2018年大學自主招生數(shù)學試題

2018年北京大學自主招生數(shù)學模擬試題答題時注意：1、試卷滿分150分;考試時間：120分鐘.2、試卷共三大題，計16道題?？荚嚱Y束后，將本卷及演算的草稿紙一并上交。一、選擇題（共5小題，每題6分，共30分.以下每小題均給出了代號為A,B,C,D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號內(nèi).不填、多填或錯填均不得分）2 21、如果關于x的方程xaxa30至少有一個正根，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A、 2A、 2a2B、＜3a2 C、 v；3a2D、 v13a22、如圖，已知：點E、F分別是正方形ABCD的邊AB、2、如圖，已知：點E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC的中點，BD、DF分別交CE于點G、H,若正方形ABCD的面積是240,則四邊形BFHG的面積等于 （ ）A、26 B、28C、24 D、303、設x、v、z是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式：Vx3（yx）3Vx3（zx）3VyxVx―Z,則代數(shù)式x3y3z33xyz的值是 （ ）A、0 B、1 C、3 D、條件不足，無法計算4、如圖，四邊形BDCE內(nèi)接于以BC為直徑的。A,已知:3 ……一，一BC10,cosBCD-,BCE30，則線段DE的長

5是 （ ）A、789B、773 C、4+3J3 D、3+4V35、某學校共有3125名學生，一次活動中全體學生被排成一個n排的等腰梯形陣，且這n排學生數(shù)按每排都比前一排多一人的規(guī)律排列，則當n取到最大值時，排在這等腰梯形陣最外面的一周的學生總人數(shù)是 （ ）A、296B、A、296B、221C、225D、641二、填空題：（共5小題，每題6分，共30分）6、已知：實常數(shù)a、b、c、d同時滿足下列兩個等式：⑴asinbcosc0；⑵acosbsind0（其中為任意銳角），則a、b、c、d之間的關系式是：7、函數(shù)yx12x23x34x4的最小值是。8、已知一個三角形的周長和面積分別是 84、210,一個單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無摩擦地滾動一周后回到原來的位置（如圖） ，則這個三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓r2的所有可能的解pr2的所有可能的解p、q、r組成的三元. 3 , E入，，9、已知：x——產(chǎn)，則=2可用含x的有理系數(shù)三次多項式來表示為： .有理系數(shù)三次多項式來表示為： .210、設p、q、r為素數(shù)，則方程p3p2q2數(shù)組（p,q,r）是 、解答題（共6題，共90分）11、（本題滿分12分）趙巖，徐婷婷，韓磊不但是同班同學，而且是非常要好的朋友，三個人的學習成績不相伯仲，且在整個年級中都遙遙領先， 高中畢業(yè)后三個人都如愿的考入自己心慕以久的大學. 后來三個人應母校邀請給全校學生作一次報告 .報告后三個人還出了一道數(shù)學題：有一種密碼把英文按字母分解，英文中的 a,b,c,LL,z26個字母（不論大小寫）依次用1,2,3,L,26這26個自然數(shù)表示，并給出如下一個變換公式：[x]1（其中x是不超過26的正奇數(shù)）y21 ；已知對于任意的實數(shù)x,記號[x]表示[xy1]13（其中x是不超過261勺正偶數(shù)）81不超過x的最大整數(shù)；將英文字母轉化成密碼，如8 [--]1317,即h變成q,2一 11,.. 、八再如11 [一]16,即k變成f。他們給出下列一組密碼： etwcvcjwejncjw2wcabqcv,把它翻譯出來就是一句很好的臨別贈言。 現(xiàn)在就請你把它翻譯出來，并簡單地寫出翻譯過程。12、（本題滿分 15分）如果有理數(shù)m可以表示成2x26xy5y2（其中x、y是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱m為“世博數(shù)”。⑴個“世博數(shù)” a、b之積也是“世博數(shù)”嗎？為什么？⑵證明：兩個“世博數(shù)”a、b（b0）之商也是“世博數(shù)”。13、（本題滿分15分）如圖，在四邊形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面積之比是3：1：4,點一一，…、-一…BGDEE在邊AD上，CE交BD于G,設————k。GDEA⑴求v7k220的值；⑵若點H分線段BE成里2的兩段，且AH2BH2DH2p2,試用含p的代數(shù)HE式表不'△ABD三邊長的平方和。14、（本題滿分16分）觀察下列各個等式：12 1,1222 5,12 22 32 14,12 22 32 42 30, 。⑴你能從中推導出計算12223242 n2的公式嗎？請寫出你的推導過程；⑵請你用⑴中推導出的公式來解決下列問題：已知：如圖，拋物線y x22x3與x、y軸的正半軸分別交于點A、B,將線段OAn等分，分點從左到右依次為 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An1,分別過這n1個點作x軸的垂線依次交拋物線于點B1作x軸的垂線依次交拋物線于點B1、B2、B3、B4、B5、B6、Bn1,設^OBA1、△AB1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△An1Bn1A的面積依次為&、S2、S3、S4、、Sn。①當n2010①當n2010時，求S,S2S3 S4 S5 LS2010的值;②試探究：當n取到無窮無盡時，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么?15、（本題滿分16分）有如圖所示的五種塑料薄板（厚度不計） ：①兩直角邊分別為3、4的直角三角形ABC；②腰長為4、頂角為36的等腰三角形JKL;③腰長為5、頂角為120的等腰三角形OMN;④兩對角線和一邊長都是4且另三邊長相等的凸四邊形PQRS；⑤長為4且寬（小于長）與長的比是黃金分割比的黃金矩形 WXYZ。它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過一個內(nèi)、外徑分別為 2.4、2.7的鐵圓環(huán)。我們規(guī)定：如果塑料板能穿過鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板 “可操作”；否則，便稱為“不可操作”。⑴證明：第④種塑料板“可操作”；⑵求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種 “不可操作”的概率。jMXYjMXY16、（本題滿分16分）定義：和三角形一邊和另兩邊的延長線同時相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓。如圖所示，已知：OI是^ABC的BC邊上