2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講稿之第21講 向量的轉(zhuǎn)換與計(jì)算（原卷版）

第21講向量的轉(zhuǎn)換與計(jì)算一．選擇題（共1小題）1．是拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條斜率都存在且互相垂直的直線，，交拋物線于點(diǎn)，，交拋物線于點(diǎn)，，則的最小值是A．8 B． C．16 D．二．解答題（共14小題）2．已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，的同心在軸的正半軸上，且與軸相切，過原點(diǎn)作傾斜角為的直線，交于點(diǎn)，交于另一點(diǎn)，且．（Ⅰ）求和拋物線的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的相交線、，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)、，與拋物線相交于點(diǎn)、，求的最小值．3．已知拋物線過點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求其準(zhǔn)線方程；（2）是否存在平行于為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線，使得直線與的距離等于？若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由．（3）過拋物線的焦點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)，，與拋物線相交于點(diǎn)，，求的最小值．4．已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2，過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線、，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)、，與拋物線相交于點(diǎn)、．（1）求拋物線的方程；（2）求的最小值．5．如圖，已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，交于點(diǎn)，，拋物線的焦點(diǎn)為．（1）求的值；（2）記條件（1）所求拋物線為曲線，過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，設(shè)與曲線相交于點(diǎn)，，與曲線相交于點(diǎn)，，求的最小值．6．已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離的差等于1．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，設(shè)與軌跡相交于點(diǎn)，，與軌跡相交于點(diǎn)，，求的最小值．7．已知橢圓的方程為，為左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，設(shè)與橢圓相交于點(diǎn)，．與橢圓相交于點(diǎn)．，求的最小值．8．設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)圓過點(diǎn)且與直線相切．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，設(shè)與軌跡相交于點(diǎn)，，與軌跡相交于點(diǎn)，，求的最小值．9．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，并且經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)恰好是橢圓的右頂點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作兩條斜率都存在且互相垂直的直線、，交拋物線于點(diǎn)、，交拋物線于點(diǎn)、，求的最小值．10．已知兩點(diǎn)及，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且、、構(gòu)成等差數(shù)列．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是過原點(diǎn)的直線，是與垂直相交于點(diǎn)，與橢圓相交于，兩點(diǎn)的直線，，是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．如圖，已知點(diǎn)和圓，是圓的直徑，從左到右、和依次是的四等分點(diǎn)，（異于，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，交于，，直線與交于，為定值．（1）求點(diǎn)的軌跡曲線的方程及的值；（2）設(shè)是過原點(diǎn)的直線，直線與垂直相交于點(diǎn)，與軌跡相交于，兩點(diǎn)，且．是否存在直線，使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上，若右焦點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是過原點(diǎn)的直線，直線與垂直相交于點(diǎn)且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，，是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．如圖，已知點(diǎn)和圓，是圓的直徑，從左到右和依次是的四等分點(diǎn)，（異于、是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，交于，，直線與交于，為定值．（1）求的值及點(diǎn)的軌跡曲線的方程；（2）設(shè)是過原點(diǎn)的直線，是與垂直相交于點(diǎn)、與軌跡相交于，兩點(diǎn)的直線，，是否存在上述直線，使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)是過原點(diǎn)的直線，是與垂直相交于點(diǎn)、與橢圓相交于，兩點(diǎn)的直線，，是否存在上述直線使成立？若存在，求出