2021-2022學(xué)年上海中學(xué)東校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年上海中學(xué)東校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共4小題，共20.0分）.在空間中，“直線平面a”是“直線m與平面a內(nèi)無窮多條直線都垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件.下列說法錯誤的是（）A.已知x6R,條件p：x2<X,條件q：->1.則p是q的充要條件B.已知隨機(jī)變量X?NR,/）,且P（XW4）=0.84,則P（XW0）=0.16C.設(shè)直線I的傾斜角為a,斜率為匕則“a<g”是的必要非充分條件D.相關(guān)系數(shù)|r|越接近1,表示線性相關(guān)程度越強(qiáng).已知圓M：/+y2-2ax=8截直線，：x-y=0所得的弦長為,則圓M與圓N：/+（y—1）2=4的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離.過橢圓5+痣=l（m>9）右焦點(diǎn)尸的圓與圓。：M+y2=4外切，該圓直徑FQ的端點(diǎn)Q的軌跡記為曲線C,若P為曲線C上的一動點(diǎn)，則|FP|長度最小值為（）A.0 B.1 C,1 D.2二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）.設(shè)全集U=R,A=（-co,0）,則C（M=..拋物線y2=-2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為..若直線，1：3x-?ny+1=0與％：y=2x+l互相垂直，則實數(shù)m=.下列是關(guān)于出生男嬰與女嬰調(diào)查的2x2列聯(lián)表晚上白天總計男嬰45AB女嬰E35C總計98D180那么。=..已知隨機(jī)變量X服從二項分布8(4,p),且P(X=2)=：,那么一次試驗成功的概率pO的值為 ..設(shè)某種寵物小狗活到18歲的概率是0.6,活到25歲的概率是0.2.現(xiàn)有一只18歲的該種寵物小狗，問它活到25歲的概率是..已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X?N(8r2),P(x>10)=m,P(6<x<8)=n,則白+2的最小值為 .2mn.已知變量y與x線性相關(guān)，若3=3,亍=10,且y與x的線性回歸直線的斜率為2,則線性回歸方程是..(l+x+鬻)1。中含有/項的系數(shù)為..2022年北京冬奧會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王、小劉共計六名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余四人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 種.2 2.設(shè)橢圓器+勺=1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、尸2，點(diǎn)P在該橢圓上，則使得2P為等腰三角形的個數(shù)是..已知橢圓條+，=l(a>b>0)滿足a=y[ib,長軸4B上2021個等分點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)Mi，M2,■■；M2021,過點(diǎn)Mi作斜率為k(k*0)的直線，交橢圓于Pi、P2兩點(diǎn)，Pi點(diǎn)在x軸上方；過“2點(diǎn)作斜率為片0)的直線，交橢圓于「3、”兩點(diǎn)，P3點(diǎn)、在X軸上方；以此類推，過“2021點(diǎn)作斜率為k(kH0)的直線，交橢圓于8041、”042兩點(diǎn)，8041點(diǎn)在X軸上方；則4042條直線AP1，4P2,…,AP4042的斜率乘積為.三、解答題(本大題共5小題，共76.0分).如圖所示，在長方體4BCD-4B1GD1中，AB=2,BC=2,CCX=4,M為棱Cg—人T?(1)若GM=i,求異面直線和GD1所成角的正切值；(2)若C\M=2,求證J?平面&B1M..(1)設(shè)(2x—1)2。。=的+%*+(Z2*2T 卜41200—。。,求：①展開式中各二項式系數(shù)的和；② +1。2|+…+|42001的值?(2)設(shè)(x+2)n展開式的第10項系數(shù)最大，求正整數(shù)71..某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答4類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答4類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由..雙曲線/一￡=l(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&、&，直線，過尸2且與雙曲線交于％、B兩點(diǎn).(1)若I的傾斜角為aAFiAB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；(2)若點(diǎn)P為雙曲線上任一點(diǎn)，求證點(diǎn)P到雙曲線兩漸近線的距離之積為定值，并求出該定值(用含有b的代數(shù)式表示)；(3)設(shè)b=2注,若/的斜率存在，且+居、)?通=0,求，的斜率..已知橢圓的C的方程：-+^=1.6 3(1)設(shè)P為橢圓C異于橢圓左、右頂點(diǎn)Al、&上任一點(diǎn)，直線P4的斜率為抬，直線P&的斜率為心，試證明燈42為定值；(2)求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；(3)設(shè)橢圓上一點(diǎn)4(2,1),且點(diǎn)M,N在C上，且AMJ.4N,AD1MN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值.答案和解析.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線面垂直的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)線面垂直的定義，以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【解答】解：直線ml平面a,則直線m與平面a內(nèi)所有直線，即直線m與平面a內(nèi)無窮多條直線都垂直成立，若平面a內(nèi)無窮多條直線都是平行的，則當(dāng)直線m與平面a內(nèi)無窮多條直線都垂直時，直線m1平面a也不一定成立，即“直線機(jī)1平面a”是“直線m與平面a內(nèi)無窮多條直線都垂直”的充分不必要條件,故選：A..【答案】C【解析】解：對于4,因為p：x2<x,解得0<x<l；因為q：i>l,解得0<x<l,故p是q的充要條件，故A正確；對于8,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，P(X<0)=P(X>4)=1-P(X<4)=0.16,故B正確；對于C,當(dāng)k<舊時，a6U(pTr),故“a<是“k<遮”的既不充分也不必要條件，故C錯誤：對于D,相關(guān)系數(shù)網(wǎng)越接近1,表示線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故。正確.故選：C.根據(jù)充分必要條件的判斷，正態(tài)分布的特點(diǎn)以及相關(guān)系數(shù)逐一分析，即可求解.本題考查充分條件與必要條件、正態(tài)分布、直線的方程、相關(guān)系數(shù)，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題..【答案】B

【解析】解：由圓M：一+丁2-2q%=8可得M圓心坐標(biāo)為(q,0),半徑為1屋+8,圓N：M+(y-i)2=4的圓以為n(0,1),半徑為2,由題意得+8=(號)2+G原)2,解得。2=1,圓M的半徑為3,\MN\=yja2+1=V2?則3-2<|MN|<3+2,故選：B.根據(jù)直線與圓相交的弦長公式，求出a的值，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用，以及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長公式求出a的值是解決本題的關(guān)鍵..【答案】C【解析】解：橢圓式+上-=l(m>9)的右焦點(diǎn)廠(3,0),左焦點(diǎn)尸式一3,0),過橢圓右焦點(diǎn)F的圓，圓心C,半徑為R,連接OC,則OC為AFQFi中位線，由C與圓0外切，則|OC|=2+R,由|0Q|=2\OC\,則向Q|=4+2R,貝”FiQ|-|QF|=4+2R-2R=4，則Q的軌跡為以凡居為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且雙曲線的右頂點(diǎn)為(2,0),???P為曲線C上的一動點(diǎn)，則|FP|長度最小值為尸到右頂點(diǎn)的距離等于L故選：C.設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)尸的圓的圓心為C,半徑為R,由題意可知：\OC\=2+R,由|6Q|=2\OC\,則|&Q|=4+2R,則|&Q|-|QF|=4+2R-2R=4,根據(jù)雙曲線的定義可得Q的軌跡，數(shù)形結(jié)合得答案.本題考查橢圓的性質(zhì)，考查雙曲線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.5.【答案】[0,+8)【解析】解：：全集U=R,A=(—00,0),???CUA=[0,+oo).故答案為：。+8).利用補(bǔ)集定義、不等式的性質(zhì)直接求解.本題考查集合的運(yùn)算，考查補(bǔ)集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.6.【答案】(一(0)【解析】解：拋物線y2=—2x,開口向左，p=l,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(一0),故答案為：(一：,0).根據(jù)拋物線的方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值，確定開口方向，從而寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于容易題..【答案】一6【解析】解：??,直線3x-my+1=0與L：y=2x+l互相垂直，???它們的斜率之積等于一1,即三x2=—l,求得巾=一6,m故答案為：—6.由題意，利用兩條直線垂直的性質(zhì)，計算求得m的值.本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題..【答案】82【解析】解：由表可知：98+D=180,解得：D=82.故答案為：82.根據(jù)2x2列聯(lián)表的性質(zhì)列式計算即可.本題考查2x2列聯(lián)表的計算，是基礎(chǔ)題..【答案】i【解析】解：?.?隨機(jī)變量X服從二項分布B(4,p),P(X=2)=j,C^pz(l-p)2=解得p=o L故答案為：根據(jù)已知條件，結(jié)合二項分布的概率公式，即可求解.本題主要考查二項分布的概率公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.10.【答案W【解析】解：設(shè)某種寵物小狗活到18歲的事件為4活到25歲的事件為B,由題意可知，P(4)=0.6,P(AB)=0.2,故答案為：根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解.本題主要考查條件概率公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.11.【答案】25【解析】解：???隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X?N(8,02),???P(XN8)=3,由P(6<x<8)=n,得P(8<x<10)=n,又P(x>10)=m,???m+n=a，且m>0,n>0,則上+-=2(—+-)(m+n)=17+-+—>17+2l-x—=25.2mn2mn mn ymn當(dāng)且僅當(dāng)強(qiáng)=詈,即血=/，n=：時等號成立.???~+:的最小值為25.2mn故答案為：25.由正態(tài)分布曲線的對稱性求出m+n=%再由基本不等式求最值.本題考查正態(tài)分布曲線的對稱性，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.12.【答案】y=2x+4【解析】解：?變量y與x線性相關(guān)，y與x的線性回歸直線的斜率為2,???可設(shè)線性回歸方程為y=2%+a，v%=3,y=10?10=6+a，解得a=4，故線性回歸方程為y=2x+4.故答案為：y=2x+4.根據(jù)已知條件，先設(shè)出線性回歸方程為y=2x+a，再結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解.本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題..【答案】45【解析】解：因為(l+x+器)1°表示的是10個(l+x+篇)因式的乘積，所以從10個因式中選2個X,剩下選8個1即可求出展開式中含/的項的系數(shù)，即為/?瑞=45,故答案為：45.因為(1+x+袋)1°表示的是10個(1+x+溪)因式的乘積，所以從10個因式中選2個X,剩下選8個1即可求出展開式中含/的項的系數(shù)，由此即可求解.本題考查了二項式定理的應(yīng)用，涉及到組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題..【答案】120【解析】解：根據(jù)題意分2種情況討論：①若小張或小趙入選，則有選法6廢&=96；②若小張、小趙都入選，則有選法G掰=24,共有選法96+24=120種.故答案為：120.根據(jù)題意，小張和小趙只能從事前兩項工作，由此分2種情況討論，①若小張或小趙入選，②若小張、小趙都入選，分別計算其情況數(shù)目，由加法原理，計算可得答案.本題考查組合、排列的綜合運(yùn)用，涉及分類討論的思想，注意按一定順序，做到不重不漏..【答案】6【解析】解：在橢圓式+藝=1中，a=41=3,c=V7，則點(diǎn)Fi(-V7,0),F2(V7,0)，16 9設(shè)點(diǎn)P(x,y),則y2=9—誓，其中-4WxW4,①若點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)，則仍&|=仍尸2|，此時AF]F2P為等腰三角形，此時滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)為2；②若點(diǎn)P滿足仍加=I&F2I=2V7,則|P/y=J(x-V7)2+y2=Jx2-21/7%+7+9-—x=2a/7,解得x=1^-86（—4,4）,此時滿足條件的點(diǎn)P有2個；③若點(diǎn)P滿足|Pa|=IF1F2I，同②可知滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)為2;綜上所述，使得AaF2P為等腰三角形的個數(shù)是6.故答案為：6.分!=\PF2\.\PF2\=I&F2I、|PFi|=|尸/2|三種情況討論,求出對應(yīng)的點(diǎn)P的個數(shù),即可得解.本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題..【答案】一去篇【解析】解：由橢圓的對稱性可知：kAP1-kAPi042=kAPi?程匕=熹?*=/4:1同理可得：kAP2-kAP4041=kAP2-kAP4040=■■■=kAP2021-kAP2022=所以4042條直線APi，AP2,-143042的斜率乘積為（一｝2。21=一嬴.故答案為：一總五.1,2利用橢圓的對稱性，求出服Pz.%p41Ml=kAp3-kAPww=…=kAp202l-kAp2022=--^=一%從而得到答案.本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題..【答案】解：（1）由題意知，CjM=BG=BC=2, BxAxM或其補(bǔ)角即為異面直線&M和Ci。1所成的角,由長方體的性質(zhì)可知，A/L平面313CC1，yfrj ,—:.=—*11A1B12 4即異面直線41M和65所成角的正切值為雷.證明：（2）由題意可知，BC=B1C1=2,GM=2,CC1=4,???CM=2,BrM=BM=VBC2+CM2=2V2.在AaBM中，BBl=BM2+BrM2,乙BMBi=90°,即BM1BtM,又???Ai/1平面BiBCG，可得1BM,且Cl4a=Br,：.BM_L平面&B1M.【解析】（1）因為為&〃6。1，所以/Bi&M或其補(bǔ)角即為異面直線為M和Ci。1所成的角,結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求解.（2）利用勾股定理可證得又4S11BM,且當(dāng)Mn4避1=%,利用線面垂直的判定定理即可證得BM平面&B1M.本題主要考查了異面直線所成的角，以及線面垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題..【答案】解：（1）①展開式的二項式系數(shù)和為220。，②因為|即|+同+\a2\+…+|a2ool的值與二項式（2x+I/。。的展開式的各項系數(shù)和相等，所以令x=1,則|a0|+la/+|a2|+…+|。20。1=（2+I）200=3200?令x=O則|a（）|=1,所以|a/+|。2|+…+|。20。1=32°°—1；（2）二項式（x+2）n的展開式的通項公式為Tr+1=CA2"n-r,r=0,1，…，n,設(shè)第r+1的系數(shù)最大，則二］，解得等wrw等，vCn?ZCn,Z s s由已知r=9,代入解得n=13或14.【解析】（1）①根據(jù)二項式系數(shù)和公式即可求解；②因為“|+|%|+出|+…+|。20。1的值與二項式（2x+I/。。的展開式的各項系數(shù)和相等，再分別令x=0,x=1,建立方程即可求解；（2）求出展開式的通項公式，設(shè)第r+1項的系數(shù)最大，然后根據(jù)通項公式建立不等式組，令r=9,由此即可求解.本題考查了二項式定理的應(yīng)用，涉及到與系數(shù)最大有關(guān)的問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題..【答案】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100,則P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8x(1-0.6)=0.32P(X=100)=0.8x0.6=0.48,所以X的分布列為：X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知小明先回答4類問題累計得分的期望為E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,若小明先回答B(yǎng)類問題，記丫為小明的累計得分，則丫的所有可能取值為o,so,loo,p(y=0)=1—0.6=0.4,P(Y=80)=0.6X(1-0.8)=0.12,P(y=100)=0.6x0.8=0.48,則丫的期望為E(y)=0x0.4+80x0.12+100X0.48=57.6,因為E(Y)>E(X),所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.【解析】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.(1)由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100,分別求出對應(yīng)的概率即可求解分布列；⑵由(1)可得E(x),若小明先回答B(yǎng)類問題，記丫為小明的累計得分，丫的所有可能取值為0,80,100,分別求出對應(yīng)的概率，從而可得E(Y),比較E(X)與E(Y)的大小，即可得出結(jié)論..【答案】解：(1)雙曲線/一，=l(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,a=l,c2=1+b2,直線，過尸2且與雙曲線交于A,8兩點(diǎn)，直線1的傾斜角為(AFiAB是等邊三角形,可得：A(c,b2),可得：y.2/)2=2c,3b4=4(a2+b2),

即3b4-482一4=0,b>0,解得爐=2.所求雙曲線方程為：/_1=1,其漸近線方程為y=±V2x.(2)證明：設(shè)P(Xo，，y。)，雙曲線/一￡=l(b>0)的漸近線方程為bx土y=0,則點(diǎn)P到直線bx+y=0的距離為四=點(diǎn)P到直線bx-y=0的距離為d?=l^o-y0|Vd2+1所以心42=所以心42=雷.甯H一治b2+l9又或一普=L所以〃詔一泊=「所以d/2=筆瀉=急,所以點(diǎn)P到雙曲線兩漸近線的距離之積為定值，該定值乒；b￡+l(3)b=2應(yīng)，雙曲線/一1=1,可得&(一3,0),F2(3,0).8設(shè)4(//1)，B(x2.y2)>直線的斜率為：k=”，人21*1直線/的方程為：y=k(x—3),(y~~kx3k2y2,,消去y可得：(8-1)/+6/￡2》一9^一8=0,x-T=1A=36k4-4x(8-k2X-9k2-8)=4(64/+64)>0,可得%+X2=黑，則yi+y2=k(Xi+x2-4)=k(黑-6)=舞?M= +2,yi)>福=(不+2,y2).(不f+瓦萬)-AB=0可得：(xi+x2+6,yi+y2)-(Xj-x2,y1-y2)=0>可得Xi+乃+6+(yi+yz)k=0,得目+6+目/=°可得：/=￡解得k=土等.，的斜率為：土等.【解析】(1)利用直線的傾斜角，求出4B,利用三角形是正三角形，求解b,即可得到雙曲線方程.(2)設(shè)p(x°,,yo)，求出p到兩漸近線的距離，可證點(diǎn)P到雙曲線兩漸近線的距離之積為定值，可求出定值：(3)求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，推出4、8坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0,即可求得直線的斜率.本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，平方差法以及直線與雙曲線方程聯(lián)立求解方法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.21.【答案】解：(1)設(shè)P(Xo，yo)，41(一傷,0)，i42(V6,0).因為P為橢圓C上一點(diǎn)，所以近+%=1,6 3所以犬=3—日,所以刈=忍心=4所以七七=-A='』=孚-=二=一工，12 x0+\/6X0->/6Xq-6Xq-62故心為定值一也(2)設(shè)弦的兩個端點(diǎn)分別為PQi，%),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),則1,①磅+理=1,②TOC\o"1-5"\h\z6 3J所以①一②得：.yl-yl_0,6 3一，即空+痣孑5(%+力)=°，因為Xi+》2=2x,yi+y2=2y, 1,所以x+2y=0.由于弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，(X2y