三角形四心概念與性質(zhì)

..三角形"四心"概念及性質(zhì)重心垂心外心內(nèi)心定義三角形的三條______的交點(diǎn)。三角形的三條_____的交點(diǎn)。三角形的______的圓心,也就是三角形三邊的______的交點(diǎn)。三角形的______的圓心,也就是三角形三內(nèi)角的______的交點(diǎn)。圖形性質(zhì)三角形的重心分中線(xiàn)比為_(kāi)_____。三角形的外心到_____距離相等。三角形的內(nèi)心到______距離相等。與三角形的位置關(guān)系必在三角形的_______。銳角三角形在_____,鈍角三角形在____,直角三角形在_____。銳角三角形在____,鈍角三角形在_____,直角三角形在_____。必在三角形的______。

〔學(xué)生填表時(shí),教師巡視,看到有的學(xué)生不會(huì)填"四心"位置,啟發(fā)他們多畫(huà)幾個(gè)不同形狀的三角形試試,讓學(xué)生會(huì)從特殊到一般的思想方法。

師：三角形的重心有什么性質(zhì)？

生甲：分中線(xiàn)為1:2。

生乙：分中線(xiàn)為3:1。

師：應(yīng)當(dāng)把重心看成中線(xiàn)的內(nèi)分點(diǎn),即頂點(diǎn)到重心與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是2:1。三角形的垂心性質(zhì),課本上沒(méi)有明確提出過(guò),不必填上。但如果題中有兩條以上的高線(xiàn),就應(yīng)想到"四點(diǎn)共圓"。如圖1,H是垂心,有幾組四點(diǎn)共圓？〔學(xué)生回答略。

師：外心與內(nèi)心各有什么性質(zhì)？〔學(xué)生回答略。[通過(guò)上述問(wèn)題的討論,讓學(xué)生從對(duì)比中認(rèn)識(shí)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)直線(xiàn)距離的區(qū)別,從而更好地理解概念,加深印象。]

〔教師在黑板上畫(huà)一個(gè)直角三角形,一個(gè)鈍角三角形,讓學(xué)生上黑板作垂心,然后歸納總結(jié)。

師：銳角三角形的垂心必在形內(nèi),鈍角三角形的垂心必在形外,直角三角形的垂心就是直角頂點(diǎn)。[通過(guò)實(shí)際畫(huà)圖,強(qiáng)化垂心可能在形外的情況,練一遍勝過(guò)背幾遍。]

師：至于外心,請(qǐng)同學(xué)們課后用同樣的方法畫(huà)幾個(gè)不同形狀的三角形來(lái)驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

上面,我們歸納了"四心"中每個(gè)"心"與三角形的相對(duì)位置關(guān)系。下面,我們?cè)倏紤]"四心"在同一三角形中的位置有什么關(guān)系？先考慮在等腰三角形中"四心"的位置關(guān)系。

生：都在同一條直線(xiàn)上。

師：在哪一條直線(xiàn)上？

生：在底邊上的中線(xiàn)或底邊上的高或頂角的平分線(xiàn)上。

師：對(duì)！三線(xiàn)合一,"四心"在三角形的對(duì)稱(chēng)軸上。

師：等邊三角形的"四心"位置又有什么關(guān)系呢？

生：都重合成一個(gè)點(diǎn)了。

師：這"四心"共點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)叫什么名稱(chēng)？

生："中心",

師：等邊三角形叫做正三角形。正三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心重合成一個(gè)點(diǎn),就是正三角形的"中心"。"中心"是正多邊形所特有的,不是正多邊形就沒(méi)有中心。因此三角形中只有等邊三角形才有中心,其他三角形都沒(méi)有中心。[把課本中學(xué)過(guò)的幾個(gè)"心"都串起來(lái)了,揭示出其內(nèi)在的聯(lián)系,讓學(xué)生能夠系統(tǒng)地掌握知識(shí)。]二、練習(xí)

師：我們先做下面的練習(xí)：已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13,那么垂心到外心的距離是多少？

生：6.5。

師：怎么得到的？

生：如圖2,因?yàn)橐阎切问侵苯侨切?外心是斜邊的中點(diǎn),垂心是直角頂點(diǎn),所以,此兩"心"距離是斜邊中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離,利用直角三角形斜邊上中線(xiàn)等于斜邊一半的性質(zhì),便可得出已知三角形的垂心到外心的距離為。

師：為什么已知三角形是直角三角形呢？

生甲：根據(jù)勾股定理得出。

師：對(duì)不對(duì)？

〔生甲一時(shí)回答不出。

生乙：不對(duì),應(yīng)是根據(jù)勾股定理的逆定理。

師：對(duì)！回答推理根據(jù)時(shí),要弄清是勾股定理還是勾股定理的逆定理。

〔教師讓學(xué)生敘述勾股定理還是勾股定理的,分析其區(qū)別與聯(lián)系。

師：重心到垂心的距離是多少？

生：。

師：為什么乘以？

生：根據(jù)重心性質(zhì)。

師：性質(zhì)是2:1,而現(xiàn)在是2:3,其中有什么關(guān)系？請(qǐng)大家觀察圖3進(jìn)行思考。[提出這個(gè)問(wèn)題的目的,是為了幫助中、下程度的學(xué)生進(jìn)一步理解線(xiàn)段比的變化,明白解題的道理。]

師：垂心到最大邊的距離是多少？先請(qǐng)同學(xué)們思考一下,這距離應(yīng)是圖2中哪條線(xiàn)段的長(zhǎng)度？

生甲：是斜邊上的高。

師：怎樣計(jì)算斜邊上的高呢？

生甲：可以用相似形計(jì)算。

師：有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的辦法？

生乙：利用面積計(jì)算。

∵S△,

師：利用面積解題是一種常用的辦法,同學(xué)們應(yīng)對(duì)此引起足夠的重視,靈活地加以運(yùn)用。

重心到最長(zhǎng)邊的距離是多少？

生：如圖4,重心到最長(zhǎng)邊的距離是指GH的長(zhǎng),通過(guò)兩線(xiàn)平行,對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例的性質(zhì),可計(jì)算出GH的長(zhǎng)為即,結(jié)果是。

師：對(duì)！這里同樣也到了重心的性質(zhì)。[反復(fù)運(yùn)用重心性質(zhì),有利于學(xué)生記憶和靈活應(yīng)用。]

師：外心到最短邊的距離是多少？

生：如圖5,外心到最短的距離為。

〔反應(yīng)快的學(xué)生脫口而出是6,教師追問(wèn)其理由,并順便復(fù)習(xí)有關(guān)定理。

師：內(nèi)心到重心的距離是多少？

〔學(xué)生交頭接耳,紛紛討論解題的方法,教師簡(jiǎn)要地指出解題的關(guān)鍵。

師：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵是求出內(nèi)切圓半徑r,然后,等腰直角三角形DIC中,求出內(nèi)心到垂心的距離CI,那么怎樣來(lái)求出r呢？請(qǐng)同學(xué)們思考一下。

生：根據(jù)我們以前在課堂練習(xí)中所做的題目,知道。

師：對(duì)！這是直角三角形的重要性質(zhì)之一,希望同學(xué)們牢記結(jié)論并學(xué)會(huì)運(yùn)用。

對(duì)于這道練習(xí)題的結(jié)論,我已換了不少問(wèn)法,也就是從一個(gè)問(wèn)題演變出其他一些問(wèn)題,這種"一題多變"與我們以前介紹過(guò)的"一題多解"方法一樣都是些好的學(xué)習(xí)方法。同學(xué)們做好題目后,可以思考一下,是否有其他解法——這就是"一題多解"；還可以思考一下,能否把已知條件或求解結(jié)論"變"一下——這就是"一題多變"。請(qǐng)大家模仿我剛才的做法試著變變看。當(dāng)然,有的題目改變以后,可能超過(guò)你們現(xiàn)有的知識(shí)范圍,解不出來(lái),這不要緊,同學(xué)們可以互相討論或者問(wèn)老師來(lái)加以解決。另外,剛才我是通過(guò)改變題目的結(jié)論來(lái)實(shí)現(xiàn)一題多變的,還可以改變題目的條件。譬如,剛才的知識(shí)水平,編不等邊三角形的題目比較難做,直角三角形的我已編過(guò),你們可以編等腰三角形的試試看,并說(shuō)出解題的基本思想。[要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué),不僅要求學(xué)生能一題多解,還要學(xué)生能"一題多變",這樣才能真正掌握概念,活學(xué)學(xué)活。教學(xué)中通過(guò)對(duì)命題結(jié)論的更改,引出新命題,可以培養(yǎng)學(xué)生思維的多發(fā)性；通過(guò)對(duì)命題條件的更改,引出新命題,可以培養(yǎng)學(xué)生思維探索性；通過(guò)特殊到一般及一般到特殊的聯(lián)想,可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性,跳躍性。所以說(shuō),"一題多變"是培養(yǎng)學(xué)生思維的一種有效手段。]

生丙：三角形三邊長(zhǎng)為6、6、5,求：〔1三角形外心到重心的距離；〔2三角形外心到最短邊的距離。

這道題的關(guān)鍵是求外接圓半徑R,用三角形面積公式S△很方便,也可以用正弦定理。

生?。喝切稳呴L(zhǎng)為10、10、。求：〔1三角形外心到重心的距離？〔2三角形內(nèi)心到最長(zhǎng)邊的距離？

這道題實(shí)際上是兩個(gè)三邊長(zhǎng)為的直角三角形拼成的等腰三角形。第〔2小題是求此等腰三角形的內(nèi)切圓半徑,如圖7,可用面積公式S△=rs求,即；還可以利用等腰三角形三線(xiàn)合一,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,列出方程來(lái)解。

師：好！具體如何解這兩道題,留給大家作課外練習(xí),答案明天公布在黑板報(bào)上。小結(jié)

師：三角形的主要線(xiàn)段——中線(xiàn)、高、內(nèi)角平分線(xiàn)及各邊的垂直平分線(xiàn)各交于一點(diǎn),這是客觀規(guī)律。人們掌握了這一規(guī)律后,為了斜述方便,給它們?nèi)×嗣帧切蔚闹匦?、垂心、?nèi)心、外心。這"四心"不要混淆,中線(xiàn)是"重心"〔"中"與"重"諧音,高線(xiàn)是垂心〔高與垂直有關(guān),外接圓圓心是外心,因它到三角形三頂點(diǎn)距離相等,故必是三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)。內(nèi)切圓圓心是內(nèi)心,因它到三角形三邊距離相等,所以它必在三內(nèi)角的平分線(xiàn)上。[這小結(jié)不是簡(jiǎn)單的重復(fù),而是告訴學(xué)生"四心"的來(lái)歷及記憶辦法,對(duì)學(xué)得差的學(xué)生尤有幫助。]

師："四心"在同一三角形中的位置關(guān)系是：等腰三角形中"四心"共線(xiàn),在對(duì)稱(chēng)軸上。等邊三角形中"四心"共點(diǎn),稱(chēng)為"中心"。

師：任意三角形中"四心"又有什么位置關(guān)系呢？同學(xué)們可以畫(huà)圖試試看,是否有三"心"在一直線(xiàn)上。然后設(shè)法自己證明一下你的結(jié)論。[其實(shí)從例題中就可以看出,直角三角形的外心、垂心在一直線(xiàn)上,故可以猜想任意三角形的此三"心"共線(xiàn),這樣給學(xué)有余力的學(xué)生留下了一道結(jié)論未確定的半開(kāi)放性習(xí)題。]

師："一題多變"是一種好的學(xué)習(xí)辦法。同學(xué)們解好題后要多思、多回味,養(yǎng)成"一題多變"的思考習(xí)慣。"一題多變"可以變題目的結(jié)論,也可以變題目的條件,你們經(jīng)常這樣訓(xùn)練自己,就可以從被動(dòng)的做習(xí)題變?yōu)橹鲃?dòng)的想問(wèn)題,就能真正做到舉一反三,靈活運(yùn)用。作業(yè)布置：略。教案說(shuō)明

這是一堂復(fù)習(xí)課。我們是怎樣想到設(shè)計(jì)這一堂課的呢？

一是調(diào)查了學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。覺(jué)得"四心"在課本中是分散在幾個(gè)章節(jié)里講解的,相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)"四心"概念的理解是混淆不清,因此有必要花一堂課幫助學(xué)生歸納整理。

二是從教學(xué)目的上考慮到數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅僅是向?qū)W生傳授知識(shí),還必須培養(yǎng)學(xué)生的能力。學(xué)生從初一到初三,隨著年齡、知識(shí)的增長(zhǎng),思維能力已有一定的提高。但還未達(dá)到質(zhì)的飛躍。大部分學(xué)生為解題而解題,解完題后不善于思索,回味,不善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn),思維是"被動(dòng)型"的。為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,我們覺(jué)得有必要在以前講過(guò)的"一題多解"的基礎(chǔ)上,向?qū)W生介紹"一題多變"的學(xué)習(xí)方法,變"被動(dòng)型"思維為"主動(dòng)型"思維。

三是從課的類(lèi)型及內(nèi)容上看,復(fù)習(xí)課如果光列些條頭糕式的概念,學(xué)生聽(tīng)起來(lái)沒(méi)勁,教學(xué)效果也不會(huì)好。于是便想到邊講概念邊練習(xí)、邊總結(jié)的辦法。在講例題的時(shí)候,避免了東一榔頭,西一棒子地讓學(xué)生做些題目的做法,而是采用"一題多變"的方法把一道題搞深搞透,即由5,12,13這一組勾股數(shù)引出一系列的變化,構(gòu)造出各類(lèi)不同的問(wèn)題,在"變"中求"深"。

四是從教育學(xué)、心理學(xué)角度看,初中學(xué)生注意力集中的時(shí)間不會(huì)太長(zhǎng),尤其是復(fù)習(xí)課,如果把它上成"炒冷飯"課,沒(méi)有什么新東西,就會(huì)使學(xué)生更容易感到厭倦。因此,在備課時(shí),就要開(kāi)動(dòng)腦筋,如何充分利用45分鐘,想方設(shè)法吸引學(xué)生的注意力,活躍他們的思維。到最后課快結(jié)束時(shí),也就是學(xué)生容易疲勞的時(shí)候,我卻剛把課引到了高潮,讓學(xué)生自己編題。大部分學(xué)生躍躍欲試,非常興奮,