時(shí)間序列 課件

§5.3長(zhǎng)期趨勢(shì)分析時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型線性趨勢(shì)非線性趨勢(shì)趨勢(shì)線的選擇§5.3長(zhǎng)期趨勢(shì)分析時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（構(gòu)成要素與測(cè)定方法）線性趨勢(shì)時(shí)間序列的構(gòu)成要素循環(huán)波動(dòng)季節(jié)變動(dòng)長(zhǎng)期趨勢(shì)剩余法移動(dòng)平均法線性模型法不規(guī)則波動(dòng)非線性趨勢(shì)趨勢(shì)剔出法按月(季)平均法Gompertz曲線指數(shù)曲線二次曲線修正指數(shù)曲線Logistic曲線時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（構(gòu)成要素與測(cè)定方法）線性趨勢(shì)時(shí)間一、時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（要點(diǎn)）構(gòu)成因素長(zhǎng)期趨勢(shì)(Seculartrend)呈現(xiàn)出某種持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律季節(jié)變動(dòng)(SeasonalFluctuation)也稱季節(jié)性(seasonality)時(shí)間序列在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的周期性波動(dòng)循環(huán)波動(dòng)(CyclicalMovement)也稱周期性(cyclity)

圍繞長(zhǎng)期趨勢(shì)的一種波浪形或振蕩式變動(dòng)不規(guī)則波動(dòng)(IrregularVariations)也稱隨機(jī)性(random)

除去趨勢(shì)、周期性和季節(jié)性之后的偶然性波動(dòng)一、時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（要點(diǎn)）構(gòu)成因素2.模型時(shí)間序列的構(gòu)成要素分為四種，即長(zhǎng)期趨勢(shì)(T)、季節(jié)性或季節(jié)變動(dòng)(S)、周期性或循環(huán)波動(dòng)(C)、隨機(jī)性或不規(guī)則波動(dòng)(I)乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii

加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

2.模型長(zhǎng)期趨勢(shì)

（概念要點(diǎn)）現(xiàn)象在較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的一種趨向或狀態(tài)由影響時(shí)間序列的基本因素作用形成時(shí)間序列的主要構(gòu)成要素有線性趨勢(shì)和非線性趨勢(shì)長(zhǎng)期趨勢(shì)

（概念要點(diǎn)）現(xiàn)象在較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的一種趨向二、線性趨勢(shì)現(xiàn)象隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長(zhǎng)或下降的線性變化規(guī)律測(cè)定方法有移動(dòng)平均法線性模型法二、線性趨勢(shì)現(xiàn)象隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長(zhǎng)或下降的線性變化1.移動(dòng)平均法

(MovingAverageMethod)測(cè)定長(zhǎng)期趨勢(shì)的一種較簡(jiǎn)單的常用方法通過擴(kuò)大原時(shí)間序列的時(shí)間間隔，并按一定的間隔長(zhǎng)度逐期移動(dòng)，計(jì)算出一系列移動(dòng)平均數(shù)由移動(dòng)平均數(shù)形成的新的時(shí)間序列對(duì)原時(shí)間序列的波動(dòng)起到修勻作用，從而呈現(xiàn)出現(xiàn)象發(fā)展的變動(dòng)趨勢(shì)移動(dòng)步長(zhǎng)為K(1<K<n)的移動(dòng)平均序列為1.移動(dòng)平均法

(MovingAverageMetho移動(dòng)平均法

(實(shí)例)表5-61981～1998年我國汽車產(chǎn)量數(shù)據(jù)年份產(chǎn)量(萬輛)年份產(chǎn)量(萬輛)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例5.9】已知1981～1998年我汽車產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表5-6。分別計(jì)算三年和五年移動(dòng)平均趨勢(shì)值，并作圖與原序列比較

移動(dòng)平均法

(實(shí)例)表5-61981～1998年我年份時(shí)間標(biāo)號(hào)產(chǎn)量(萬量)三項(xiàng)移動(dòng)平均五項(xiàng)移動(dòng)平均19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00---20.3925.0833.1137.4542.6349.5456.6758.0760.3976.50102.65124.40137.27143.16150.35156.26---------27.3131.1936.7044.8050.1451.6858.5670.4683.5499.21117.98133.20143.52150.15------年份時(shí)間標(biāo)號(hào)產(chǎn)量(萬量)三項(xiàng)移動(dòng)平均五項(xiàng)移動(dòng)平均198111移動(dòng)平均法

(趨勢(shì)圖)05010015020019811985198919931997產(chǎn)量五項(xiàng)移動(dòng)平均趨勢(shì)值汽車產(chǎn)量（萬輛）

圖5-1汽車產(chǎn)量移動(dòng)平均趨勢(shì)圖（年份）移動(dòng)平均法

(趨勢(shì)圖)0501001502001981198移動(dòng)平均法

(應(yīng)注意的問題)移動(dòng)平均后的趨勢(shì)值應(yīng)放在各移動(dòng)項(xiàng)的中間位置對(duì)于偶數(shù)項(xiàng)移動(dòng)平均需要進(jìn)行“中心化”移動(dòng)間隔的長(zhǎng)度應(yīng)長(zhǎng)短適中如果現(xiàn)象的發(fā)展具有一定的周期性，應(yīng)以周期長(zhǎng)度作為移動(dòng)間隔的長(zhǎng)度若時(shí)間序列是季度資料，應(yīng)采用4項(xiàng)移動(dòng)平均若為月份資料，應(yīng)采用12項(xiàng)移動(dòng)平均移動(dòng)平均法

(應(yīng)注意的問題)移動(dòng)平均后的趨勢(shì)值應(yīng)放在各移動(dòng)項(xiàng)2.線性模型法

（概念要點(diǎn)與基本形式）現(xiàn)象的發(fā)展按線性趨勢(shì)變化時(shí)，可用線性模型表示線性模型的形式為—時(shí)間序列的趨勢(shì)值t—時(shí)間標(biāo)號(hào)a—趨勢(shì)線在Y軸上的截距b—趨勢(shì)線的斜率，表示時(shí)間t

變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)觀察值的平均變動(dòng)數(shù)量2.線性模型法

（概念要點(diǎn)與基本形式）現(xiàn)象的發(fā)展按線性趨勢(shì)線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）趨勢(shì)方程中的兩個(gè)未知常數(shù)

a和

b

按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根據(jù)回歸分析中的最小二乘法原理使各實(shí)際觀察值與趨勢(shì)值的離差平方和為最小最小二乘法既可以配合趨勢(shì)直線，也可用于配合趨勢(shì)曲線根據(jù)趨勢(shì)線計(jì)算出各個(gè)時(shí)期的趨勢(shì)值線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）趨勢(shì)方程中的兩個(gè)未線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）1.根據(jù)最小二乘法得到求解a

和b

的標(biāo)準(zhǔn)方程為取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)時(shí)有t=0，上式可化簡(jiǎn)為解得：解得：線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）1.根據(jù)最小二乘法得返回線性模型法

(實(shí)例及計(jì)算過程)表5-6汽車產(chǎn)量直線趨勢(shì)計(jì)算表年份時(shí)間標(biāo)號(hào)t產(chǎn)量(萬輛)Yit×Ytt2趨勢(shì)值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合計(jì)1711453.5818411.9621091453.58【例5.10】利用表5-6中的數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘法確定汽車產(chǎn)量的直線趨勢(shì)方程，計(jì)算出1981～1998年各年汽車產(chǎn)量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)2000年的汽車產(chǎn)量，作圖與原序列比較返回線性模型法

(實(shí)例及計(jì)算過程)表5-6汽車產(chǎn)量線性模型法

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)上表得a

和

b結(jié)果如下汽車產(chǎn)量的直線趨勢(shì)方程為$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(萬輛)2000年汽車產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為線性模型法

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)上表得a和b結(jié)線性模型法

(趨勢(shì)圖)05010015020019811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢(shì)值

圖5-2汽車產(chǎn)量直線趨勢(shì)（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）線性模型法

(趨勢(shì)圖)0501001502001981198三、非線性趨勢(shì)三、非線性趨勢(shì)現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)為拋物線形態(tài)一般形式為（一）二次曲線

(SecondDegreeCurve)a、b、c

為未知常數(shù)根據(jù)最小二乘法求得現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)為拋物線形態(tài)（一）二次曲線

(SecondD二次曲線

(SecondDegreeCurve)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)時(shí)有根據(jù)最小二乘法得到求解a、b、c

的標(biāo)準(zhǔn)方程為二次曲線

(SecondDegreeCurve)取時(shí)間二次曲線

(實(shí)例)【例5.11】

已知我國1978～1992年針織內(nèi)衣零售量數(shù)據(jù)如表5-9。試配合二次曲線，計(jì)算出1978～1992年零售量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)1993年的零售量，作圖與原序列比較表5-91978～1992年針織內(nèi)衣零售量年份零售量(億件)年份零售量(億件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.9二次曲線

(實(shí)例)【例5.11】已知我國1978～199二次曲線

(計(jì)算過程)表5-10針織內(nèi)衣零售量二次曲線計(jì)算表年份時(shí)間標(biāo)號(hào)t零售量(億件)

Ytt×Ytt2t2Ytt4趨勢(shì)值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合計(jì)0173.845.22802712.69352173.8二次曲線

(計(jì)算過程)表5-10針織內(nèi)衣零售量二次二次曲線

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)計(jì)算表得a

、

b、c

的結(jié)果如下針織內(nèi)衣零售量的二次曲線方程為$Yt

=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143

×8–0.128878×82

=7.03(億件)1993年零售量的預(yù)測(cè)值為二次曲線

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)計(jì)算表得a、b、c的結(jié)果二次曲線

(趨勢(shì)圖)048121619781980198219841986198819901992零售量趨勢(shì)值零售量（億件）圖5-3針織內(nèi)衣零售量二次曲線趨勢(shì)（年份）二次曲線

(趨勢(shì)圖)04812161978198019821用于描述以幾何級(jí)數(shù)遞增或遞減的現(xiàn)象一般形式為（二）指數(shù)曲線

(Exponentialcurve)a、b為未知常數(shù)若b>1，增長(zhǎng)率隨著時(shí)間t的增加而增加若b<1，增長(zhǎng)率隨著時(shí)間t的增加而降低若a>0，b<1，趨勢(shì)值逐漸降低到以0為極限用于描述以幾何級(jí)數(shù)遞增或遞減的現(xiàn)象（二）指數(shù)曲線

(Expo指數(shù)曲線

(a、b的求解方法)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)，上式可化簡(jiǎn)為采取“線性化”手段將其化為對(duì)數(shù)直線形式根據(jù)最小二乘法，得到求解lga、lgb

的標(biāo)準(zhǔn)方程為指數(shù)曲線

(a、b的求解方法)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原指數(shù)曲線

(實(shí)例及計(jì)算結(jié)果)【例5.12】根據(jù)表5-6中的資料，確定1981～1998年我國汽車產(chǎn)量的指數(shù)曲線方程，求出各年汽車產(chǎn)量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)2000年的汽車產(chǎn)量，作圖與原序列比較汽車產(chǎn)量的指數(shù)曲線方程為2000年汽車產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為指數(shù)曲線

(實(shí)例及計(jì)算結(jié)果)【例5.12】根據(jù)表5-6中的指數(shù)曲線

(趨勢(shì)圖)05010015020025019811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢(shì)值圖5-4汽車產(chǎn)量指數(shù)曲線趨勢(shì)（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）指數(shù)曲線

(趨勢(shì)圖)05010015020025019811指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢(shì)直線有著更廣泛的應(yīng)用可以反應(yīng)出現(xiàn)象的相對(duì)發(fā)展變化程度上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽車產(chǎn)量趨勢(shì)值的平均發(fā)展速度不同序列的指數(shù)曲線可以進(jìn)行比較比較分析相對(duì)增長(zhǎng)程度指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢(shì)直線有著更廣泛的應(yīng)用在一般指數(shù)曲線的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)K一般形式為（三）修正指數(shù)曲線

(Modifiedexponentialcurve)K、a、b為未知常數(shù)K>0，a≠0，0<b≠1修正指數(shù)曲線用于描述的現(xiàn)象：初期增長(zhǎng)迅速，隨后增長(zhǎng)率逐漸降低，最終則以K為增長(zhǎng)極限(即當(dāng)K>0，a<0，0<b<1)在一般指數(shù)曲線的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)K（三）修正指數(shù)曲線

(M修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)趨勢(shì)值K無法事先確定時(shí)采用將時(shí)間序列觀察值等分為三個(gè)部分，每部分有m個(gè)時(shí)期令趨勢(shì)值的三個(gè)局部總和分別等于原序列觀察值的三個(gè)局部總和修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)趨勢(shì)值K無法事先修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)設(shè)觀察值的三個(gè)局部總和分別為S1，S2，S3根據(jù)三和法求得修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)設(shè)觀察值的三個(gè)將上式右端括號(hào)內(nèi)分別乘以(b-1)/(b-1)，得將上式右端括號(hào)內(nèi)分別乘以(b-1)/(b-1)，得修正指數(shù)曲線

(實(shí)例)【例5.13】已知1978~1995年我國小麥單位面積產(chǎn)量的數(shù)據(jù)如表5-12。試確定小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程，求出各年單位面積產(chǎn)量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)2000年的小麥單位面積產(chǎn)量，作圖與原序列比較表5-121978～1995年小麥單位面積產(chǎn)量數(shù)據(jù)年份單位面積產(chǎn)量(公斤/公頃)年份單位面積產(chǎn)量(公斤/公頃)197819791980198119821983198419851986184521451890211524452805297029403045198719881989199019911992199319941995298529703045319531053331351934263542修正指數(shù)曲線

(實(shí)例)【例5.13】已知1978~199修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）解得K、a

、b如下修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）解得K、a、b如下修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程為$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t2000年小麥單位面積產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為$Y2000

=3659.149–2230.531(0.87836)23

=3546.20(kg)修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程修正指數(shù)曲線

(趨勢(shì)圖)0100020003000400019781982198619901994單位面積產(chǎn)量趨勢(shì)值K

圖5-5小麥單位面積產(chǎn)量修正指數(shù)曲線趨勢(shì)（年份）產(chǎn)單位面積量（公斤/公頃）K=3659.149修正指數(shù)曲線

(趨勢(shì)圖)010002000300040001以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B·Gompertz而命名一般形式為K、a、b為未知常數(shù)K>0，0<a≠1，0<b≠1（四）龔鉑茨曲線

(Gompertzcurve)所描述的現(xiàn)象：初期增長(zhǎng)緩慢，以后逐漸加快，當(dāng)達(dá)到一定程度后，增長(zhǎng)率又逐漸下降，最后接近一條水平線兩端都有漸近線，上漸近線為YK,下漸近線為Y0以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B·Gompertz而命名K、a、將其改寫為對(duì)數(shù)形式Gompertz曲線

(求解k、a、b的三和法)仿照修正指數(shù)曲線的常數(shù)確定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反對(duì)數(shù)求得a和K令：則有：將其改寫為對(duì)數(shù)形式Gompertz曲線

(求解k、a、b的Gompertz曲線

(實(shí)例)【例5.14】

根據(jù)表5-12的數(shù)據(jù)，試確定小麥單位面積產(chǎn)量的Gompertz曲線方程，求出各年單位面積產(chǎn)量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)2000年的小麥單位面積產(chǎn)量，作圖與原序列比較Gompertz曲線

(實(shí)例)【例5.14】根據(jù)表5-1Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的Gompertz曲線方程為2000年小麥單位面積產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的GomGompertz曲線

(趨勢(shì)圖)0100020003000400019781982198619901994單位面積產(chǎn)量趨勢(shì)值KK=3566.04

圖5-6小麥單位面積產(chǎn)量Gompertz曲線趨勢(shì)（年份）（公斤/公頃）Gompertz曲線

(趨勢(shì)圖)0100020003000（六）羅吉斯蒂曲線

(LogisticCurve)K、a、b為未知常數(shù)K>0，a>0，0<b≠11838年比利時(shí)數(shù)學(xué)家Verhulst所確定的名稱該曲線所描述的現(xiàn)象的特征與Gompertz曲線類似3.其曲線方程為（六）羅吉斯蒂曲線

(LogisticCurve)K、aLogistic曲線

(求解k、a、b的三和法)取觀察值Yt的倒數(shù)Yt-1當(dāng)Yt-1

很小時(shí)，可乘以10的適當(dāng)次方

a、b、K的求解方程為L(zhǎng)ogistic曲線

(求解k、a、b的三和法)取觀察四、趨勢(shì)線的選擇觀察散點(diǎn)圖根據(jù)觀察數(shù)據(jù)本身，按以下標(biāo)準(zhǔn)選擇趨勢(shì)線一次差大體相同，配合直線二次差大體相同，配合二次曲線對(duì)數(shù)的一次差大體相同，配合指數(shù)曲線一次差的環(huán)比值大體相同，配合修正指數(shù)曲線對(duì)數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Gompertz曲線倒數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Logistic曲線3.比較估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差四、趨勢(shì)線的選擇觀察散點(diǎn)圖圖形描述

(例題分析)圖形描述

(例題分析)圖形描述

(例題分析)返回圖形描述

(例題分析)返回線性模型法

(例題分析)【例】根據(jù)人口自然增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)，用最小二乘法確定直線趨勢(shì)方程，計(jì)算出各期的趨勢(shì)值和預(yù)測(cè)誤差，預(yù)測(cè)2001年的人口自然增長(zhǎng)率，并將原序列和各期的趨勢(shì)值序列繪制成圖形進(jìn)行比較線性趨勢(shì)方程：預(yù)測(cè)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：

2001年人口自然增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)值：‰

線性模型法

(例題分析)【例】根據(jù)人口自然增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)，用最小線性模型法

(例題分析)線性模型法

(例題分析)線性模型法

(例題分析)線性模型法

(例題分析)二次曲線

(例題分析)【例】根據(jù)能源生產(chǎn)總量數(shù)據(jù)，計(jì)算出各期的趨勢(shì)值和預(yù)測(cè)誤差，預(yù)測(cè)2001年的能源生產(chǎn)總量，并將原序列和各期的趨勢(shì)值序列繪制成圖形進(jìn)行比較二次曲線方程：預(yù)測(cè)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：

2001年能源生產(chǎn)總量的預(yù)測(cè)值：二次曲線

(例題分析)【例】根據(jù)能源生產(chǎn)總量數(shù)據(jù)，計(jì)算出二次曲線

(例題分析)二次曲線

(例題分析)二次曲線

(例題分析)二次曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)【例】根據(jù)人均GDP數(shù)據(jù)，確定指數(shù)曲線方程，計(jì)算出各期的趨勢(shì)值和預(yù)測(cè)誤差，預(yù)測(cè)2001年的人均GDP，并將原序列和各期的趨勢(shì)值序列繪制成圖形進(jìn)行比較指數(shù)曲線趨勢(shì)方程：預(yù)測(cè)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：

2001年人均GDP的預(yù)測(cè)值：指數(shù)曲線

(例題分析)【例】根據(jù)人均GDP數(shù)據(jù)，確定指數(shù)曲指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)【例】我國1983~2000年的糖產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表。試確定修正指數(shù)曲線方程，計(jì)算出各期的趨勢(shì)值和預(yù)測(cè)誤差，預(yù)測(cè)2001年的糖產(chǎn)量，并將原序列和各期的趨勢(shì)值序列繪制成圖形進(jìn)行比較修正指數(shù)曲線

(例題分析)【例】我國1983~2000年的修正指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)解得K、a

、b如下修正指數(shù)曲線

(例題分析)解得K、a、b如下修正指數(shù)曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程2001年糖產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t修正指數(shù)曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程$Y修正指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)【例】我國1983~2000年的糖產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表。試確定修正指數(shù)曲線方程，計(jì)算出各期的趨勢(shì)值和預(yù)測(cè)誤差，預(yù)測(cè)2001年的糖產(chǎn)量，并將原序列和各期的趨勢(shì)值序列繪制成圖形進(jìn)行比較Gompertz曲線

(例題分析)【例】我國1983~2Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的Gompertz曲線方程2001年糖產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值預(yù)測(cè)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差Gompertz曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的GompeGompertz曲線

(例題分析)Gompertz曲線

(例題分析)§5.3長(zhǎng)期趨勢(shì)分析時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型線性趨勢(shì)非線性趨勢(shì)趨勢(shì)線的選擇§5.3長(zhǎng)期趨勢(shì)分析時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（構(gòu)成要素與測(cè)定方法）線性趨勢(shì)時(shí)間序列的構(gòu)成要素循環(huán)波動(dòng)季節(jié)變動(dòng)長(zhǎng)期趨勢(shì)剩余法移動(dòng)平均法線性模型法不規(guī)則波動(dòng)非線性趨勢(shì)趨勢(shì)剔出法按月(季)平均法Gompertz曲線指數(shù)曲線二次曲線修正指數(shù)曲線Logistic曲線時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（構(gòu)成要素與測(cè)定方法）線性趨勢(shì)時(shí)間一、時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（要點(diǎn)）構(gòu)成因素長(zhǎng)期趨勢(shì)(Seculartrend)呈現(xiàn)出某種持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律季節(jié)變動(dòng)(SeasonalFluctuation)也稱季節(jié)性(seasonality)時(shí)間序列在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的周期性波動(dòng)循環(huán)波動(dòng)(CyclicalMovement)也稱周期性(cyclity)

圍繞長(zhǎng)期趨勢(shì)的一種波浪形或振蕩式變動(dòng)不規(guī)則波動(dòng)(IrregularVariations)也稱隨機(jī)性(random)

除去趨勢(shì)、周期性和季節(jié)性之后的偶然性波動(dòng)一、時(shí)間序列的構(gòu)成要素與模型

（要點(diǎn)）構(gòu)成因素2.模型時(shí)間序列的構(gòu)成要素分為四種，即長(zhǎng)期趨勢(shì)(T)、季節(jié)性或季節(jié)變動(dòng)(S)、周期性或循環(huán)波動(dòng)(C)、隨機(jī)性或不規(guī)則波動(dòng)(I)乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii

加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

2.模型長(zhǎng)期趨勢(shì)

（概念要點(diǎn)）現(xiàn)象在較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的一種趨向或狀態(tài)由影響時(shí)間序列的基本因素作用形成時(shí)間序列的主要構(gòu)成要素有線性趨勢(shì)和非線性趨勢(shì)長(zhǎng)期趨勢(shì)

（概念要點(diǎn)）現(xiàn)象在較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的一種趨向二、線性趨勢(shì)現(xiàn)象隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長(zhǎng)或下降的線性變化規(guī)律測(cè)定方法有移動(dòng)平均法線性模型法二、線性趨勢(shì)現(xiàn)象隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長(zhǎng)或下降的線性變化1.移動(dòng)平均法

(MovingAverageMethod)測(cè)定長(zhǎng)期趨勢(shì)的一種較簡(jiǎn)單的常用方法通過擴(kuò)大原時(shí)間序列的時(shí)間間隔，并按一定的間隔長(zhǎng)度逐期移動(dòng)，計(jì)算出一系列移動(dòng)平均數(shù)由移動(dòng)平均數(shù)形成的新的時(shí)間序列對(duì)原時(shí)間序列的波動(dòng)起到修勻作用，從而呈現(xiàn)出現(xiàn)象發(fā)展的變動(dòng)趨勢(shì)移動(dòng)步長(zhǎng)為K(1<K<n)的移動(dòng)平均序列為1.移動(dòng)平均法

(MovingAverageMetho移動(dòng)平均法

(實(shí)例)表5-61981～1998年我國汽車產(chǎn)量數(shù)據(jù)年份產(chǎn)量(萬輛)年份產(chǎn)量(萬輛)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例5.9】已知1981～1998年我汽車產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表5-6。分別計(jì)算三年和五年移動(dòng)平均趨勢(shì)值，并作圖與原序列比較

移動(dòng)平均法

(實(shí)例)表5-61981～1998年我年份時(shí)間標(biāo)號(hào)產(chǎn)量(萬量)三項(xiàng)移動(dòng)平均五項(xiàng)移動(dòng)平均19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00---20.3925.0833.1137.4542.6349.5456.6758.0760.3976.50102.65124.40137.27143.16150.35156.26---------27.3131.1936.7044.8050.1451.6858.5670.4683.5499.21117.98133.20143.52150.15------年份時(shí)間標(biāo)號(hào)產(chǎn)量(萬量)三項(xiàng)移動(dòng)平均五項(xiàng)移動(dòng)平均198111移動(dòng)平均法

(趨勢(shì)圖)05010015020019811985198919931997產(chǎn)量五項(xiàng)移動(dòng)平均趨勢(shì)值汽車產(chǎn)量（萬輛）

圖5-1汽車產(chǎn)量移動(dòng)平均趨勢(shì)圖（年份）移動(dòng)平均法

(趨勢(shì)圖)0501001502001981198移動(dòng)平均法

(應(yīng)注意的問題)移動(dòng)平均后的趨勢(shì)值應(yīng)放在各移動(dòng)項(xiàng)的中間位置對(duì)于偶數(shù)項(xiàng)移動(dòng)平均需要進(jìn)行“中心化”移動(dòng)間隔的長(zhǎng)度應(yīng)長(zhǎng)短適中如果現(xiàn)象的發(fā)展具有一定的周期性，應(yīng)以周期長(zhǎng)度作為移動(dòng)間隔的長(zhǎng)度若時(shí)間序列是季度資料，應(yīng)采用4項(xiàng)移動(dòng)平均若為月份資料，應(yīng)采用12項(xiàng)移動(dòng)平均移動(dòng)平均法

(應(yīng)注意的問題)移動(dòng)平均后的趨勢(shì)值應(yīng)放在各移動(dòng)項(xiàng)2.線性模型法

（概念要點(diǎn)與基本形式）現(xiàn)象的發(fā)展按線性趨勢(shì)變化時(shí)，可用線性模型表示線性模型的形式為—時(shí)間序列的趨勢(shì)值t—時(shí)間標(biāo)號(hào)a—趨勢(shì)線在Y軸上的截距b—趨勢(shì)線的斜率，表示時(shí)間t

變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)觀察值的平均變動(dòng)數(shù)量2.線性模型法

（概念要點(diǎn)與基本形式）現(xiàn)象的發(fā)展按線性趨勢(shì)線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）趨勢(shì)方程中的兩個(gè)未知常數(shù)

a和

b

按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根據(jù)回歸分析中的最小二乘法原理使各實(shí)際觀察值與趨勢(shì)值的離差平方和為最小最小二乘法既可以配合趨勢(shì)直線，也可用于配合趨勢(shì)曲線根據(jù)趨勢(shì)線計(jì)算出各個(gè)時(shí)期的趨勢(shì)值線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）趨勢(shì)方程中的兩個(gè)未線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）1.根據(jù)最小二乘法得到求解a

和b

的標(biāo)準(zhǔn)方程為取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)時(shí)有t=0，上式可化簡(jiǎn)為解得：解得：線性模型法

（a和b的最小二乘估計(jì)）1.根據(jù)最小二乘法得返回線性模型法

(實(shí)例及計(jì)算過程)表5-6汽車產(chǎn)量直線趨勢(shì)計(jì)算表年份時(shí)間標(biāo)號(hào)t產(chǎn)量(萬輛)Yit×Ytt2趨勢(shì)值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合計(jì)1711453.5818411.9621091453.58【例5.10】利用表5-6中的數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘法確定汽車產(chǎn)量的直線趨勢(shì)方程，計(jì)算出1981～1998年各年汽車產(chǎn)量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)2000年的汽車產(chǎn)量，作圖與原序列比較返回線性模型法

(實(shí)例及計(jì)算過程)表5-6汽車產(chǎn)量線性模型法

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)上表得a

和

b結(jié)果如下汽車產(chǎn)量的直線趨勢(shì)方程為$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(萬輛)2000年汽車產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為線性模型法

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)上表得a和b結(jié)線性模型法

(趨勢(shì)圖)05010015020019811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢(shì)值

圖5-2汽車產(chǎn)量直線趨勢(shì)（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）線性模型法

(趨勢(shì)圖)0501001502001981198三、非線性趨勢(shì)三、非線性趨勢(shì)現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)為拋物線形態(tài)一般形式為（一）二次曲線

(SecondDegreeCurve)a、b、c

為未知常數(shù)根據(jù)最小二乘法求得現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)為拋物線形態(tài)（一）二次曲線

(SecondD二次曲線

(SecondDegreeCurve)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)時(shí)有根據(jù)最小二乘法得到求解a、b、c

的標(biāo)準(zhǔn)方程為二次曲線

(SecondDegreeCurve)取時(shí)間二次曲線

(實(shí)例)【例5.11】

已知我國1978～1992年針織內(nèi)衣零售量數(shù)據(jù)如表5-9。試配合二次曲線，計(jì)算出1978～1992年零售量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)1993年的零售量，作圖與原序列比較表5-91978～1992年針織內(nèi)衣零售量年份零售量(億件)年份零售量(億件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.9二次曲線

(實(shí)例)【例5.11】已知我國1978～199二次曲線

(計(jì)算過程)表5-10針織內(nèi)衣零售量二次曲線計(jì)算表年份時(shí)間標(biāo)號(hào)t零售量(億件)

Ytt×Ytt2t2Ytt4趨勢(shì)值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合計(jì)0173.845.22802712.69352173.8二次曲線

(計(jì)算過程)表5-10針織內(nèi)衣零售量二次二次曲線

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)計(jì)算表得a

、

b、c

的結(jié)果如下針織內(nèi)衣零售量的二次曲線方程為$Yt

=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143

×8–0.128878×82

=7.03(億件)1993年零售量的預(yù)測(cè)值為二次曲線

（計(jì)算結(jié)果）根據(jù)計(jì)算表得a、b、c的結(jié)果二次曲線

(趨勢(shì)圖)048121619781980198219841986198819901992零售量趨勢(shì)值零售量（億件）圖5-3針織內(nèi)衣零售量二次曲線趨勢(shì)（年份）二次曲線

(趨勢(shì)圖)04812161978198019821用于描述以幾何級(jí)數(shù)遞增或遞減的現(xiàn)象一般形式為（二）指數(shù)曲線

(Exponentialcurve)a、b為未知常數(shù)若b>1，增長(zhǎng)率隨著時(shí)間t的增加而增加若b<1，增長(zhǎng)率隨著時(shí)間t的增加而降低若a>0，b<1，趨勢(shì)值逐漸降低到以0為極限用于描述以幾何級(jí)數(shù)遞增或遞減的現(xiàn)象（二）指數(shù)曲線

(Expo指數(shù)曲線

(a、b的求解方法)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原點(diǎn)，上式可化簡(jiǎn)為采取“線性化”手段將其化為對(duì)數(shù)直線形式根據(jù)最小二乘法，得到求解lga、lgb

的標(biāo)準(zhǔn)方程為指數(shù)曲線

(a、b的求解方法)取時(shí)間序列的中間時(shí)期為原指數(shù)曲線

(實(shí)例及計(jì)算結(jié)果)【例5.12】根據(jù)表5-6中的資料，確定1981～1998年我國汽車產(chǎn)量的指數(shù)曲線方程，求出各年汽車產(chǎn)量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)2000年的汽車產(chǎn)量，作圖與原序列比較汽車產(chǎn)量的指數(shù)曲線方程為2000年汽車產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為指數(shù)曲線

(實(shí)例及計(jì)算結(jié)果)【例5.12】根據(jù)表5-6中的指數(shù)曲線

(趨勢(shì)圖)05010015020025019811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢(shì)值圖5-4汽車產(chǎn)量指數(shù)曲線趨勢(shì)（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）指數(shù)曲線

(趨勢(shì)圖)05010015020025019811指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢(shì)直線有著更廣泛的應(yīng)用可以反應(yīng)出現(xiàn)象的相對(duì)發(fā)展變化程度上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽車產(chǎn)量趨勢(shì)值的平均發(fā)展速度不同序列的指數(shù)曲線可以進(jìn)行比較比較分析相對(duì)增長(zhǎng)程度指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢(shì)直線有著更廣泛的應(yīng)用在一般指數(shù)曲線的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)K一般形式為（三）修正指數(shù)曲線

(Modifiedexponentialcurve)K、a、b為未知常數(shù)K>0，a≠0，0<b≠1修正指數(shù)曲線用于描述的現(xiàn)象：初期增長(zhǎng)迅速，隨后增長(zhǎng)率逐漸降低，最終則以K為增長(zhǎng)極限(即當(dāng)K>0，a<0，0<b<1)在一般指數(shù)曲線的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)K（三）修正指數(shù)曲線

(M修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)趨勢(shì)值K無法事先確定時(shí)采用將時(shí)間序列觀察值等分為三個(gè)部分，每部分有m個(gè)時(shí)期令趨勢(shì)值的三個(gè)局部總和分別等于原序列觀察值的三個(gè)局部總和修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)趨勢(shì)值K無法事先修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)設(shè)觀察值的三個(gè)局部總和分別為S1，S2，S3根據(jù)三和法求得修正指數(shù)曲線

(求解k、a、b的三和法)設(shè)觀察值的三個(gè)將上式右端括號(hào)內(nèi)分別乘以(b-1)/(b-1)，得將上式右端括號(hào)內(nèi)分別乘以(b-1)/(b-1)，得修正指數(shù)曲線

(實(shí)例)【例5.13】已知1978~1995年我國小麥單位面積產(chǎn)量的數(shù)據(jù)如表5-12。試確定小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程，求出各年單位面積產(chǎn)量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)2000年的小麥單位面積產(chǎn)量，作圖與原序列比較表5-121978～1995年小麥單位面積產(chǎn)量數(shù)據(jù)年份單位面積產(chǎn)量(公斤/公頃)年份單位面積產(chǎn)量(公斤/公頃)197819791980198119821983198419851986184521451890211524452805297029403045198719881989199019911992199319941995298529703045319531053331351934263542修正指數(shù)曲線

(實(shí)例)【例5.13】已知1978~199修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）解得K、a

、b如下修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）解得K、a、b如下修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程為$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t2000年小麥單位面積產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為$Y2000

=3659.149–2230.531(0.87836)23

=3546.20(kg)修正指數(shù)曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程修正指數(shù)曲線

(趨勢(shì)圖)0100020003000400019781982198619901994單位面積產(chǎn)量趨勢(shì)值K

圖5-5小麥單位面積產(chǎn)量修正指數(shù)曲線趨勢(shì)（年份）產(chǎn)單位面積量（公斤/公頃）K=3659.149修正指數(shù)曲線

(趨勢(shì)圖)010002000300040001以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B·Gompertz而命名一般形式為K、a、b為未知常數(shù)K>0，0<a≠1，0<b≠1（四）龔鉑茨曲線

(Gompertzcurve)所描述的現(xiàn)象：初期增長(zhǎng)緩慢，以后逐漸加快，當(dāng)達(dá)到一定程度后，增長(zhǎng)率又逐漸下降，最后接近一條水平線兩端都有漸近線，上漸近線為YK,下漸近線為Y0以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B·Gompertz而命名K、a、將其改寫為對(duì)數(shù)形式Gompertz曲線

(求解k、a、b的三和法)仿照修正指數(shù)曲線的常數(shù)確定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反對(duì)數(shù)求得a和K令：則有：將其改寫為對(duì)數(shù)形式Gompertz曲線

(求解k、a、b的Gompertz曲線

(實(shí)例)【例5.14】

根據(jù)表5-12的數(shù)據(jù)，試確定小麥單位面積產(chǎn)量的Gompertz曲線方程，求出各年單位面積產(chǎn)量的趨勢(shì)值，并預(yù)測(cè)2000年的小麥單位面積產(chǎn)量，作圖與原序列比較Gompertz曲線

(實(shí)例)【例5.14】根據(jù)表5-1Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的Gompertz曲線方程為2000年小麥單位面積產(chǎn)量的預(yù)測(cè)值為Gompertz曲線

（計(jì)算結(jié)果）小麥單位面積產(chǎn)量的GomGompertz曲線

(趨勢(shì)圖)0100020003000400019781982198619901994單位面積產(chǎn)量趨勢(shì)值KK=3566.0