靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)

所謂電介質(zhì)是指不導(dǎo)電的物質(zhì)，即絕緣體例如橡膠、云母、紙、有機(jī)玻璃等固體；變壓器油、純凈水、蓖麻油等液體；氫、氮，氧等一切正常狀態(tài)下的氣體都是電介質(zhì)。電介質(zhì)的電結(jié)構(gòu)特征分子中正、負(fù)電荷束縛得很緊，電子很難掙脫束縛而自由運(yùn)動(dòng)，所以電介質(zhì)中沒(méi)有自由電子。（1）介紹電介質(zhì)極化的微觀機(jī)制，定義電極化強(qiáng)度矢量；本章內(nèi)容（2）討論有介質(zhì)時(shí)的電場(chǎng)，給出有介質(zhì)時(shí)的靜電場(chǎng)方程；（3）討論靜電場(chǎng)的能量。復(fù)習(xí)：電偶極子電偶極矩

兩個(gè)相距很近而且等值異號(hào)的點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)稱為電偶極子。力矩總是力圖使電偶極矩轉(zhuǎn)向外電場(chǎng)方向電偶極子在外電場(chǎng)中所受的力矩討論①若是均勻的，

為什么值時(shí)，電偶極子達(dá)到平衡？此平衡是穩(wěn)定平衡還是不穩(wěn)定平衡？偶極子所受合力偶極子所受力矩為當(dāng)時(shí)，偶極子達(dá)到平衡，所以，，，是穩(wěn)定平衡，是不穩(wěn)定平衡。②如果是不均勻的，電偶極子能否達(dá)到平衡？當(dāng)是不均勻電場(chǎng)時(shí)，偶極子除受力矩作用外還受到一個(gè)合外力，該力總是把它拉向電場(chǎng)較強(qiáng)的區(qū)域（經(jīng)摩擦起電后的物體能吸引輕小物體，就是這個(gè)道理）。所以不能達(dá)到平衡?！纠}】【解】①電勢(shì)能②當(dāng)與方向相同時(shí)，，即時(shí)電勢(shì)能最小，是穩(wěn)定平衡位置。③當(dāng)與方向相反時(shí)，，即時(shí)電勢(shì)能最大，是不穩(wěn)定平衡位置。§3.1電介質(zhì)及其極化一、電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響+++++++-------+++++++-------電場(chǎng)為什么變小了？相對(duì)電容率電容率二、有極分子與無(wú)極分子無(wú)極分子電介質(zhì)：（氫、甲烷、石蠟等）有極分子電介質(zhì)：（水、有機(jī)玻璃等）當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)與分子的距離遠(yuǎn)大于分子的線度時(shí)，整個(gè)電中性分子激發(fā)的電場(chǎng)可以近似采用一種“重心模型”來(lái)計(jì)算。各向同性電介質(zhì)可分成兩類：+++++甲烷分子正負(fù)電荷重心重合1.無(wú)極分子

分子中正負(fù)電荷重心在沒(méi)有外電場(chǎng)時(shí)是重合的，這樣的分子叫做無(wú)極分子。++水分子正負(fù)電荷重心不重合2.有極分子

分子的正負(fù)電荷重心在沒(méi)有外電場(chǎng)時(shí)也不重合，這樣的分子叫做有極分子。三、極化的微觀機(jī)制1.有極分子的取向極化和無(wú)極分子的位移極化++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++2.說(shuō)明①在均勻電介質(zhì)中，凡自由電荷體密度為零的點(diǎn)，極化電荷體密度也一定為零。②

極化電荷不能脫離電介質(zhì)而轉(zhuǎn)移到其它物體上，也不能在電介質(zhì)內(nèi)部自由運(yùn)動(dòng)。所以，又常將其稱為束縛電荷。②當(dāng)撤銷外場(chǎng)，無(wú)極分子的正負(fù)電荷的重心又將重合在一起，而有極分子由于熱運(yùn)動(dòng)又處于混亂排列中，極化現(xiàn)象也隨之消失。③位移極化效應(yīng)在任何電介質(zhì)都存在，而取向極化是有極分子電介質(zhì)獨(dú)有的。

如果我們關(guān)心的不是極化過(guò)程，而是已經(jīng)極化的電介質(zhì)所產(chǎn)生的附加電場(chǎng)，則可以把已經(jīng)極化的電介質(zhì)看成是大量電偶極子的集合。每個(gè)分子具有一定的電矩，即分子電矩，各分子電矩在不同程度上沿著電場(chǎng)方向排列，至于分子電矩是固有的還是感生的，對(duì)產(chǎn)生附加電場(chǎng)并無(wú)兩樣。四、極化強(qiáng)度矢量

電介質(zhì)中某物理無(wú)限小體積內(nèi)所有分子偶極矩矢量和與該體積之比叫做該點(diǎn)的極化強(qiáng)度。

單位：庫(kù)侖∕米2

（）?！镪P(guān)于極化強(qiáng)度矢量，應(yīng)明確以下幾點(diǎn)①

極化強(qiáng)度矢量是量度電介質(zhì)極化狀態(tài)（包括極化的程度和極化的方向）的物理量，是矢量點(diǎn)函數(shù)，即。②若介質(zhì)內(nèi)各點(diǎn)的均相同，則稱極化是均勻極化。

③

由的定義可知，只有在電介質(zhì)內(nèi)。真空中沒(méi)有實(shí)物，所以;在金屬中，在

靜電的情況下也沒(méi)有極化電荷，也有

。五、極化強(qiáng)度與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系

試驗(yàn)表明，在各向同性電介質(zhì)中，某點(diǎn)的電極化強(qiáng)度矢量與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量成正比，即其中是正數(shù)，稱為介質(zhì)的極化率，它由物質(zhì)的性質(zhì)決定，與電場(chǎng)無(wú)關(guān)。注意：在介質(zhì)的同一點(diǎn)上，與的關(guān)系與方向無(wú)關(guān)。

如果介質(zhì)中各點(diǎn)的均相同，則稱為均勻電介質(zhì)。【例1】在靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)和靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體表現(xiàn)出有何不同的特征。【解】靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體的主要特征是導(dǎo)體表面有感生電荷，導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，導(dǎo)體是等勢(shì)體。靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)，極化后會(huì)在體內(nèi)和表面產(chǎn)生束縛電荷，介質(zhì)內(nèi)部合場(chǎng)強(qiáng)不為零，電場(chǎng)方向與外電場(chǎng)的方向一致，電介質(zhì)整體不是等勢(shì)體?！纠?】電場(chǎng)中的電介質(zhì)極化后，先把它分截為兩半，然后撤去電場(chǎng)，問(wèn)這兩個(gè)半截的電介質(zhì)是否帶電？【解】?jī)蓚€(gè)半截的電介質(zhì)都不帶電。因?yàn)樵跇O化過(guò)程中出現(xiàn)的束縛電荷是由分子電偶極子轉(zhuǎn)向或分子正負(fù)電荷重心作微小位移的結(jié)果。當(dāng)電場(chǎng)撤去后，有極分子由于熱運(yùn)動(dòng)又處于混亂的排列中，無(wú)極分子的正負(fù)電荷重心又重新重合，因此束縛電荷就消失了?！?.2極化電荷一、極化電荷電介質(zhì)由于極化而出現(xiàn)的宏觀電荷叫做極化電荷。一般把不是由極化引起的宏觀電荷叫做自由電荷。例如，電介質(zhì)由于摩擦或與其它帶電體接觸而呈現(xiàn)的宏觀電荷以及導(dǎo)體由于失去或得到自由電子而呈現(xiàn)的宏觀電荷都屬于自由電荷。無(wú)論是極化電荷還是自由電荷，都按庫(kù)侖定律激發(fā)電場(chǎng)。本章以分別代表極化電荷及其密度；而以

分別代表自由電荷及其密度。1324二、極化電荷體密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系只有被S所截的偶極子才對(duì)有貢獻(xiàn)

用偶極子代替電介質(zhì)中的中性分子。如圖所示，只有中心在斜柱狀?yuàn)A層內(nèi)的偶極子才對(duì)有貢獻(xiàn)。夾層的體積對(duì)有貢獻(xiàn)的偶極子數(shù)為，所貢獻(xiàn)的電荷為式中負(fù)號(hào)見(jiàn)教材說(shuō)明

因?yàn)?，所以，故?duì)的整個(gè)邊界面積分便得極化電荷總上式表明，電介質(zhì)內(nèi)部任何體積

內(nèi)的極化電荷等于極化強(qiáng)度對(duì)包圍

的表面

的通量的負(fù)值。一般關(guān)系式量為電介質(zhì)內(nèi)一點(diǎn)極化電荷體密度為這就是極化電荷體密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系，即電介質(zhì)中任意一點(diǎn)的極化電荷體密度等于該點(diǎn)極化強(qiáng)度矢量散度的負(fù)值。

特例：均勻極化時(shí)，常矢量，即電介質(zhì)內(nèi)部極化電荷體密度為零。

在直角坐標(biāo)系中，極化電荷的體密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系為三、極化電荷面密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系介質(zhì)

1介質(zhì)2如圖所示，閉合圓柱體內(nèi)的極化電荷為式中是對(duì)柱體側(cè)面的通量。

考慮到，，則有再取的極限，極化強(qiáng)度對(duì)側(cè)面的通量也相應(yīng)地趨于零，而就是分布在上的極化電荷面密度，由此得即在兩種介質(zhì)的交界面上，極化電荷的面密度等于兩種介質(zhì)的極化強(qiáng)度矢量的法向分量之差。若，則，即交界面上有正極化電荷；若，則，交界面上有負(fù)的極化電荷；若，則

,即法向分量在交界面上連續(xù)時(shí)，交界面上無(wú)極化電荷。討論①

介質(zhì)

2是電介質(zhì)而介質(zhì)

1是真空這時(shí)顯然，故，從電介質(zhì)指向真空(是介質(zhì)表面外法向單位矢）。一般寫(xiě)成熟記即在介質(zhì)與真空的交界面上，極化電荷面密度等于極化強(qiáng)度矢量的法向分量。+++++-----②

介質(zhì)

2是電介質(zhì)而介質(zhì)

1是金屬電容器充滿電介質(zhì)就是這種情況。金屬在靜電平衡時(shí)極化強(qiáng)度為零，即，故有+++++++++++-----------++++++------其中的方向是從電介質(zhì)指向金屬。③

兩種介質(zhì)都是電介質(zhì)這時(shí)界面上一點(diǎn)的等于兩電介質(zhì)中與該點(diǎn)極近的點(diǎn)的極化強(qiáng)度法向分量之差.+++++++++++-----------------++++++++++++------

+++++++++++-----------

當(dāng)介質(zhì)內(nèi)部挖出一個(gè)孔或腔時(shí)，空腔的表面上將有取決于腔體形狀等因素的極化電荷分布?！纠?】如圖所示，求一均勻極化的電介質(zhì)球表面上極化電荷的分布，已知極化強(qiáng)度為。-++++----++-【解】取球心為原點(diǎn)、極軸與平行的球坐標(biāo)系。由于軸對(duì)稱性，表面上任一點(diǎn)A的極化電荷面密度只與有關(guān)。-++++----++-右半球，左半球；在兩半球的分界線（赤道線）上,

，在兩極處和，最大?！纠?】附圖中沿軸放置的電介質(zhì)圓柱底面積為，周圍是真空，已知電介質(zhì)內(nèi)各點(diǎn)極化強(qiáng)度（為常量，為沿軸正向的單位矢量），求（1）圓柱兩底面上的極化電荷面密度及；（2）圓柱體內(nèi)極化電荷體密度.【解】①由公式，可得兩底面上的極化電荷面密度為②如圖，在介質(zhì)內(nèi)沿軸向作一端面積為，長(zhǎng)為的柱形體積元，極化電荷體密度為或由得，即介質(zhì)內(nèi)均勻地分布著負(fù)的體極化電荷。③極化電荷的總電量

這一結(jié)果正是我們預(yù)期的，因?yàn)榻橘|(zhì)極化時(shí)出現(xiàn)的極化電荷只是中性的介質(zhì)中正負(fù)電荷在一定范圍內(nèi)分離的結(jié)果，并沒(méi)有創(chuàng)造出新的電荷。復(fù)習(xí)：

已經(jīng)極化的電介質(zhì)模型可以把已經(jīng)極化的電介質(zhì)看成是大量電偶極子的集合。每個(gè)分子具有一定的電矩，即分子電矩，各分子電矩在不同程度上沿著電場(chǎng)方向排列。極化強(qiáng)度矢量極化電荷體密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系練習(xí)習(xí)題：3.2.13.2.23.2.43.4.33.4.43.4.5§3.3

有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理有介質(zhì)時(shí)空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)是自由電荷激發(fā)的電場(chǎng)和極化電荷激發(fā)的附加電場(chǎng)的矢量和，即用上式直接計(jì)算電介質(zhì)中的電場(chǎng)會(huì)形成計(jì)算上的循環(huán)。一、電位移有介質(zhì)時(shí)的高斯定理將代入上式，得或引入一個(gè)輔助性的矢量（稱為電位移矢量）于是，我們得到有介質(zhì)時(shí)的高斯定理或式中V

是以S

為邊界的空間體積。在有電介質(zhì)存在的靜電場(chǎng)中，通過(guò)任意閉合曲面的電位移通量等于該閉合曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和。對(duì)高斯定理左邊作積分變換，可以得到介質(zhì)中高斯定理的微分形式即介質(zhì)中任意點(diǎn)電位移矢量的散度等于該點(diǎn)自由電荷的體密度?！镎f(shuō)明①電位移矢量是兩個(gè)意義不同的物理量的疊加，因此其本身并沒(méi)有明確的物理意義；②構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)?？梢砸刖€來(lái)描繪其在空間的分布，線也是有頭有尾的，正自由電荷是它的源頭，負(fù)自由電荷是它的尾閭，極化電荷并不改變線的分布。的單位：③引入一個(gè)輔助性的矢量（稱為電位移矢量）有介質(zhì)時(shí)的高斯定理+++++++－－-----+++++++－－-----+++++++－－-----(

a）線(

b）線(

c）線二、

、和之間的關(guān)系對(duì)任何介質(zhì)都成立對(duì)各向同性介質(zhì)成立對(duì)各向同性介質(zhì)成立電介質(zhì)的相對(duì)電容率電介質(zhì)的電容率對(duì)任何電介質(zhì)（不含真空和金屬），由，知【例1】

判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由：①

若高斯面內(nèi)的自由電荷總量為零，則面上各點(diǎn)的必為零；×②若高斯面上各點(diǎn)的為零，則面內(nèi)自由電荷總量必為零；√③若高斯面上各點(diǎn)的為零，則面內(nèi)自由電荷及極化電荷總量分別為零；√④高斯面的通量?jī)H與面內(nèi)自由電荷的總量有關(guān)；√⑤

僅與自由電荷有關(guān)?！痢纠?】在不帶電的均勻電介質(zhì)球外放一點(diǎn)電荷（如圖），求高斯面、上的通量和通量?！窘狻咳?、有介質(zhì)時(shí)靜電場(chǎng)分布的計(jì)算在各向同性的均勻電介質(zhì)中，若的分布具有球?qū)ΨQ、軸對(duì)稱和面對(duì)稱，可類似真空中求分布的高斯法，應(yīng)用介質(zhì)中的高斯定理先求出分布：

球?qū)ΨQ時(shí)，，沿球徑向

軸對(duì)稱時(shí)，

，沿圓柱徑向

面對(duì)稱時(shí)，

，

垂直平面然后，由求出分布及其它物理量?！纠?】半徑為、電荷為的金屬球埋在介電電常量為的均勻無(wú)限大電介質(zhì)中（如圖），求電介質(zhì)內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)及電介質(zhì)與金屬交界面上的極化電荷。【解】①

介質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)

A

的場(chǎng)強(qiáng)++++++++++++--------②在交界面上取一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)作交界面的法向單位矢，點(diǎn)的極化電荷面密度為或上式說(shuō)明：①

與恒反號(hào)；②即交界面上的極化電荷面密度在數(shù)值上一定小于自由電荷面密度；③交界面上的總電荷密度即總面密度減小到自由電荷面密度的；④與真空?qǐng)鰪?qiáng)比較，充滿均勻電介質(zhì)時(shí)場(chǎng)強(qiáng)減小到無(wú)電介質(zhì)時(shí)的。③交界面上極化電荷總量即極化電荷絕對(duì)值小于自由電荷絕對(duì)值。交界面上總電荷為即總電荷減小到自由電荷的。【例4】在平行板電容器中充滿介電常量為的均勻電介質(zhì)，已知兩金屬板內(nèi)壁自由電荷面密度為及()，求電介質(zhì)中的、電介質(zhì)與金屬板交界面的及電容器的電容。

+++++++------------+++++【解】①介質(zhì)中的電場(chǎng)熟記

+++++++------------+++++介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)為真空中自由電荷場(chǎng)強(qiáng)的，又一次出現(xiàn)該結(jié)果。②電介質(zhì)與金屬板交界面上的極化電荷面密度可見(jiàn)交界面上的極化電荷面密度與自由電荷面密度異號(hào)，且絕對(duì)值比后者小。★結(jié)論：在同一電介質(zhì)中，靠近正自由電荷的界面出現(xiàn)負(fù)極化電荷，靠近負(fù)自由電荷的界面出現(xiàn)正極化電荷。③

充入電介質(zhì)后的電容可以證明，在任何電容器中充滿均勻電介質(zhì)后電容總是增至倍?！纠?】

一平行平板電容器充滿兩層厚度各為和的電介質(zhì),它們的相對(duì)電容率分別為

和極板面積為。求①電容器的電容；②

當(dāng)極板上的自由電荷面密度的值為時(shí)，兩介質(zhì)分界面上極化電荷面密度。+++++++++++-----------------++++++++++++------【解】①

電容：用電容的定義計(jì)算

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+++++

-----這個(gè)電容器可以看成是厚度分別為和的兩個(gè)電容器串聯(lián)。因此②兩介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度

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-----方法二：由公式求【例4】常用的圓柱形電容器，是由半徑為的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體和同軸的半徑為的薄導(dǎo)體圓筒組成，并在直導(dǎo)體與導(dǎo)體圓筒之間充以相對(duì)電容率為的電介質(zhì)。設(shè)直導(dǎo)體和圓筒單位長(zhǎng)度上的電電荷分別為和。求①電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移和極化強(qiáng)度；②電介質(zhì)內(nèi)、外表面的極化電荷面密度；③此圓柱形電容器的電容?！窘狻竣儆捎薪橘|(zhì)時(shí)的高斯定理得②

介質(zhì)內(nèi)、外表面的極化電荷面密度③電容【例5】以平行板電容器兩極板的面積都是

S，相距為，今在其間平行插入厚度為，相對(duì)介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，其面積為。設(shè)兩級(jí)板分別帶電為和，略去邊緣效應(yīng)，求：①兩極板電勢(shì)差；②電容；③介質(zhì)的極化電荷面密度?！窘狻竣僭O(shè)未插介質(zhì)一側(cè)極板上面電荷密度為插入介質(zhì)一側(cè)為，則又聯(lián)立解得②

電容★說(shuō)明①

通過(guò)前面幾個(gè)例題及課后習(xí)題，可以逐漸體會(huì)到引入輔助矢量的好處。成立的條件：

②“均勻電介質(zhì)充滿場(chǎng)不為零的空間”或“均勻電介質(zhì)的表面是等勢(shì)面”。③如果電介質(zhì)是均勻的，且充滿場(chǎng)不為零的空間時(shí)，則相對(duì)介電常量與位置無(wú)關(guān)，因而對(duì)任意閉合曲面有于是有這就是說(shuō)，當(dāng)均勻電介質(zhì)充滿場(chǎng)不為零的空間時(shí)介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響可以歸結(jié)為場(chǎng)源由變?yōu)?/p>

致使介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)為自由電荷單獨(dú)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的。④在均勻介質(zhì)中（不要求均勻極化），凡是自由電荷體密度為零的點(diǎn)，極化電荷體密度也一定為零。（詳見(jiàn)教材102頁(yè)下段小字部分）練習(xí)習(xí)題：3.5.13.5.23.5.53.5.11

作業(yè)：3.5.33.5.43.59§3.4有介質(zhì)時(shí)的靜電場(chǎng)方程

電介質(zhì)的存在僅僅是增加了新的場(chǎng)源，電介質(zhì)并未改變電場(chǎng)的基本性質(zhì)，即電場(chǎng)仍然是有源無(wú)旋。有介質(zhì)時(shí)的靜電場(chǎng)方程積分形式微分形式電介質(zhì)的性能方程當(dāng)自由電荷及電介質(zhì)的已知時(shí)，加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，原則上就可由上述方程決定和.§3.5電場(chǎng)的能量一、電能的定域化理論和試驗(yàn)都證明，電能定域于電場(chǎng)中。二、電場(chǎng)的能量能量密度1.能量密度電容器儲(chǔ)存