52化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形-課件

1設(shè)5.2.1、二次型的變量替換對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．§5.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1設(shè)5.2.1、二次型的變量替換對于二次型，我們討論的主12證明即為對稱矩陣.2證明即為對稱矩陣.23說明3說明34定義設(shè)A,B都是n階方陣,如果存在可逆陣C，使CTAC=B，則稱A與B合同,記成A≌B.此時也稱矩陣A經(jīng)過合同變換化為矩陣B.

合同關(guān)系具有以下性質(zhì)：(證明見P217)

（1）自反性：A≌A.

（2）對稱性：若A≌B則B≌A.

（3）傳遞性：若A≌B

，B≌C則A≌C.

（4）A與B合同，則r(A)=r(B).

合同→等價，合同→等秩，反之都不成立．但不等秩，則一定不合同.

矩陣合同的定義與矩陣相似的定義很類似，也是n階方陣之間的一種等價關(guān)系.即4定義設(shè)A,B都是n階方陣,如果存在可逆陣C，455.2.2、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

問題有沒有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法．用線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，等價于二次型的矩陣經(jīng)合同變換化為對角陣．由上一章可知對稱矩陣可經(jīng)正交變換化為對角陣．55.2.2、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型問題有沒有其它方56

1.若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.61.若二次型含有的平方項，則先把含有拉格朗日67解例1含有平方項去掉配方后多出來的項7解例1含有平方項去掉配方后多出來的項78889所用變換矩陣為9所用變換矩陣為910解例2由于所給二次型中無平方項，所以10解例2由于所給二次型中無平方項，所以1011再配方，得11再配方，得1112所用變換矩陣為12所用變換矩陣為1213

對A交替作初等行變換和相應(yīng)的初等列變換，對A作列變換時，同時對E作相同的列變換，當(dāng)A化作標(biāo)準(zhǔn)形時，E就化作了C.這就是作可逆線性變換那個可逆矩陣.

即.5.2.3、用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

矩陣的初等變換法是對二次型矩陣A，構(gòu)造一個2n×n的矩陣，13對A交替作初等行變換和相應(yīng)的初等列變換，1314分析：由于左上角的元素為0，而主對角線上第二個元素不為0，將第一列和第二列交換，同時將第一行和第二行交換，使得左上角元素不為0.例3用初等變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆線性變換。14分析：由于左上角的元素為0，而主對角線上第二個元素不為01415解：15解：1516由此得標(biāo)準(zhǔn)形所用的可逆線性變換為16由此得標(biāo)準(zhǔn)形所用的可逆線性變換為16175.2.4、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形175.2.4、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1718用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟18用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟1819化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出表示何種二次曲面.例求一正交變換，將二次型19化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出19202020212121222222235.2.5、二次型的規(guī)范型有標(biāo)準(zhǔn)型則稱這個標(biāo)準(zhǔn)型是原二次型的規(guī)范型。定義設(shè)n元二次型235.2.5、二次型的規(guī)范型有標(biāo)準(zhǔn)型則稱這個標(biāo)準(zhǔn)型2324定理任一個二次型都可以經(jīng)過非退化線性變換化為規(guī)范型?；蛘哒f，任一個對稱矩陣都合同于一個對角陣，并且這個對角陣的對角線元素是1，-1或0。化為標(biāo)準(zhǔn)型證明：設(shè)n元二次型24定理任一個二次型都可以經(jīng)過非退化線性變換化為規(guī)范型。2425作非退化線性變換25作非退化線性變換2526定理任一個二次型它的規(guī)范型是唯一的。即規(guī)范型中正項的個數(shù)和負(fù)項的個數(shù)是由原二次型唯一確定的。證明：設(shè)n元二次型26定理任一個二次型它的規(guī)范型是唯一的。即規(guī)范型中正項的2627272728定義二次型的規(guī)范型中正項的個數(shù)叫二次型的正慣性指標(biāo)；負(fù)項的個數(shù)叫二次型的負(fù)慣性指標(biāo)；它們的差叫二次型的符號差。28定義二次型的規(guī)范型中正項的個數(shù)叫二次型的正慣性指標(biāo)；28295.2.6、小結(jié)將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法和初等變換法，這取決于問題的要求．如果要求找出一個正交矩陣，無疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用．正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計算量通常較大；如果二次型中變量個數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡單．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同，但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項數(shù)必定相同，項數(shù)等于所給二次型的秩．295.2.6、小結(jié)將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變2930解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例230解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例23031從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組31從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量31324．將正交向量組單位化，得正交矩陣324．將正交向量組單位化，得正交矩陣3233于是所求正交變換為33于是所求正交變換為3334設(shè)5.2.1、二次型的變量替換對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．§5.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1設(shè)5.2.1、二次型的變量替換對于二次型，我們討論的主3435證明即為對稱矩陣.2證明即為對稱矩陣.3536說明3說明3637定義設(shè)A,B都是n階方陣,如果存在可逆陣C，使CTAC=B，則稱A與B合同,記成A≌B.此時也稱矩陣A經(jīng)過合同變換化為矩陣B.

合同關(guān)系具有以下性質(zhì)：(證明見P217)

（1）自反性：A≌A.

（2）對稱性：若A≌B則B≌A.

（3）傳遞性：若A≌B

，B≌C則A≌C.

（4）A與B合同，則r(A)=r(B).

合同→等價，合同→等秩，反之都不成立．但不等秩，則一定不合同.

矩陣合同的定義與矩陣相似的定義很類似，也是n階方陣之間的一種等價關(guān)系.即4定義設(shè)A,B都是n階方陣,如果存在可逆陣C，37385.2.2、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

問題有沒有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法．用線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，等價于二次型的矩陣經(jīng)合同變換化為對角陣．由上一章可知對稱矩陣可經(jīng)正交變換化為對角陣．55.2.2、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型問題有沒有其它方3839

1.若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.61.若二次型含有的平方項，則先把含有拉格朗日3940解例1含有平方項去掉配方后多出來的項7解例1含有平方項去掉配方后多出來的項404184142所用變換矩陣為9所用變換矩陣為4243解例2由于所給二次型中無平方項，所以10解例2由于所給二次型中無平方項，所以4344再配方，得11再配方，得4445所用變換矩陣為12所用變換矩陣為4546

對A交替作初等行變換和相應(yīng)的初等列變換，對A作列變換時，同時對E作相同的列變換，當(dāng)A化作標(biāo)準(zhǔn)形時，E就化作了C.這就是作可逆線性變換那個可逆矩陣.

即.5.2.3、用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

矩陣的初等變換法是對二次型矩陣A，構(gòu)造一個2n×n的矩陣，13對A交替作初等行變換和相應(yīng)的初等列變換，4647分析：由于左上角的元素為0，而主對角線上第二個元素不為0，將第一列和第二列交換，同時將第一行和第二行交換，使得左上角元素不為0.例3用初等變換法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆線性變換。14分析：由于左上角的元素為0，而主對角線上第二個元素不為04748解：15解：4849由此得標(biāo)準(zhǔn)形所用的可逆線性變換為16由此得標(biāo)準(zhǔn)形所用的可逆線性變換為49505.2.4、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形175.2.4、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形5051用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟18用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟5152化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出表示何種二次曲面.例求一正交變換，將二次型19化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出52532053542154552255565.2.5、二次型的規(guī)范型有標(biāo)準(zhǔn)型則稱這個標(biāo)準(zhǔn)型是原二次型的規(guī)范型。定義設(shè)n元二次型235.2.5、二次型的規(guī)范型有標(biāo)準(zhǔn)型則稱這個標(biāo)準(zhǔn)型5657定理任一個二次型都可以經(jīng)過非退化線性變換化為規(guī)范型。或者說，任一個對稱矩陣都合同于一個對角陣，并且這個對角陣的對角線元素是1，-1或0?；癁闃?biāo)準(zhǔn)型證明：設(shè)n元二次型24定理任一個二次型都可以經(jīng)過非退化線性變換化為規(guī)范型。5758作非退化線性變換25作非退化線性變換5859定理任一個二次型它的規(guī)范型是唯一的。即規(guī)范型中正項的個數(shù)和負(fù)項的個數(shù)是由原二次型唯一確定的。證明：設(shè)n元二次型26定理任一個二次型它的規(guī)范型是唯一的。即規(guī)范型中正項的5960276061定義二次型的規(guī)范型中正項的個數(shù)叫二次型的正慣性指標(biāo)；負(fù)項的個數(shù)叫二次型的負(fù)慣性指標(biāo)；它們的差叫二次型的符號差。28定義二次型的規(guī)范型中正項的個數(shù)叫二次型的正慣性指標(biāo)；61625.2.6、小結(jié)將一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法和初等變換法，這取決于問題的要求．如果要求找出一個正交矩陣，無疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用．正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計算量通常較大；如果二次型中變量個數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡單．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的