高數(shù)課件數(shù)列的極限

第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、小結(jié)習(xí)題第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、1“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)播放——?jiǎng)⒒找弧?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而2正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形3（2）截丈問(wèn)題“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”（2）截丈問(wèn)題“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”4例如2數(shù)列的定義例如2數(shù)列的定義5注意1數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)注意1數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一6播放3數(shù)列的極限播放3數(shù)列的極限7問(wèn)題當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確8高數(shù)課件數(shù)列的極限9如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意10幾何解釋其中幾何解釋其中11數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意12例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說(shuō)明:

取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可13例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為

0.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)14例4證所以說(shuō)明常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例4證所以說(shuō)明常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)用定義151唯一性定理1每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證法一:由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1唯一性定理1每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證法一:由16證法二:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證法二:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因172有界性例如,有界無(wú)界2有界性例如,有界無(wú)界18定理2收斂的數(shù)列必定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說(shuō)明:此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2收斂的數(shù)列必定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取19注意有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.注意有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.203.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取214子數(shù)列注意例如，定義4子數(shù)列注意例如，定義22三、小結(jié)習(xí)題數(shù)列研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限的“–N

”定義；

收斂數(shù)列的性質(zhì)有界性、唯一性、保號(hào)性;子數(shù)列的定義.三、小結(jié)習(xí)題數(shù)列研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極23解習(xí)題解答P312題解習(xí)題解答P312題24習(xí)題解答[返回習(xí)題]習(xí)題解答[返回習(xí)題]25習(xí)題解答P313題(3)證習(xí)題解答P313題(3)證26習(xí)題解答[返回習(xí)題]習(xí)題解答[返回習(xí)題]27作業(yè)P30-311(2),(4),(6),(8)第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P30-31第三節(jié)目錄上28（1）割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入（1）割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則29（1）割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入（1）割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則30“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找弧?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而31“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而32“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而33“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而34“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而35“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找弧?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而36“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而373數(shù)列的極限3數(shù)列的極限383數(shù)列的極限3數(shù)列的極限393數(shù)列的極限3數(shù)列的極限403數(shù)列的極限3數(shù)列的極限413數(shù)列的極限3數(shù)列的極限423數(shù)列的極限3數(shù)列的極限433數(shù)列的極限3數(shù)列的極限443數(shù)列的極限3數(shù)列的極限453數(shù)列的極限3數(shù)列的極限463數(shù)列的極限3數(shù)列的極限473數(shù)列的極限3數(shù)列的極限483數(shù)列的極限3數(shù)列的極限493數(shù)列的極限3數(shù)列的極限50第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、小結(jié)習(xí)題第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、51“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)播放——?jiǎng)⒒找弧?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而52正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形53（2）截丈問(wèn)題“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”（2）截丈問(wèn)題“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”54例如2數(shù)列的定義例如2數(shù)列的定義55注意1數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)注意1數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一56播放3數(shù)列的極限播放3數(shù)列的極限57問(wèn)題當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確58高數(shù)課件數(shù)列的極限59如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意60幾何解釋其中幾何解釋其中61數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意62例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說(shuō)明:

取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可63例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為

0.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)64例4證所以說(shuō)明常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例4證所以說(shuō)明常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)用定義651唯一性定理1每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證法一:由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1唯一性定理1每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證法一:由66證法二:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證法二:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因672有界性例如,有界無(wú)界2有界性例如,有界無(wú)界68定理2收斂的數(shù)列必定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說(shuō)明:此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2收斂的數(shù)列必定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取69注意有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.注意有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.703.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取714子數(shù)列注意例如，定義4子數(shù)列注意例如，定義72三、小結(jié)習(xí)題數(shù)列研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限的“–N

”定義；

收斂數(shù)列的性質(zhì)有界性、唯一性、保號(hào)性;子數(shù)列的定義.三、小結(jié)習(xí)題數(shù)列研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極73解習(xí)題解答P312題解習(xí)題解答P312題74習(xí)題解答[返回習(xí)題]習(xí)題解答[返回習(xí)題]75習(xí)題解答P313題(3)證習(xí)題解答P313題(3)證76習(xí)題解答[返回習(xí)題]習(xí)題解答[返回習(xí)題]77作業(yè)P30-311(2),(4),(6),(8)第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P30-31第三節(jié)目錄上78（1）割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入（1）割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則79（1）割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒找弧?shù)列極限的定義1概念的引入（1）割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則80“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而81“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找?、?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而82“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”（1）割圓術(shù)——?jiǎng)⒒找弧?shù)列極限的定義1概念的引入“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而83“割之