂角為a的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成例9（10京文7）某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1（C）3sina—\；3cosa+1（D）2sina—cosa+1（A）2sina—2cosa+2；（b）sina—\：'3cosa+3解：?四個等腰三角形面積之和4x2x1x1xsina=2Sina:.由余弦定理可得正方形的邊長為辺2+12—2x1x1x2cosa=v'2—2cosa,???正方形的面積為2—2cosa，.:所求八邊形的面積為2sina—2cosa+2評注：本題主要考查解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想．例10（10福理19.）某港口0要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口0北偏西30。且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。（I）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（II）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r間與輪船相遇，并說明理由。解：（I）?要使小艇航行距離最短，理想化的航行路線為OT

???小艇到達(dá)T位置時輪船的航行位移s0二AT,即30t=10,t=*,■—10^3<—l?vt=10玄3,?v=-=30^3(海里/時)答：小艇航行速度應(yīng)為30、.；3海里/小時。t(II)分類討論得：若輪船與小艇在A、T之間G位置相遇則有OG<AG,又因為AG<OG，所以不符合要求舍去。所以輪船與小艇的交點(diǎn)必在T、B之間。若輪船與小艇在H處相遇則在直角三角形OHT中運(yùn)用勾股定理有：(900-v2)-2-600-+400二0,設(shè)1=x貝I」：v=”900+4-00-學(xué)=1^.4X2-6X+9I1399I1327從而v=104(X2--X+-)--+9=10：4(X--)2+--<30(/<3)21644432所以當(dāng)v=30時，X=-，即-=-。答：當(dāng)小艇以30海里每小時的速度，沿北偏東30o方向行走能以最短的時間遇到輪船。評注:本題從三角函數(shù)出發(fā)，考查了學(xué)生運(yùn)用知識解決實際問題的能力、求解一元二次方程最值問題的能力以及綜合分析問題的能力。對待應(yīng)用題沒有什么通解通法，只要認(rèn)真讀題、審題，通過列表、作圖等方式合理分析已知量間的關(guān)系，總是能夠輕松解題。6、三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用。此類問題主要考查三角函數(shù)最值和與三角函數(shù)有關(guān)學(xué)科內(nèi)綜合問題，如與平面向量、不等式、數(shù)列、解析幾何等相結(jié)合。多為解答題。而三角形中三角函數(shù)最值問題仍將是高考的熱點(diǎn)。，例11.(10湖南文數(shù)16.)已知函數(shù)f(x)=sin2x-2sin2x(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期。(II)求函數(shù)f(x)的最大值及f(x)取最大值時x的集合。解:1)?f(x)=sin2x-(1-cos2x)=.2(2x+[)=J2sin(2x+冷)-1?-函數(shù)f(x)最小正周期為T=■—=兀兀兀兀I—2)當(dāng)2x+=2k兀+即x=加+~(k丘Z),f(x)取最大值2-1428兀因此函數(shù)f(x)取最大值時x的集合為{x/x=kn+-(kez)}8評注:本小題依托三角函數(shù)化簡，考查函數(shù)值域，作為基本的知識交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換.例12(10山東理17)1兀兀1已知函數(shù)f(x)=sin2xsin?+cos2xcos?-怎sin(〒+?)(0<?<兀)，其圖像過點(diǎn)0,)。2262（I）求0的值；（II）將函數(shù)y=f（x）的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的2，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)兀y=g（x）的圖像，求函數(shù)g（x）在［0,-］上的最大值和最小值。TOC\o"1-5"\h\z1兀解：（I）?因為f（x）=sin2xsin申+cos2xcos申一一sin（+申）（0＜申＜兀）22又函數(shù)圖像過點(diǎn)（三，）6211兀、/兀、-—cos（2x—申）即cos（一申）=12263八兀又0＜申＜兀.申=—1兀1（II）由