小學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

第50頁(yè)共50頁(yè)小學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題01歸一問(wèn)題【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)02解題思路和方法先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例1：3頭牛4天吃了24千克的草料，照這樣計(jì)算5頭牛6天吃草_____千克。解:1.根據(jù)題意先算出1頭牛1天吃草料的質(zhì)量：24÷3÷4=2(千克)。2.那么5頭牛一天吃2×5=10(千克)的草料。3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。例2：5名同學(xué)8分鐘制作了240張正方形紙片。如果每人每分鐘制作的數(shù)量相同，并且又來(lái)了2位同學(xué)，那么再過(guò)15分鐘他們又能做_____張正方形紙片？解：1.可以先算出5名同學(xué)1分鐘能制作正方形紙片的數(shù)量，240÷8=30(張)。2.再算出1名同學(xué)1分鐘制作的數(shù)量，30÷5=6(張)。3.現(xiàn)在有5+2=7(名)同學(xué)，每人每分鐘做6張，要做15分鐘，那么他們能做7×6×15=630(張)正方形紙片。例3：某車間用4臺(tái)車床5小時(shí)生產(chǎn)零件600個(gè)，照這樣計(jì)算，增加3臺(tái)同樣的車床后，如果要生產(chǎn)6300個(gè)零件，需要_____小時(shí)完成？解：1.4臺(tái)車床5小時(shí)生產(chǎn)零件600個(gè)，則每臺(tái)車床每小時(shí)生產(chǎn)零件600÷4÷5=30（個(gè)）。2.增加3臺(tái)同樣的車床，也就是4+3=7（臺(tái)）車床，7臺(tái)車床每小時(shí)生產(chǎn)零件7×30=210（個(gè)）。3.如果生產(chǎn)6300個(gè)零件，需要6300÷210=30（小時(shí)）完成。02歸總問(wèn)題【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià).幾小時(shí)（幾天）的總工作量.幾公畝地上的總產(chǎn)量.幾小時(shí)走的總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】1份數(shù)量×份數(shù)＝總量總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量解題思路和方法先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1:王大伯家的干草夠8只牛吃一個(gè)星期的，照這樣計(jì)算，這些草夠4只牛吃（）天？解：1.可以算出這些草夠1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。例2小青家有個(gè)書架共5層，每層放36本書。現(xiàn)在要空出一層放碟片，把這層書平均放入其它4層中，每層比原來(lái)多放（）本書。解：方法一：1.根據(jù)題意可以算出書架上有5×36=180(本)書。2.現(xiàn)在還剩下5-1=4(層)書架。3.所以每層書架上有180÷4=45(本)書。比原來(lái)多45-36=9(本)書。方法二：也可以這樣考慮，就是要把其中一層的36本書平均分到其他4層，所以每層比原來(lái)多放36÷4=9（本）書。例3一個(gè)長(zhǎng)方形的水槽可容水480噸，水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管。單開進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開排水管6小時(shí)可以把滿水池排空，兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排空？解：1.要求兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度，進(jìn)水每小時(shí)480÷8=60（噸）；排水每小時(shí)480÷6=80（噸）。2.當(dāng)兩管齊開，排水速度大于進(jìn)水速度，即每小時(shí)排80-60=20（噸）。3.再根據(jù)總水量就可以求出排空滿池水所需的時(shí)間。480÷20=24（小時(shí)）。03和差問(wèn)題【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)＝(和－差)÷2解題思路和方法簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例1:兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重_____千克，第二筐水果重_____千克。解：因?yàn)榈谝豢鸨鹊诙鹬?.根據(jù)大大數(shù)＝(和＋差)÷2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。例2:登月行動(dòng)地面控制室的成員由兩組專家組成，兩組共有專家120名，原來(lái)第一組人太多，所以從第一組調(diào)了20人到第二組，這時(shí)第一組和第二組人數(shù)一樣多，那么原來(lái)第二組有（）名專家。解：1.原來(lái)從第一組調(diào)了20人到第二組，這時(shí)第一組和第二組人數(shù)一樣多，說(shuō)明原來(lái)第一組比第二組多20+20=40（人）2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關(guān)系，第二組人數(shù)應(yīng)該為(120-40)÷2=40（人）。例3:某工廠第一.二.三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人，三個(gè)車間各有多少人？解：1.第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人；那么第一車間就比第三車間多25人，因此第三車間的人數(shù)是（280-25-15）÷3=80（人）。據(jù)此可得出第一.二車間的人數(shù)。04和倍問(wèn)題【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】總和÷（幾倍＋１）＝較小的數(shù)總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)解題思路和方法簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例１：甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)共存糧２６４噸，甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)存糧的１０倍。甲倉(cāng)庫(kù)存糧噸，乙倉(cāng)庫(kù)存糧＿＿＿＿＿噸。解：１.根據(jù)“甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)存糧的１０倍”，把甲倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)看成“小數(shù)”。２.根據(jù)和倍公式總和－（幾倍＋１）＝較小的數(shù)，即可求乙倉(cāng)庫(kù)存糧２６４＝（１０＋１）＝２４（噸）。３.根據(jù)和倍公式較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)，即可求甲倉(cāng)庫(kù)存糧２４×１０＝２４０（噸）。例２：已知蘋果.梨.桃子的總質(zhì)量為４０千克，蘋果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍，求蘋果.梨.桃子的質(zhì)量。解：１.根據(jù)“蘋果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍”；把桃子看成１倍數(shù)，則蘋果是４倍數(shù)，梨是３倍數(shù)。２.根據(jù)“蘋果、梨、桃子的總質(zhì)量為４０千克”和和倍公式：總和＝（幾倍＋１）＝較小的數(shù)可求出桃子的質(zhì)量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）３.根據(jù)桃子質(zhì)量可以求出蘋果和梨的質(zhì)量。例３：歡歡、樂(lè)樂(lè)和多多一共帶了1４８元去公園。已知?dú)g歡帶的錢數(shù)比樂(lè)樂(lè)的２倍多１元，多多帶的錢數(shù)比歡歡多２倍，那么多多帶了（）元。解：１.在三個(gè)量的和倍問(wèn)題中，我們可以選擇其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，然后通過(guò)三個(gè)量之間的和倍關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可。需要注意，多２倍就是３倍。２.由題可知，三人里樂(lè)樂(lè)的錢數(shù)最少。我們可以把樂(lè)樂(lè)看成標(biāo)準(zhǔn)量，那么歡歡就是２份標(biāo)準(zhǔn)量再加１元。３.多多比歡歡多兩倍，就是２×３＝６份標(biāo)準(zhǔn)量再加１×３＝３（元）。４.那么他們?nèi)齻€(gè)合起來(lái)就是１＋２＋６＝９份標(biāo)準(zhǔn)量再加１＋３＝４（元）。５.所以標(biāo)準(zhǔn)量是（１４８－４）÷９＝１６（元），即樂(lè)樂(lè)帶了１６元。６.根據(jù)樂(lè)樂(lè)的錢數(shù)可以求出歡歡帶了１６×２＋１＝３３（元），所以多多帶了３３×３＝９９（元）。05差倍問(wèn)題【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少；這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)解題思路和方法簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1：莉莉的科技書比故事書多16本，科技書是故事書3倍，莉莉有科技書（）本。A.8B.12C.16D.24解：1.解決差倍問(wèn)題，可以畫線段圖解決，也可以直接套用公式解決。2.把故事書的本數(shù)看作1倍數(shù)，科技書的本數(shù)就是3倍數(shù)，科技書比故事書多16本，所以根據(jù)差倍公式兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出故事書有16÷2=8本。3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出科技書有8×3=24本。例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，則原來(lái)甲桶有油____千克，乙桶有油____千克。解：1.根據(jù)題意，從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，說(shuō)明原來(lái)甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。2.根據(jù)差倍公式兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。例3：每件成品需要5個(gè)甲零件，2個(gè)乙零件。開始時(shí)，甲零件的數(shù)量是乙零件數(shù)量的2倍，加工了30個(gè)成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多，那么還可以加工_____個(gè)成品。解：1.加工一個(gè)成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（個(gè)），加工30個(gè)成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（個(gè)）。根據(jù)“加工了30個(gè)成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多”說(shuō)明原來(lái)甲零件比乙零件多90個(gè)。2.把乙原來(lái)的零件數(shù)看成1倍，甲就是這樣的2倍，甲比乙多1倍，對(duì)應(yīng)90個(gè)，求出乙原來(lái)有90÷（2-1）=90（個(gè)）3.那么甲原來(lái)有90×2=180（個(gè)）零件。4.每件成品需要5個(gè)甲零件，2個(gè)乙零件，那么加工30個(gè)成品，甲零件用了5×30=150（個(gè)），乙零件用了2×30=60（個(gè)），所以甲零件還剩180-150=30（個(gè)），乙零件還剩90-60=30（個(gè)）。剩下的甲零件還能做30÷5=6（個(gè)）成品，剩下的乙零件還能做30÷2=15（個(gè)）成品。因?yàn)槊考善沸枰?乙兩種零件共同完成，所以剩下的零件數(shù)還可以加工6個(gè)成品。06和倍問(wèn)題【含義】已知兩個(gè)或多個(gè)人年齡關(guān)系，求各自年齡或年齡關(guān)系，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)＝(和－差)÷2總和÷(幾倍+1)＝較小的數(shù)總和-較小的數(shù)＝較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)解題思路和方法年齡問(wèn)題具有年齡同增同減，年齡差不變的特性。年齡問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為和差.和倍.差倍問(wèn)題。簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1：爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，當(dāng)爸爸42歲時(shí)，媽媽_____歲。解：1.本題考查的年齡差不變（簡(jiǎn)單），不管過(guò)了多少年年齡差是不變的。2.爸爸比媽媽大2歲，根據(jù)不管過(guò)了多少年年齡差是不變的，當(dāng)爸爸42歲時(shí)，媽媽是40歲。例2：姐姐今年15歲，妹妹今年12歲，當(dāng)她們的年齡和是39歲時(shí)，那時(shí)妹妹_____歲。解：方法一：1.利用年齡同增同減的思路。2.姐妹倆今年的年齡之和是：15+12=27（歲），年齡之和到達(dá)39歲時(shí)需要的年限是：（39-27）÷2=6（年）。3.那是妹妹的年齡是12+6=18（歲）。方法二：1.利用年齡差不變的思路。2.兩姐妹的年齡差為15-12=3（歲），再根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年齡為（39-3）÷2=18（歲）。例3：爸爸今年50歲，哥哥今年14歲，_____年前，爸爸的年齡是哥哥的5倍。解：1.不管過(guò)了多少年，年齡差是不變的，當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的5倍時(shí)，年齡差仍是50-14=36（歲）。2.問(wèn)什么時(shí)候爸爸的年齡是哥哥的5倍，實(shí)際上年齡差就是哥哥的5-1=4倍。3.根據(jù)兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出哥哥當(dāng)時(shí)的年齡是（50-14）÷4=9（歲）。4.再根據(jù)題意可求出14-9=5（年）前。例4：今年姐妹兩人的年齡和是50歲，曾經(jīng)有一年，姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，且那時(shí)姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍。那么姐姐今年_____歲。解：1.當(dāng)姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍時(shí)，我們?cè)O(shè)那時(shí)妹妹的年齡是1份，那么姐姐的年齡就是2份，那么姐姐與妹妹的年齡差就是1份。2.因?yàn)槟菚r(shí)姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，所有妹妹今年的年齡也是2份。因?yàn)槟挲g差不變，所以今年姐姐的年齡應(yīng)該是2+1=3份。3.今年姐妹兩人的年齡和是50歲，對(duì)應(yīng)2+3=5份，求出1份是50÷5=10（歲），那么姐姐今年是10×3=30（歲）。07相遇問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間解題思路和方法簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析^p可以讓解題事半功倍。例1：歡歡和樂(lè)樂(lè)在一條馬路的兩端相向而行，歡歡每分鐘行60米，樂(lè)樂(lè)每分鐘行80米，他們同時(shí)出發(fā)5分鐘后相遇。這條馬路長(zhǎng)（）。解：根據(jù)公式總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間，可以求出這條馬路長(zhǎng)（60＋80）×5=700（米）。例2：甲乙兩車分別以不變的速度從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。到達(dá)目的地后立即返回。已知第一次相遇地點(diǎn)距離A地50千米，第二次相遇地點(diǎn)距離B地60千米，AB兩地相距_____千米。解：1.本題考查的是二次相遇問(wèn)題，靈活的運(yùn)用畫線段圖的方法來(lái)分析^p是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。2.畫線段圖3.從圖中可以看出，第一次相遇時(shí)甲行了50千米。甲乙合行了一個(gè)全程的路程。從第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了兩個(gè)全程的路程。由于甲乙速度不變，合行兩個(gè)全程時(shí)，甲能50×2=100(千米)。4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，從圖中看甲所行路程剛好比AB兩地相距路程還多出60千米。所以AB兩地相距150-60=90(千米)。例3：歡歡和樂(lè)樂(lè)在相距80米的直跑道上來(lái)回跑步，樂(lè)樂(lè)的速度是每秒3米，歡歡的速度是每秒2米。如果他們同時(shí)分別從跑道兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘時(shí)，在這段時(shí)間里共相遇過(guò)_____次。解：1.根據(jù)題意，第一次相遇時(shí)，兩人共走了一個(gè)全程，但是從第二次開始每相遇一次需要的時(shí)間都是第一次相遇時(shí)間的兩倍。（線段圖參考例2。）2.根據(jù)“相遇時(shí)間=總路程÷速度和”得到，歡歡和樂(lè)樂(lè)首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。3.因?yàn)閺牡谝淮蜗嘤鼋Y(jié)束到第二次相遇，歡歡和樂(lè)樂(lè)要走兩個(gè)全程，所以從第二次開始每相遇一次需要的時(shí)間是16秒的2倍，也就是32秒，則經(jīng)過(guò)第一次相遇后，剩下的時(shí)間是600-16=584（秒），還要相遇584÷32=18.25（次），所以在這段時(shí)間里共相遇過(guò)18+1=19（次）。追及問(wèn)題（含解析）01追及問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】★追及時(shí)間＝追及路程÷（快速－慢速）★追及路程＝（快速－慢速）×追及時(shí)間02解題思路和方法簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析^p可以讓解題事半功倍。例1：某警官發(fā)現(xiàn)前方100米處有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。警官趕緊以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上這個(gè)匪徒。解：1.從警官追開始到追上匪徒，這就是一個(gè)追及過(guò)程。根據(jù)公式：路程差÷速度差=追及時(shí)間。2.路程差為100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差為1米/秒。所以追及的時(shí)間為100÷1=100（秒）。例2：甲乙二人同時(shí)從400米的環(huán)形跑道的起跑線出發(fā)，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出發(fā)。那么甲乙二人出發(fā)后（）秒第一次相遇？解：1.由題可知，甲乙同時(shí)出發(fā)后，乙領(lǐng)先，甲落后，那么兩人第一次相遇時(shí)，乙從后方追上甲。所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道長(zhǎng)度，即追及路程為400米。2.由追及時(shí)間=總路程÷速度差可得：經(jīng)過(guò)400÷（8-6）=200（秒）兩人第一次相遇。例3：小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時(shí).48千米/時(shí)和42千米/時(shí)，小轎車和大客車從甲地.面包車從乙地同時(shí)相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。那么甲.乙兩地相距多遠(yuǎn)？解：1.根據(jù)題意，將較復(fù)雜的綜合問(wèn)題分解為若干個(gè)單一問(wèn)題。首先是小轎車和面包車的相遇問(wèn)題；其次是面包車和大客車的相遇問(wèn)題；然后是小轎車與大客車的追及問(wèn)題。最后通過(guò)大客車與面包車共行甲.乙兩地的一個(gè)單程，由相遇問(wèn)題可求出甲.乙兩地距離。2.畫線段圖，圖上半部分是小轎車和面包車相遇時(shí)三車所走的路程。圖下半部分是第一次相遇30分鐘之后三車所走的路程。3.由圖可知，當(dāng)面包車與大客車相遇時(shí)，大客車與小轎車的路程差為小轎車與大客車30分鐘所走的路程。有小轎車與大客車的速度差，有距離，所以可以求出車輛行駛的時(shí)間。（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小時(shí)）。4.由于大客車與面包車相遇，共行一個(gè)行程，所以AB兩地路程為（42+48）×3=270（千米）。01植樹問(wèn)題【含義】按相等的距離植樹，在距離.棵距.棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】線形植樹：一端植樹：棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距兩端植樹：棵數(shù)＝間隔數(shù)+1=距離÷棵距＋1兩端都不植樹：棵數(shù)＝間隔數(shù)-1=距離÷棵距-1環(huán)形植樹：棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距正多邊形植樹：一周總棵數(shù)=每邊棵數(shù)×邊數(shù)-邊數(shù)每邊棵樹=一周總棵數(shù)÷邊數(shù)+1面積植樹：棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）02解題思路和方法先弄清楚植樹問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。例1：植樹節(jié)到了，少先隊(duì)員要在相距72米的兩幢樓房之間種8棵楊樹。如果兩頭都不栽，平均每?jī)煽脴渲g的距離應(yīng)是多少米？解：1.本題考察的是植樹問(wèn)題中的兩端都不栽的情況，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要理解棵數(shù)比間隔數(shù)少1。2.因?yàn)榭脭?shù)比間隔數(shù)少1，所以共有8+1=9個(gè)間隔，每個(gè)間隔距離是72÷9=8米。3.所以每?jī)煽脴渲g的距離是8米。例2：佳一小學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，在操場(chǎng)周圍插上彩旗。已知操場(chǎng)的周長(zhǎng)是500米，每隔5米插一根紅旗，每?jī)擅婕t旗之間插一面黃旗，那么一共插紅旗多少面，一共插黃旗多少面。解：1.本題考查的是植樹問(wèn)題中封閉圖形間隔問(wèn)題。本題中只要抓住棵數(shù)＝間隔數(shù)，就能求出插了多少面紅旗和黃旗。2.棵數(shù)＝間隔數(shù)，一共插紅旗500÷5＝100（面），這一百面紅旗中一共有100個(gè)間隔，所以一共插黃旗100面。例3：多多從一樓爬樓梯到三樓需要6分鐘，照這樣計(jì)算，從三樓爬到十樓需要多少分鐘？解：1.本題考查的是植樹問(wèn)題中鋸木頭.爬樓梯問(wèn)題的情況。需要理解爬的樓層.鋸的次數(shù)與層數(shù).段數(shù)之間的關(guān)系。所在樓層=爬的層數(shù)+1；木頭段數(shù)=鋸的次數(shù)+1。2.從一樓爬樓梯到三樓，需要爬2層，需要6分鐘，所以每層需要6÷2=3（分鐘）。因此從三樓爬到十樓，需要（10-3）×3=21（鐘）。例4：時(shí)鐘敲3下要2秒鐘，敲6下要多少秒？解：1.本題考查的是植樹問(wèn)題中敲鐘聲問(wèn)題，與鋸木頭爬樓問(wèn)題類似。本題中只要抓住敲的次數(shù)＝間隔數(shù)+1。2.時(shí)鐘敲3下，中間有2個(gè)間隔，2個(gè)間隔需要2秒鐘，那么1個(gè)間隔需要1秒鐘。時(shí)鐘敲6下，中間有5個(gè)間隔，需要5秒。01行船問(wèn)題【含義】行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度；也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。【數(shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝船速（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝水速順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟?02解題思路和方法簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析^p可以讓解題事半功倍。例1：某船在同一條河中順?biāo)偈敲啃r(shí)20千米，逆水船速是每小時(shí)10千米，這條河的水流速度是每小時(shí)_____千米？解：順?biāo)?船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，順?biāo)俦饶嫠俣?個(gè)水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/時(shí))。例2：某條大河水流速度是每小時(shí)5千米，一艘靜水船速是每小時(shí)20千米的貨輪逆水航行5小時(shí)能到達(dá)目的地，這艘貨輪原路返回到出發(fā)地需要多少小時(shí)？解：1.逆水速度=靜水船速-水流速度，所以貨輪逆水速度是20-5=15(千米/時(shí))，行駛5小時(shí)共行了15×5=75(千米)。2.原路返回時(shí)是順?biāo)叫?，順?biāo)俣仁庆o水船速+水速，即20+5=25(千米/時(shí))，所以返回用時(shí)75÷25=3(小時(shí))。例3：小船在兩個(gè)碼頭間航行，順?biāo)?小時(shí)，逆水需5小時(shí)，若一只木筏順?biāo)^(guò)這段距離需_____小時(shí)？解：1.我們可以假設(shè)一個(gè)路程。假設(shè)兩個(gè)碼頭之間的距離是200千米，順?biāo)?小時(shí)，則順?biāo)乃俣仁敲啃r(shí)200÷4=50（千米），逆水需5小時(shí)，則逆水的速度是每小時(shí)200÷5=40（千米）。2.根據(jù)“水速=（順?biāo)旭偹俣?逆水行駛速度）÷2”得到，水流速度是每小時(shí)（50-40）÷2=5（千米）。3.一只木筏順?biāo)^(guò)的速度就是水流速度，所以木筏順?biāo)^(guò)這段距離需要200÷5=40（小時(shí)）。01列車問(wèn)題【含義】與列車行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度?！緮?shù)量關(guān)系】★火車過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間＝（車長(zhǎng)＋橋長(zhǎng)）÷車速★火車追及：追及時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）÷（甲車速－乙車速）★火車相遇：相遇時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）÷（甲車速＋乙車速）02解題思路和方法簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析^p可以讓解題事半功倍。例1：一列火車全長(zhǎng)126米，全車通過(guò)611米的隧道需要67秒，火車的速度是多少米/秒？解：1.本題考查的是火車過(guò)橋的問(wèn)題。解決本題的關(guān)鍵是知道火車完全經(jīng)過(guò)隧道所走的路程是一個(gè)車身長(zhǎng)＋隧道長(zhǎng)，進(jìn)而求出車速。2.因此火車的速度為：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。例2：在兩行軌道上有兩列火車相對(duì)開來(lái)，一列火車長(zhǎng)208米，每秒行18米，另一列火車每秒行19米，兩列火車從相遇到完全錯(cuò)開用了12秒鐘，那么另一列火車長(zhǎng)多少米？解：兩列火車從相遇到完全錯(cuò)開，所行路程之和剛好是它們的車身長(zhǎng)度之和。根據(jù)“路程和=速度和×?xí)r間”可得，另一列火車長(zhǎng)=（18+19）×12-208=236（米）。例3：一列火車通過(guò)一座長(zhǎng)90米的橋需要24秒，如果火車的速度加快1倍，它通過(guò)長(zhǎng)為222米的隧道只用了18秒。原來(lái)火車每秒行多少米？解：1.根據(jù)“火車的速度加快1倍，它通過(guò)長(zhǎng)為222米的隧道只用了18秒”可知，如果火車用原來(lái)的速度通過(guò)222米的隧道，則要用18×2=36（秒）。2.隧道比大橋長(zhǎng)222-90=132（米），火車要多用36-24=12（秒）行駛這一段路程，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，可以求出原來(lái)火車每秒行132÷12=11（米）。01時(shí)鐘問(wèn)題【含義】就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合.兩針垂直.兩針成一線.兩針夾角為60度等，這類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。通常按追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算。02解題思路和方法將兩針重合，兩針垂直，兩針成一線，兩針夾角60°等為“追及問(wèn)題”后可以直接利用公式。例1：鐘面上從時(shí)針指向8開始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘，時(shí)針正好與分針第一次重合?（精確到1分）解：1.此類題型可以把鐘面看成一個(gè)環(huán)形跑道。那么本題就相當(dāng)于行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題，即分針與時(shí)針之間的路程差是240°。2.分針每分鐘比時(shí)針多轉(zhuǎn)6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分鐘）。也就是從8時(shí)開始，再經(jīng)過(guò)44分鐘，時(shí)針正好與分針第一次重合。例2：從早晨6點(diǎn)到傍晚6點(diǎn)，鐘面上時(shí)針和分針一共重合了多少次？解：我們可以把鐘面看成一個(gè)環(huán)形跑道，這樣分針和時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)就可以轉(zhuǎn)化成追及問(wèn)題。從早晨6點(diǎn)到傍晚6點(diǎn)，一共經(jīng)過(guò)了12小時(shí)，12個(gè)小時(shí)分針要跑12圈，時(shí)針只能跑1圈，分針比時(shí)針多跑12-1=11（圈），而分針每比時(shí)針多跑1圈，就會(huì)追上時(shí)針一次，也就是和時(shí)針重合1次，所以12小時(shí)內(nèi)兩針一共重合了11次。例3：一部記錄中國(guó)軍隊(duì)時(shí)代變遷的紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)有兩個(gè)多小時(shí)。小明發(fā)現(xiàn)，紀(jì)錄片播放結(jié)束時(shí)，手表上時(shí)針.分針的位置正好與開始時(shí)時(shí)針.分針的位置交換了一下。這部紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)多少分鐘？（精確到1分）解：1.解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到時(shí)針與分針合走的路程是1080°，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成相遇問(wèn)題來(lái)解決。2.兩個(gè)多小時(shí)，分針與時(shí)針位置正好交換。所以分針與時(shí)針?biāo)叩穆烦毯驼檬侨Γ簿褪欠轴樅蜁r(shí)針合走360°×3=1080°，而分針和時(shí)針每分鐘的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°需要1080÷6.5≈166（分鐘），即這部紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)166分鐘。01工程問(wèn)題【含義】工程問(wèn)題主要研究工作量.工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”.“一塊土地”.“一條水渠”.“一件工作”等。在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】工作量＝工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間

＝工作量÷工作效率工作時(shí)間

＝工作總量÷（甲工作效率＋乙工作效率）02解題思路和方法解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作單位“1”。這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾）。進(jìn)而就可以根據(jù)工作量.工作效率.工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。例1：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做要12天完成，乙隊(duì)獨(dú)做要15天完成，兩隊(duì)合做4天可以完成這項(xiàng)工程的（

）。解：1.本題考察的是兩個(gè)人的工程問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是求出甲.乙兩隊(duì)的工作效率之和。進(jìn)而用工作效率×工作時(shí)間=工作量。2.甲隊(duì)的工作效率為:1÷12=，乙隊(duì)的工作效率為:1÷15=，兩隊(duì)合做4天，可以完成這項(xiàng)工程的（+）×4=。例2：一項(xiàng)工程，甲.乙兩隊(duì)合作30天完成。如果甲隊(duì)單獨(dú)做24天后，乙隊(duì)再加入合做，兩隊(duì)合做12天后，甲隊(duì)因事離去，由乙隊(duì)繼續(xù)做了15天才完成。這項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)做，需要多少天完成？解：1.我們可以將“甲隊(duì)單獨(dú)做24天后，乙隊(duì)再加入合做，兩隊(duì)合做12天后，甲隊(duì)因事離去。由乙隊(duì)繼續(xù)做了15天才完成”轉(zhuǎn)化為“甲.乙兩隊(duì)合做27天，甲再單獨(dú)做9天”，由此可以求出甲9天的工作量為：，甲每天的工作效率為：，這項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)做，需要。例3：有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要6小時(shí)，乙單獨(dú)做需要8小時(shí)，丙單獨(dú)做需要10小時(shí)，上午8時(shí)三人同時(shí)開始，中間甲有事離開，如果到中午12點(diǎn)工程才完工，則甲上午離開的時(shí)間是幾時(shí)幾分？解：1.根據(jù)題意，知道了甲乙丙的工作時(shí)間可求出相應(yīng)的工作效率。甲的工作量是全部工作量減去乙丙的工作量，所以甲的工作時(shí)間也可以求出來(lái)，即甲上午離開的時(shí)間也可以求出來(lái)。2.甲的工作量=1-（+）×4=；甲的工作效率為：1÷6=所以甲的工作時(shí)間為：÷=（小時(shí)）所以甲離開的時(shí)間是8時(shí)36分。01盈虧問(wèn)題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總量＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總量＝（大盈－小盈）÷分配差參加分配總量＝（大虧－小虧）÷分配差02解題思路和方法大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1：小明從家到學(xué)校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘；如果每分鐘走70米，則可提前5分鐘到校，小明家到學(xué)校的路程是多少米？解：1.分析^p題意，類比“盈虧問(wèn)題”，我們可以把“遲到3分鐘”，轉(zhuǎn)化為比計(jì)劃路程少行50×3=150（米），把“提前5分鐘”轉(zhuǎn)化為比計(jì)劃路程多行70×5=350（米）這時(shí)題目被轉(zhuǎn)化成了“一盈一虧”問(wèn)題。2.根據(jù)公式，求出原計(jì)劃到校的時(shí)間：（350+150）÷（70-50）=25（分鐘）。3.所以小明家到學(xué)校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊；若每人擦6塊，正好擦完。擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少塊？解：1.由題意可知，本題屬于分配不均型的盈虧問(wèn)題，需要將題目條件轉(zhuǎn)化成一般盈虧問(wèn)題。“其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊”可以轉(zhuǎn)化為“每人擦5塊，則余10塊”。2.這樣就轉(zhuǎn)化為了雙盈問(wèn)題，擦玻璃的有：（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60塊。例3：動(dòng)物園飼養(yǎng)員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個(gè)桃子，則有兩只猴子沒(méi)有分到；如果有兩只猴子分8個(gè)桃子，其余猴子分9個(gè)，則還差3個(gè)桃子。一共有多少只猴子？解：1.分析^p題意，題中有兩種分配方式。聯(lián)系“盈虧問(wèn)題”，我們可以把“兩只猴子沒(méi)有分到”理解為桃子的數(shù)量少2×10=20（個(gè)），再把“有兩只猴子分8個(gè)桃子，其余猴子分9個(gè)，則還差3個(gè)桃子”理解為每只猴子分9個(gè)，則還少（9-8）×2+3=5（個(gè)）。題目看成“雙虧問(wèn)題”，求出猴子的數(shù)量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。01百分?jǐn)?shù)問(wèn)題【含義】百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ?約分，而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只顯“率”；分?jǐn)?shù)的分子.分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”.“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)02解題思路和方法一般有三種基本類型：（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；（2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。例1：在植樹節(jié)里，某校六年級(jí)學(xué)生在校園內(nèi)種樹8棵，占全校植樹數(shù)的20%，則該校在植樹節(jié)里共植樹多少棵？解：已知六年級(jí)學(xué)生的種樹棵數(shù)以及所種棵數(shù)占全校植樹數(shù)的比值，直接用除法運(yùn)算即可。所以：8÷20%=40（棵）例2：商店新上架了一批連衣裙，第一天賣出總數(shù)的25%，第二天賣出45件，第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分一，最后剩下20件，則商店原先進(jìn)了多少件連衣裙？解：1.把這批連衣裙的總數(shù)看作單位“1”，已知第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分之一，也就是第三天賣出了25%的和45的，由此可以求出與（45+45×+20）對(duì)應(yīng)的分率。2.根據(jù)已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法解答。（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）例3：一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數(shù)的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數(shù)的75%，則原來(lái)這堆棋子一共有多少枚？解：1.本題考察的是百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)一種棋子變化時(shí)，抓住另一種棋子的數(shù)量不變，統(tǒng)一不變量的份數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題。2.由條件可知，當(dāng)拿走49枚黑子時(shí)，此時(shí)白子的數(shù)量沒(méi)有變化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數(shù)量比為（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子與白子的數(shù)量比為（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相當(dāng)于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數(shù)量沒(méi)有變化，所以原來(lái)黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來(lái)這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。03知識(shí)補(bǔ)充百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的百分率有：★

增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)÷原來(lái)基數(shù)×100%★

合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%★

出勤率＝實(shí)際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%★

出勤率＝實(shí)際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%★

缺席率＝缺席人數(shù)÷實(shí)有總?cè)藬?shù)×100%★

發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗(yàn)種子總數(shù)×100%★

成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%★

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%★

出油率＝油的重量÷油料重量×100%★

廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%★

命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%★

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%方陣問(wèn)題【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣）。根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：四周人數(shù)

＝（每邊人數(shù)－1）×4每邊人數(shù)

＝四周人數(shù)÷4＋1（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)空心方陣：總?cè)藬?shù)＝外每邊的人數(shù)平方－內(nèi)每邊的人數(shù)平方內(nèi)每邊人數(shù)＝外每邊人數(shù)－層數(shù)×2（3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4解題思路和方法方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1：佳一學(xué)校參加運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少23人。那么參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員一共有多少人？解：1.要知道參加表演的運(yùn)動(dòng)員共有多少人，只需要找到最外層每邊有多少人即可。2.一個(gè)正方形隊(duì)列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的人數(shù)，其中頂點(diǎn)上的人數(shù)計(jì)算了兩次，所以減少的人數(shù)=每邊的人數(shù)×2-1。所以開始每邊有（23+1）÷2=12（人），參加表演的有12×12=144（人）。例2：歡歡用圍棋子圍成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子16枚，歡歡擺這個(gè)方陣共用了多少枚圍棋子？解法1：1.本題考查的空心方陣，根據(jù)四周的枚數(shù)和每邊上的枚數(shù)之間的關(guān)系，算出每一層的棋子數(shù)。2.方陣每向里一層，每邊的枚數(shù)就減少2枚。知道最外一層每邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數(shù)，知道各層每邊的枚數(shù)，就可以求出各層的總數(shù)。最外一層的棋子的枚數(shù)：（16-1）×4=60（枚），第二層棋子的枚數(shù)：（16-2-1）×4=52（枚），第三層棋子的枚數(shù)：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），

擺這個(gè)方陣共用了60+52+44=156（枚）棋子。解法2:

若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4。則：（16-3）×3×4=156(枚)例3：一個(gè)實(shí)心方陣由81人組成，這個(gè)方陣的最外層有多少人？解：方陣的行數(shù)和列數(shù)相同，9×9=81，所以這是一個(gè)9行9列的方陣。最外層人數(shù)與一邊人數(shù)的關(guān)系：一邊人數(shù)×4-4=一層人數(shù)。所以最外層的人數(shù)是9×4-4=32(人)。例4：明明在一個(gè)用棋子排成的實(shí)心方陣的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23個(gè)棋子，這樣排成了一個(gè)新方陣，他又把這個(gè)新方陣改排成一個(gè)4層的空心陣，這個(gè)方陣最外層每邊有多少個(gè)棋子？解：1.根據(jù)題意，排成的這個(gè)新方陣的每邊棋子數(shù)是（23+1）÷2=12（個(gè)）,那么這個(gè)實(shí)心方陣的棋子總數(shù)是12×12=144（個(gè)）。2.根據(jù)空心方陣中，每相鄰的兩層的棋子數(shù)相差8的關(guān)系，我們可以找出等量關(guān)系，列方程解決。設(shè)最外層有x個(gè)棋子，則從外到內(nèi)每層的棋子數(shù)分別是（x-8）個(gè).（x-16）個(gè).（x-24）個(gè)。則：x+x-8+x-16+x-24=144，x=48所以這個(gè)方陣最外層每邊有48÷4+1=13（個(gè)）棋子。01牛吃草問(wèn)題【含義】“牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這類問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素?！緮?shù)量關(guān)系】草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)

02解題思路和方法解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。例1：這是一片新鮮的牧場(chǎng)，現(xiàn)有400份草，每天都均勻地生長(zhǎng)6份草。若一開始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。這片牧場(chǎng)的草夠奶牛吃多少天？解：1.本題考查的是牛吃草的問(wèn)題。解決本題的關(guān)鍵是要求出每天新增加的草量，在所求的問(wèn)題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草。題目可知：原有的草量+新長(zhǎng)的草量=總的草量。奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長(zhǎng)的草。原有的草量是不變的，每天新長(zhǎng)的草量是勻速的，每天都長(zhǎng)6份，每頭奶牛每天吃1份，新長(zhǎng)的草剛好夠6頭奶牛吃的量。那么剩下的20頭奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），夠吃20天。例2：一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？解：設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每天可抽1份水。5臺(tái)抽水機(jī)20天抽水：5×20=100（份）6臺(tái)抽水機(jī)15天抽水：6×15=90（份）每天入庫(kù)的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）原有的存水量：100-20×2=60（份）需抽水機(jī)臺(tái)數(shù)：60÷6+2=12（臺(tái)）答：要求6天抽干，需要12臺(tái)同樣的抽水機(jī)。例3：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？解：1.本題考查的是牛吃草的問(wèn)題，“旅客”相當(dāng)于“草”，檢票口相當(dāng)于“牛”。題目可知，旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來(lái)的旅客。設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。那么4個(gè)檢票口30分鐘檢票4×30=120（份），5個(gè)檢票口20分鐘檢票5×20=100（份），多花了10分鐘多檢了120-100=20（份）那么每分鐘新增顧客數(shù)量為：20÷10=2（份）。那么原有顧客總量為：120-30×2=60（份）。同時(shí)打開7個(gè)檢票口，我們可以讓2個(gè)檢票口專門通過(guò)新來(lái)的顧客，其余的5個(gè)檢票口通過(guò)原來(lái)的顧客，需要60÷5=12（分鐘）。01雞兔同籠問(wèn)題【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞.兔共有多少只頭和多少只腳，求雞.兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞.兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題：?

假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）?

假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2）第二雞兔同籠問(wèn)題：

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假設(shè)全是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）?

假設(shè)全是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）02解題思路和方法解此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。例1：雞和兔在一個(gè)籠子里，共有35個(gè)頭，94只腳，那么雞有多少只，兔有多少只？假設(shè)籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應(yīng)該有35×2=70（只）腳，而實(shí)際有94只腳，這多出來(lái)的腳就是把兔子當(dāng)作雞多出來(lái)的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了94-70=24（只），則兔子有24÷2=12（只），那么雞有35-12=23（只）。例2：動(dòng)物園里有鴕鳥和長(zhǎng)頸鹿共70只，其中鴕鳥的腳比長(zhǎng)頸鹿多80只，那么鴕鳥有多少只，長(zhǎng)頸鹿有多少只？解：假設(shè)全部都是鴕鳥，則一共有70×2=140（只）腳，此時(shí)長(zhǎng)頸鹿的腳數(shù)是0，鴕鳥腳比長(zhǎng)頸鹿腳多140只，而實(shí)際上鴕鳥的腳比長(zhǎng)頸鹿多80只。因此鴕鳥腳與長(zhǎng)頸鹿腳的差數(shù)多了140-80=60（只），這是因?yàn)榘哑渲械拈L(zhǎng)頸鹿換成了鴕鳥。把每一只長(zhǎng)頸鹿換成鴕鳥，鴕鳥的腳數(shù)將增加2只，長(zhǎng)頸鹿的腳數(shù)減少4只，那么鴕鳥腳數(shù)與長(zhǎng)頸鹿腳數(shù)的差就增加了6只，所以換成鴕鳥的長(zhǎng)頸鹿有60÷6=10（只），鴕鳥有70-10=60（只）。例3：李阿姨的農(nóng)場(chǎng)里養(yǎng)了一批雞和兔，共有144條腿，如果雞數(shù)和兔數(shù)互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？解：根據(jù)題意可得：前后雞的總只數(shù)=前后兔的總只數(shù)。把1只雞和1只兔子看做一組，共有6條腿。前后雞和兔的總腿數(shù)有144+156=300（條）所以共有300÷6=50（組），也就是雞和兔的總只數(shù)有50只。例4：一次數(shù)學(xué)考試，只有20道題。做對(duì)一題加5分，做錯(cuò)一題倒扣3分（不做算錯(cuò)）。樂(lè)樂(lè)這次考試得了84分，那么樂(lè)樂(lè)做對(duì)了多少道題？解：如果20題全部做對(duì)，應(yīng)該得20×5=100（分），而實(shí)際得了84分，少了100-84=16（分）。做錯(cuò)一題和做對(duì)一題之間，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做錯(cuò)了16÷8=2（題）。一共20題，所以樂(lè)樂(lè)做對(duì)了20-2=18（題）。01抽屜問(wèn)題【含義】在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，如367個(gè)人中至少有兩個(gè)人是同一天過(guò)生日，這類問(wèn)題在生活中非常常見(jiàn)。它所依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。抽屜原理又名狄利克雷原則，是符合某種條件的對(duì)象存在性問(wèn)題有力工具?！緮?shù)量關(guān)系】基本的抽屜原則是：如果把n＋1個(gè)物體（也叫元素）放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體（元素）。抽屜原則可以推廣為：如果有m個(gè)抽屜，元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。02解題思路和方法目前,處理抽屜原理問(wèn)題最基本和常用的方法是運(yùn)用“最不利原則”,構(gòu)造“最不利”“點(diǎn)最背”的情形。例1：不透明的箱子中有紅.黃.藍(lán).綠四種顏色的球各20個(gè)，一次至少摸出多少個(gè)球才能保證摸出兩個(gè)相同顏色的球？解：解決這個(gè)問(wèn)題要考慮最不利的情況，因?yàn)橛?種顏色，想要摸出兩個(gè)相同顏色的球。那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出一個(gè)，這時(shí)再摸一個(gè)球，一定與前幾個(gè)球有顏色相同的。因此至少要摸4+1=5(個(gè))球。例2：袋子中有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，4個(gè)藍(lán)球，5個(gè)綠球，一次至少摸出多少個(gè)球就能保證摸到兩種顏色的球？解：解決這個(gè)問(wèn)題要考慮最不利情況，想要摸出兩種顏色的球。最不利的情況應(yīng)該是將一種顏色的球都拿出來(lái)時(shí)，不論接下來(lái)摸的球是什么顏色都與之前顏色不同。因?yàn)?種球的個(gè)數(shù)各不相同。所以最不利的情況應(yīng)該是先將個(gè)數(shù)最多的球都拿出來(lái)，接下來(lái)摸的球都一定與之前顏色不同。因此至少摸出5+1=6(個(gè))球例3：一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共5道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分5分，答對(duì)一題得3分，答錯(cuò)扣1分，不答不得分。要保證至少有4人得分相同，最少需要多少人參加競(jìng)賽？解：1.本題考察的是抽屜原理的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是要知道得分一共有多少種不同的情況。進(jìn)而從最壞的情況開始考慮解決問(wèn)題。2.一共有5題，且有5分的基礎(chǔ)分，那么每道題就有1分的基礎(chǔ)分。也就相當(dāng)于答對(duì)一題得4分，答錯(cuò)不得分，不答得1分。這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的得分情況有以下幾種：5題全對(duì)的只有1種情況：得20分；對(duì)4題的有2種情況：1題答錯(cuò)得16分，1題沒(méi)答得17分；對(duì)3題的有3種情況：2題全錯(cuò)得12分，只錯(cuò)1題得13分，2題不做得14分；對(duì)2題的有4種情況：3題全