2022-2023學(xué)年上海高二上學(xué)期數(shù)學(xué)同步練高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)摸底考試卷(滬教版2020)(解析版)

高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)摸底考試卷（滬教版2020）（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）測(cè)試范圍：必修二+必修三前兩章考生注意：.本試卷含三個(gè)大題，共21題.答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效..除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟.一、填空題.若復(fù)數(shù)Z滿足z=i（2-z）（i為虛數(shù)單位），則忖=.【答案】&=0.【分析】計(jì)算出Z再計(jì)算模長即可.=0.【詳解】z=i(2-z)=>z=2i—iz=>(1+i)z=2i=>故答案為：及【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及模長運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型..已知向量忖=6,g為單位向量，當(dāng)向量￡、'的夾角等于45°時(shí)，則向量Z在向量W上的數(shù)量投影是.【答案】3&【分析】根據(jù)向量在向量上投影的數(shù)量公式求解.【詳解】I可量a在」"J量e上的數(shù)量投影是|a\-cos<a,e>=6xcos45°=3及，故答案為：3&.若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，則圓柱的體積為.【答案】-【詳解】由題意可得，圓柱的高為h=4,不妨設(shè)底面圓半徑為r,所以2m'=4,y=%產(chǎn).〃=1.（2）2.4=3.答案：更71 71 71.空間四邊形4以力中，=CD且仍與僅所成角為60°,E,尸分別是6C,/〃的中點(diǎn)，則）與力力所成角的大小為.【答案】30P或60°【分析】設(shè)8。的中點(diǎn)為H，連接利用等腰三角形可求跖與1晰成角的大小.

【詳解】設(shè)80【詳解】設(shè)80的中點(diǎn)為連接EH,尸H,BA因?yàn)锽E=EC,BH=HD,故EH"CD,EH='CD,，［理 FH//AB.FH故NEHF或其補(bǔ)角為｛西所成角，而48與以所成角為60。，故NEHF=60?；騈EHF=120°,若NEHF=60。，因?yàn)锳5=C￡）,故EH=FH,故a￡H尸為等邊三角形，故N￡777=60°,因?yàn)?77//AB,故正與力晰成角即為NEFH或其補(bǔ)角，故牙與48所成角為60。，若NEHF=120。，則aEWF為等腰三角形，故N￡F”=30°,因?yàn)镕H//AB,故牙與/斷成角即為NEFH或其補(bǔ)角，故跖與4月所成角為30°,故答案為：行或60。..如圖，平面。4BJ_平面a,OA<=a,OA=AB,ZOAB=\20°.平面a內(nèi)一點(diǎn)尸滿足PALPB,記直線砥平面曲的f成角為。，貝han。的最大值是.【分析】作出圖形，找出力線OP與平面所成的角，，證出尸A_L平面尸B”，得出PASH,得出點(diǎn)P的軌跡就是平面a內(nèi)以線段A”為直件的圓（A點(diǎn)除外），轉(zhuǎn)化成與圓有關(guān)的最值問題，即可求出結(jié)果?過點(diǎn)8作B〃_LQ4,交。4的延長線于點(diǎn)“，連接P4,OP,取A”的中點(diǎn)為E,連接PE,過點(diǎn)尸作PrJ_04,垂足為F,???平面O4B-L平面a,且平面。/記口平面a=Q4,8Hu平面0A8,PFua,:.BHA.a.PF,平面。4B,，。尸在平面04BI:的射影就是宜線。4,故NAOP就是直線0P與平面OAB所成的角。，即ZAOP=0,vAP（za,:.AP工BH,又「PALPB,PBCBH=B,PB,BHu平面PBH,.?.叢_1平面2即/,：/77）=平面P由/,，上4_1/>〃，故點(diǎn)尸的軌跡就是平面a內(nèi)以線段A"為直徑的圓（A點(diǎn)除外），-.OA=AB.RZOAB=120,ZBAH=60,設(shè)。4=a（a>0）,則 從而AH=AB-cos6（T=@,最大值，tan。有最大值，aPEPE 4V6tan”取得最大值為：而二夜—=屁￡（與二包故答案為：述.12.在三角形4比中，角4B,俄對(duì)的邊分別為a,b,諾仁105°,a=4也,4=45°,則b= 【答案】4【分析】山題意可得8=?,結(jié)合號(hào)=一二運(yùn)算求解.osinAsinB【詳解】由題意可褥B=S根據(jù)正弦定理：三=3,則/,=竺半=4o sinAsinB sinA故答案為：4..如圖，4O'B'是用斜二測(cè)畫法得到的aAOB的直觀圖，其中。A=2,OB1=3,則46的長度為.

B【答案】25AoA!B【答案】25AoA!【分析】在原圖形中作出A8,然后由勾股定理計(jì)算.【詳解】如圖，在原圖形中，。4=2,08=6,A8=G+G?=2廂，故答案為：2M.smagcos￡=gsmagcos￡=g,則cos(a-Q)=【答案】喏【分析】根據(jù)角度范圍，利用同角二角函數(shù)關(guān)系式，先確定cos。，sin夕的值，在用兩角余弦和差公式求解即可.【詳解】【詳解】解：Q*般!0,3,sina=cosy5=-5 2cosa-Vl-sin2a=(,sin/?=^/1-cos2p=—???cos(a-0=8sa?8s夕+sina?si"=3；+?等=*.故答案為：嚕9.已知向量5=(3,6),6=(3,-4),則Q在方方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】【答案】91259~5~【分析】苜先求出存卻再根據(jù)平面向量投影的定義同cos"含計(jì)算即可.1*1【詳解】解：向量。=（3,6）,5=（3,-4）,所以</石=9-24=-15,忖=府+1）2=5,則，在5方向上的投影的坐標(biāo)為同889.金=^^.含=-^><；（3,-4）=（-：，4.\b\ |t!||t>| 5 5 \557故答案為：卜d）..關(guān)于z的實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+bz+c=0的一根為l+&i,貝"=.【答案】4【分析】由實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛數(shù)根成對(duì)出現(xiàn)得另一根為l-6i，再由根與系數(shù)關(guān)系得結(jié)論.【詳解】由題意方程另一—根為1-Gi,所以c=（l+后）（1-后）=4.故答案為：4..在aABC中，AC=3,BC=4,三角形的面積等于3石，則AB的長為.【答案】屈或屈【分析】由面積公式求出sinC,即可得到C,再利用余弦定理計(jì)算可得：【詳解】解：因?yàn)?C=3,BC=4且三角形的面積等于36，所以S.ABc=；a6sinC=；x3x4xsinC=36，所以sinC=#，因?yàn)閏?o7）,所以c=q或c=,，當(dāng)C=工時(shí)，由余弦定理?2=/+從-2他cosC=9+16-2x3x4xg=13,所以c=Ji§；當(dāng)。=與時(shí)，由余弦定理c2=/+6-2"cosC=9+16-2x3x4x（-￡|=37,所以c=A；故答案為：厲或折'12.給出下列命題：①若兩條不同的直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；②若兩個(gè)不同的平面同時(shí)垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面互相平行；③若兩個(gè)不同的平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相垂直；④若兩條不同的直線同時(shí)垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線互相平行；其中所有錯(cuò)誤命題的序號(hào)為.【答案】①@【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷.【詳解】垂直于同一條直線的兩條直線可能相交、可能平行、也可能異面，①錯(cuò)；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，②正確；垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能平行也可能相交，③錯(cuò)：垂直于同一平面的兩條直線平行，④正確.故答案為：(D@.二、單選題13.為了得到函數(shù)/(x)=sin(3x-()的圖像，需對(duì)函數(shù)g(x)=sinx的圖像所作的變換可以為()A.先將圖像上所有的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移力個(gè)單位B.先將圖像上所有的橫坐標(biāo)縮短為原來的g,縱坐標(biāo)不變，再向右平移'個(gè)單位C.先將圖像上所有的橫坐標(biāo)縮短為原來的;，縱坐標(biāo)不變，再向左平移￡個(gè)單位3 47TD.先將圖像上所有的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移;個(gè)單位4【答案】B【分析】根據(jù)圖像變換逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,先將g(x)=sinx的圖像上所有的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移三個(gè)單位，所得圖像的解析式為￥=sin國x+S]]=sinRx+g,12 |_3\12)\ 13 36)故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,先將g(x)=sinx的圖像上所有的橫坐標(biāo)縮短為原來的;，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位，所得圖像的解析式為y=sin3卜-高=sin(3x-；)故B正確：對(duì)于C,先將g(x)=sinx的圖像上所有的橫坐標(biāo)縮短為原來的?，縱坐標(biāo)不變，再向左平移;個(gè)單位,所得圖像的解析式為y=sin3(x+?)]=sin(3x+與)故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,先將g(x)=sinx的圖像上所有的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移?個(gè)單位，所得圖像的解析式為尸sin'k-力卜singx-2),故D錯(cuò)誤；故選：B..下列函數(shù)中，在其定義域上是偶函數(shù)的是(y=sinxyy=sinxy=|sinx|y=tanxy=cos【答案】B【分析】根據(jù)奇偶性定義，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性可直接得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A,；y=sinx定義域?yàn)镽.sin(-x)=-sinx,??.y=sinx為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,???丁=卜由目定義域?yàn)镽,向(一力|二|一sinx|=kinR,.?.丁=卜訪M為偶函數(shù)，B正確；對(duì)于c,???y=tanx定義域?yàn)?;r-*;r+9(keZ),即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，tan(-x)=-tanx,??.y=tanx為奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,???丫=85卜-3=51以定義域?yàn)榭?，sin(-x)=-sinx,.,.y=cos(x-:1')為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：B..己知/、用、〃是空間三條直線，則下列命題正確的是A.若///m,1//n,則///nB.若/_)_〃，7±/?,則m//nC.若點(diǎn)4、壞在直線/上，且到/的距離相等，則直線46〃1D.若三條直線人m、〃兩兩相交，則直線/、如〃共面【答案】A【詳解】分析：由公理4可判斷A,利用空間直線之間的位置關(guān)系可判斷B,C,D的正誤，從而得到答案.詳解：由公理4可知A正確；若l_Lm,l_Ln,則m〃n或m與n相交或異面，故B錯(cuò)誤；若點(diǎn)A、B不在直線1上，且到1的距離相等，則直線AB〃1或AB與1異面，故C錯(cuò)誤；若三條直線I,m,n兩兩相交，且不共點(diǎn)，則直線1,m,n共面，故D錯(cuò)誤.故選A.點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，掌握空間直線的位置關(guān)系是判斷的基礎(chǔ)，對(duì)于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進(jìn)行排除，判斷.還可以畫出樣圖進(jìn)行判斷，利用常見的立體圖形，將點(diǎn)線面放入特殊圖形，進(jìn)行直觀判斷..已知q,e2是平面向量的一個(gè)基底，設(shè)非零向量￡=xM+y同，b=x2et+y2e^,給出下列兩個(gè)命題：@allbx,y2=Xjj,；(2)a±^<=>xlx!+y1j2=0,則( )A.①②均正確 B.①②均錯(cuò)誤 C.①對(duì)②錯(cuò) D.①錯(cuò)②對(duì)

【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的共線定理與向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意可知，］，［都不為零向量，對(duì)于①，因。/泊，所以［高，即［*=1'2,消去4,得占%=&X，故①正確；對(duì)于②，由得￡%=(占1+乂］乂天1+刈月^二。，即西q2+y%022+(占％+&yJ4?e2=0，因?，備的夾角與模長都未知，所以為％+%%=。不?定成立，故②錯(cuò).故選：C.三、解答題.已知關(guān)于x的方程V-px+25=0(pwR)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根為陽、巧.(1)若p=8,求占、巧：(2)若為=3+4i,求。的值.【答案】(1)=4+3/,x2=4-3i；(2)p=6.【分析】(1)利用求根公式即可求解.(2)將再=3+4i代入方程即可求解.【詳解】(1)由題意得，A=p2-100=-36<0,. 8±7=368±V36?8±6i,…??x= = = =4±3zf2 2 2<％=4+3i,x2=4-3z.(2)已知關(guān)于x的方程f-px+25=0(pwR)的一根為％=3+4i,所以(3+4i)°-p(3+4/)+25=(18-3p)+(24-4p)i=0,所以18-3。=24-42=0,解得p=6.18.在邊長為3的正三角形沖，E,F,驗(yàn)別是陰AC,比邊上的點(diǎn)，且滿足A￡:￡B=C尸:E4=CP:依=1:2(如圖1),將~4￡尸沿牙折起到△4后尸的位置，使二面角A-EF-B成直二面角，連接AB, (如圖2)B圖1(1)求證：AE1?平面脈BB圖1(1)求證：AE1?平面脈B圖2C(2)求二面角B-AP-F的余弦值.7【答案】(1)證明見解析，(2)-(O【分析】(1)在圖1中，由余弦定理求出EF,根據(jù)勾股定理即可得EF_LAE,進(jìn)而在圖2中，可得AE1EF,乂平面AEF，平面以P,從而根據(jù)面面而也的性質(zhì)定理即可證明AE，平面BEP：(2)以EB、EF、EA,所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出面尸4尸與面納夕的?個(gè)法向量，然后利用向量法即可求解二面角B-AP-尸的余弦值.(1)證明：由題意，在圖1中AE=1,A尸=2,又NA=60。，所以由余弦定理可得EF=VAE2+AF2-2AExAFcosA=6,所以AE?+e尸2=aU，所以所以在圖2中，A.E1EF,因?yàn)槎娼茿-EF-B為直二面角，即平面AE尸，平面期，又平面AEFD平面跳7三所，AEu平面AEF,所以平面BEP；(2)解：分別以￡B、EF、E4,所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系E一孫z,則E(0,0,0),B(2,0,0),尸(1,60),A(。，0,1),F(0,73,0),AF=(0,73,-1),PF=(-1,0,0),SA=(-2,0,J),BP=(-l,V3,0),設(shè)面尸A。的法向量為tn=(x,y,z),則｛——. >取y=l,得m=(0,1,有)，設(shè)面BA，的法向量為?i=(x,y,z),n-BA=-2x+z=0 _ 〃 _則｛_r，取y=i,得3=(G,1,2>/3),nBP=-x+\/3y=0

--m-n--m-n麗lxl+6x2百-2x4―由圖可知二面角B-AP-尸為鈍二面角,7所以二面角B-ap-尸的余弦值為-6.O19.已知“比*的內(nèi)角力、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知$=(2n,2Z?),。=(cosB,cosA)且滿足玩?萬= cosC(1)求G(2)若c=3,求當(dāng)函數(shù)/(3)=8s25-4cosCsinB取最小值時(shí)“IBC的周長;(3)求sinAsinB的取值范圍.【答案】(1)y;(2)3+3白：(3)(05.【分析】(1)先由題中條件，得至lj2acosB+力cosA=-J,再由正弦定理將該式變形整cosC理，求出cosC,即可得出角C；(2)先將，(B)化簡(jiǎn)整理,得到/(B)=(2)先將，(B)化簡(jiǎn)整理,得到/(B)=而可求出各邊長，得到三角形的周長；⑶先由⑴得到8=*A,Ae(0,|不),招所求式子化為sinAsinB=sinAsin(/-A),化簡(jiǎn)整理后，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出其范圍.【詳解】(1)由題意可得2二=2acosB+2bcosA=—乙，cosCTOC\o"1-5"\h\z根據(jù)正弦定理可得2sinAcos8+2sin8cosA=^^,則2sin(A+B)=^^,cosC cosC所以2sinC=%,又C為三角形內(nèi)角，所以Ce(O,*),因此cosC=1，所以C=1；cosC 2 3(2)因?yàn)?(8)=cos2B_4cosCsin8=1-2§"8一2sinB=-2卜in8+g)+-|?由C=J可得o<8(耳，因此OvsinB^l；所以當(dāng)且僅"jsin8=1時(shí)，3 3/(8)=-21inB+g)+|取得最小值，此時(shí)8=不因?yàn)閏=3,所以占=荒=2石，a=6cosCS則aABC的周長為a+/?+c=3+3G;（3）因?yàn)镃=（,（3）因?yàn)镃=（,所以人與-A，Ae（。爭(zhēng)卜7T因此sinAsin8=sinAsin-41=sinA使cosA+Lin4=—sin2A+lsin2A=sin2A+；(1一cos2A)=gsin(2A一菅1

十一,

4因?yàn)锳c7因?yàn)锳c7 1。丁，所以2A-}3) 6nIn6’6因此sin所以;因此sin所以;sin(2A_^)+；71