《單調(diào)性、最大值與最小值》三角函數(shù)(同名272)課件

第2課時

單調(diào)性、最大值與最小值三角函數(shù)第2課時單調(diào)性、最大值與最小值三角函數(shù)《單調(diào)性、最大值與最小值》三角函數(shù)(同名272)課件一二三一、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性1.觀察正弦曲線,正弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)?在哪些區(qū)間上是減函數(shù)?如何將這些單調(diào)區(qū)間進(jìn)行整合?類似地,余弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)?在哪些區(qū)間上是減函數(shù)?怎樣整合這些區(qū)間?一二三一、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性一二三2.填空(2)余弦函數(shù)y=cosx在每一個閉區(qū)間[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都單調(diào)遞減.一二三2.填空一二三3.做一做(1)函數(shù)y=sin2x-1的單調(diào)遞增區(qū)間是

;

(2)函數(shù)y=3-cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

一二三3.做一做一二三二、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的最值和值域1.觀察正弦曲線和余弦曲線,正、余弦函數(shù)是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分別為多少?當(dāng)自變量x分別取何值時,正弦函數(shù)y=sinx取得最大值和最小值?余弦函數(shù)呢?一二三二、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的最值和值域一二三3.做一做(1)函數(shù)y=2-3sinx的最小值是

;

(2)當(dāng)函數(shù)y=cos取得最大值時,x的值等于

.

解析:(1)因為y=sin

x的最大值為1,所以y=2-3sin

x的最小值是-1.(2)當(dāng)

=2kπ,k∈Z,即x=4kπ,k∈Z時,函數(shù)y=cos取得最大值.答案:(1)-1

(2)4kπ(k∈Z)一二三3.做一做一二三三、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的對稱性1.觀察正弦曲線與余弦曲線,正弦曲線除了關(guān)于原點對稱外,是否還關(guān)于其他的點和直線對稱?余弦曲線除了關(guān)于y軸對稱外,是否還關(guān)于其他的點和直線對稱?一二三三、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的對稱性一二三2.填空(1)(2)正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸都經(jīng)過正弦曲線(余弦曲線)的最高點或最低點,即函數(shù)y=sinx(y=cosx)的最值點;正弦曲線(余弦曲線)的對稱中心都經(jīng)過正弦曲線(余弦曲線)與x軸的交點,即函數(shù)y=sinx(y=cosx)的零點.一二三2.填空一二三3.做一做(1)函數(shù)y=sinx+3的圖象的一條對稱軸方程為(

)A.x=-π

B.x=0(2)函數(shù)y=2cosx-1的圖象的一個對稱中心為(

)答案:(1)D

(2)C一二三3.做一做答案:(1)D(2)C探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1求下列函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間:分析:(1)可采用整體換元法并結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解;(2)可先將自變量x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求單調(diào)區(qū)間.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧:(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間;(2)確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調(diào)區(qū)間的方法:采用“換元”法整體代換,將ωx+φ看作一個整體,可令“z=ωx+φ”,即通過求y=Asin

z的單調(diào)區(qū)間求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若ω<0,則可利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù).探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟與正弦函數(shù)探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練單調(diào)性在三角函數(shù)中的應(yīng)用角度1

利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小例2比較下列各組數(shù)的大小:(1)sin220°與sin230°;分析:觀察各角,利用誘導(dǎo)公式,先將異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù),非同一單調(diào)區(qū)間上的角化為統(tǒng)一單調(diào)區(qū)間上的角,再根據(jù)單調(diào)性比較大小.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練單調(diào)性在三角函數(shù)中的探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2

已知三角函數(shù)的單調(diào)情況求參問題

探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2已知三角函數(shù)探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

比較三角函數(shù)值大小的方法(1)通常利用誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)值;(2)不同名的函數(shù)化為同名函數(shù);(3)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間化至同一單調(diào)區(qū)間.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟比較三角函探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練三角函數(shù)的值域(或最值)問題角度1

利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求值域(或最值)例4求下列函數(shù)的值域:(2)y=|sinx|+sinx.分析:利用正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求解.(1)由x的取值范圍確定2x+的取值范圍,再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)先去絕對值符號,再求解.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練三角函數(shù)的值域(或最探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2

化為f(sin

x)或g(cos

x)型的函數(shù)求值域(或最值)例5求使下列函數(shù)取得最大值和最小值時的x的值,并求出函數(shù)的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sinx-2;探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2化為f(si探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度3

分離常數(shù)法求值域(或最值)探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度3分離常數(shù)法求探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(或最值)的求解思路1.求形如y=asin

x+b的函數(shù)的最值或值域時,可利用正弦函數(shù)的有界性(-1≤sin

x≤1)求解.2.對于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函數(shù),當(dāng)定義域為R時,值域為[-|A|+k,|A|+k];當(dāng)定義域為某個給定的區(qū)間時,需確定ωx+φ的范圍,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定值域.3.求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函數(shù)的值域或最值時,可以通過換元,令t=sin

x,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),利用配方法求值域或最值,求解過程中要注意正弦函數(shù)的有界性.4.求形如

,ac≠0的函數(shù)的值域,可以用分離常量法求解;也可以利用正弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式反解出y.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟與三角函數(shù)探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練三角函數(shù)奇偶性與對稱性問題

探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練三角函數(shù)奇偶性與對稱探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練4(1)下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是(

)A.y=sin2x B.y=-sinxC.y=sin|x| D.y=sinx+1探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練4(1)下列探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練解析:(1)A,B是奇函數(shù),D是非奇非偶函數(shù),C符合f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),∴y=sin|x|是偶函數(shù).(2)本題很容易先求φ值再去求對稱中心,其實本題所要強(qiáng)調(diào)的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系.不難發(fā)現(xiàn),對于函數(shù)y=sin(ωx+φ)和y=cos(ωx+φ),正弦函數(shù)的對稱軸與x軸交點的橫坐標(biāo)便是余弦函數(shù)的對稱中心的橫坐標(biāo),反之,正弦函數(shù)的對稱中心的橫坐標(biāo)是余弦函數(shù)的對稱軸與x軸交點的橫坐標(biāo).于是本題中答案:(1)C

(2)A探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練解析:(1)A,B是探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練求三角函數(shù)最值時忽視分類討論或忽略定義域致誤1.忽視分類討論錯解錯在什么地方?你能發(fā)現(xiàn)嗎?怎樣避免這類錯誤呢?提示:錯解中默認(rèn)為a>0,忽視了對a<0這一情況的討論,導(dǎo)致丟解.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練求三角函數(shù)最值時忽視探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練防范措施

形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的函數(shù),其最值與參數(shù)A的正負(fù)有關(guān),因此在解決這類問題時,要注意對A分A>0和A<0兩種情況進(jìn)行分類討論.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練防范措施形如y=A探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練2.忽略函數(shù)的定義域

探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練2.忽略函數(shù)的定義域探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練防范措施

解決與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題時,討論函數(shù)的單調(diào)性時,要注意“定義域優(yōu)先”的原則,尤其是當(dāng)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等進(jìn)行復(fù)合時,要格外引起注意.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練防范措施解決與三角探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練A.增函數(shù)

B.減函數(shù)C.先減后增函數(shù) D.先增后減函數(shù)答案:C探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練A.增函數(shù) B.減探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練2.函數(shù)y=2-sinx的最大值及取最大值時x的值為(

)答案:C探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練2.函數(shù)y=2-si探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:B探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:B探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練第2課時

單調(diào)性、最大值與最小值三角函數(shù)第2課時單調(diào)性、最大值與最小值三角函數(shù)《單調(diào)性、最大值與最小值》三角函數(shù)(同名272)課件一二三一、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性1.觀察正弦曲線,正弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)?在哪些區(qū)間上是減函數(shù)?如何將這些單調(diào)區(qū)間進(jìn)行整合?類似地,余弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)?在哪些區(qū)間上是減函數(shù)?怎樣整合這些區(qū)間?一二三一、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性一二三2.填空(2)余弦函數(shù)y=cosx在每一個閉區(qū)間[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都單調(diào)遞減.一二三2.填空一二三3.做一做(1)函數(shù)y=sin2x-1的單調(diào)遞增區(qū)間是

;

(2)函數(shù)y=3-cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

一二三3.做一做一二三二、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的最值和值域1.觀察正弦曲線和余弦曲線,正、余弦函數(shù)是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分別為多少?當(dāng)自變量x分別取何值時,正弦函數(shù)y=sinx取得最大值和最小值?余弦函數(shù)呢?一二三二、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的最值和值域一二三3.做一做(1)函數(shù)y=2-3sinx的最小值是

;

(2)當(dāng)函數(shù)y=cos取得最大值時,x的值等于

.

解析:(1)因為y=sin

x的最大值為1,所以y=2-3sin

x的最小值是-1.(2)當(dāng)

=2kπ,k∈Z,即x=4kπ,k∈Z時,函數(shù)y=cos取得最大值.答案:(1)-1

(2)4kπ(k∈Z)一二三3.做一做一二三三、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的對稱性1.觀察正弦曲線與余弦曲線,正弦曲線除了關(guān)于原點對稱外,是否還關(guān)于其他的點和直線對稱?余弦曲線除了關(guān)于y軸對稱外,是否還關(guān)于其他的點和直線對稱?一二三三、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的對稱性一二三2.填空(1)(2)正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸都經(jīng)過正弦曲線(余弦曲線)的最高點或最低點,即函數(shù)y=sinx(y=cosx)的最值點;正弦曲線(余弦曲線)的對稱中心都經(jīng)過正弦曲線(余弦曲線)與x軸的交點,即函數(shù)y=sinx(y=cosx)的零點.一二三2.填空一二三3.做一做(1)函數(shù)y=sinx+3的圖象的一條對稱軸方程為(

)A.x=-π

B.x=0(2)函數(shù)y=2cosx-1的圖象的一個對稱中心為(

)答案:(1)D

(2)C一二三3.做一做答案:(1)D(2)C探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1求下列函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間:分析:(1)可采用整體換元法并結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解;(2)可先將自變量x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求單調(diào)區(qū)間.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧:(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間;(2)確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調(diào)區(qū)間的方法:采用“換元”法整體代換,將ωx+φ看作一個整體,可令“z=ωx+φ”,即通過求y=Asin

z的單調(diào)區(qū)間求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若ω<0,則可利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù).探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟與正弦函數(shù)探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練單調(diào)性在三角函數(shù)中的應(yīng)用角度1

利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小例2比較下列各組數(shù)的大小:(1)sin220°與sin230°;分析:觀察各角,利用誘導(dǎo)公式,先將異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù),非同一單調(diào)區(qū)間上的角化為統(tǒng)一單調(diào)區(qū)間上的角,再根據(jù)單調(diào)性比較大小.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練單調(diào)性在三角函數(shù)中的探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2

已知三角函數(shù)的單調(diào)情況求參問題

探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2已知三角函數(shù)探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

比較三角函數(shù)值大小的方法(1)通常利用誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)值;(2)不同名的函數(shù)化為同名函數(shù);(3)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間化至同一單調(diào)區(qū)間.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟比較三角函探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練三角函數(shù)的值域(或最值)問題角度1

利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求值域(或最值)例4求下列函數(shù)的值域:(2)y=|sinx|+sinx.分析:利用正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求解.(1)由x的取值范圍確定2x+的取值范圍,再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求解;(2)先去絕對值符號,再求解.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練三角函數(shù)的值域(或最探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2

化為f(sin

x)或g(cos

x)型的函數(shù)求值域(或最值)例5求使下列函數(shù)取得最大值和最小值時的x的值,并求出函數(shù)的最大值和最小值:(1)y=cos2x+2sinx-2;探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度2化為f(si探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度3

分離常數(shù)法求值域(或最值)探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練角度3分離常數(shù)法求探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟

與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(或最值)的求解思路1.求形如y=asin

x+b的函數(shù)的最值或值域時,可利用正弦函數(shù)的有界性(-1≤sin

x≤1)求解.2.對于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函數(shù),當(dāng)定義域為R時,值域為[-|A|+k,|A|+k];當(dāng)定義域為某個給定的區(qū)間時,需確定ωx+φ的范圍,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定值域.3.求形如y=asin2x+bsin

x+c,a≠0,x∈R的函數(shù)的值域或最值時,可以通過換元,令t=sin

x,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),利用配方法求值域或最值,求解過程中要注意正弦函數(shù)的有界性.4.求形如

,ac≠0的函數(shù)的值域,可以用分離常量法求解;也可以利用正弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式反解出y.探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練反思感悟與三角函數(shù)探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練三角函數(shù)奇偶性與對稱性問題

探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練三角函數(shù)奇偶性與對稱探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練4(1)下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是(

)A.y=sin2x B.y=-sinxC.y=sin|x| D.y=sinx+1探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練4(1)下列探究一探究二探究三探究四思維辨析隨堂演練解析:(1)A,B是奇函數(shù),D是非奇非偶函數(shù),C符合f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),∴y=sin|x|是偶函數(shù).(2)本題很容易先求φ值再去求對稱中心,其實本題所要強(qiáng)調(diào)的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系.不難發(fā)現(xiàn),對于函數(shù)y=sin(ωx+φ)和y=cos(