32不定積分的計(jì)算課件

T15求（2）解：

1T15求（2）解：1求解：2求解：233第二節(jié)不定積分的計(jì)算二、分部積分法一、換元積分法

——第二類換元法三、有理函數(shù)積分簡介4第二節(jié)不定積分的計(jì)算二、分部積分法一、換元積分法三、如利用三角公式去掉根號(hào),再利用第一換元法求解．=？5如利用三角公式去掉根號(hào),再利用第一換元法求解．=？5如果被積函數(shù)含有和，常令、、進(jìn)行代換去根式，這種方法稱為三角代換，它是第二類換元法的重要組成部分.

方法一：利用三角代換，變根式積分為三角有理積分6如果被積函數(shù)含有例1求解則（也可設(shè)）于是7例1求解則（也可設(shè)例2求解：則于是8例2求解：則則于是9則例3求解10例3求解10如果被積函數(shù)含有可令進(jìn)行代換去根式；

方法二：利用根式代換，變根式積分為多項(xiàng)式積分令得即所以例4求解：11如果被積函數(shù)含有可令進(jìn)行代換去根式；1212例5求解：所以13例5求解：所以13

方法三：倒代換方法，當(dāng)分母的最高次冪至少比分子高1次時(shí)利用倒代換方法方法。14方法三：倒代換方法，當(dāng)分母的最高次冪至少比分子高1

方法四：指數(shù)代換（適用于被積函數(shù)由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式。15方法四：指數(shù)代換（適用于被積函數(shù)由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的兩種換元積分法的異同：不同點(diǎn)：相同點(diǎn)：第一類換元積分法（湊微分法）是把被最后都必須還原變量。積式湊成某個(gè)函數(shù)的微分形式；類換元積分法是通過換元把積分化為容易求得原函數(shù)的積分。換元先后不同.而第二16兩種換元積分法的異同：不同點(diǎn)：相同點(diǎn)：分部積分公式當(dāng)不容易直接積出，而是一個(gè)換.這種求積分的方法叫做分部積分法.較為容易的積分時(shí)，可以采用這一公式作為轉(zhuǎn)三、分部積分法17分部積分公式當(dāng)不容例1求積分解（一）顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）18例1求積分解（一）顯然，選擇不當(dāng)，積分關(guān)于的拆分,一般地有：其余的作為dv；時(shí)，取u=p(x)(p(x)是多項(xiàng)式函數(shù)),（1）當(dāng)積分具有形式

p(x)dx,其余的作為u；等時(shí)，取dv=（2）當(dāng)積分具有形式（3）對于等，u,dv的拆分比較靈活.19關(guān)于的拆分,一般地有：其余的例2求積分解20例2求積分解20例3求積分解21例3求積分解21解例4求有些形式的不定積分需要接連使用多次分部積（再應(yīng)用分部積分公式）必須是相同類型的因子，否則將進(jìn)入循環(huán)積分過程.分法才能積出,這一過程需注意，每次選擇的u和dv22解例4求有些形式的不定積分需要接連使解有些積分在接連應(yīng)用多次分部積分后，會(huì)出現(xiàn)例5求移項(xiàng)并化簡，得與原來積分相同類型的項(xiàng)，經(jīng)過移項(xiàng)合并后，可得所求積分。注：本題若選取u=cosx,dv=exdx,會(huì)得到同樣的結(jié)果.23解有些積分在接連應(yīng)用多次分部積分后，會(huì)出現(xiàn)例解例6求先用換元法，令故從而再用分部積分法，得24解例6求先用換元法，令故從而1.有理函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)。（其中，且）①當(dāng)時(shí)，稱為真分式;當(dāng)時(shí)，稱為假分式。四、有理函數(shù)的積分251.有理函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)。（其中②假分式可以化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和。如：2.真分式的分解一般步驟：①對分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解②真分式化為部分分式之和(關(guān)鍵)。③確定待定常數(shù)（法1：通分，比較同冪項(xiàng)系數(shù)。法2：特殊值法）。26②假分式可以化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和。如：2.真分式的真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律:(1)

分母中若有因式，則分解后為其中為待定常數(shù)。（2）分母中若有因式，則分解后為其中為待定常數(shù)。27真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律:(1)

分母中若有因式解例1求設(shè)令，得令，得令，得，所以于是28解例1求設(shè)令，得令2929解設(shè)令，得令，得，所以令，得，所以例2求30解設(shè)令，得令3131解例3求32解例3求32

作業(yè)：P111T5(6)(10)T6(7)(8)(13)小結(jié)二、分部積分法一、換元積分法

——第二類換元法三、有理函數(shù)積分簡介33作業(yè)：P111小結(jié)二、分部積分法一、換元積分法T15求（2）解：

34T15求（2）解：1求解：35求解：2363第二節(jié)不定積分的計(jì)算二、分部積分法一、換元積分法

——第二類換元法三、有理函數(shù)積分簡介37第二節(jié)不定積分的計(jì)算二、分部積分法一、換元積分法三、如利用三角公式去掉根號(hào),再利用第一換元法求解．=？38如利用三角公式去掉根號(hào),再利用第一換元法求解．=？5如果被積函數(shù)含有和，常令、、進(jìn)行代換去根式，這種方法稱為三角代換，它是第二類換元法的重要組成部分.

方法一：利用三角代換，變根式積分為三角有理積分39如果被積函數(shù)含有例1求解則（也可設(shè)）于是40例1求解則（也可設(shè)例2求解：則于是41例2求解：則則于是42則例3求解43例3求解10如果被積函數(shù)含有可令進(jìn)行代換去根式；

方法二：利用根式代換，變根式積分為多項(xiàng)式積分令得即所以例4求解：44如果被積函數(shù)含有可令進(jìn)行代換去根式；4512例5求解：所以46例5求解：所以13

方法三：倒代換方法，當(dāng)分母的最高次冪至少比分子高1次時(shí)利用倒代換方法方法。47方法三：倒代換方法，當(dāng)分母的最高次冪至少比分子高1

方法四：指數(shù)代換（適用于被積函數(shù)由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式。48方法四：指數(shù)代換（適用于被積函數(shù)由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的兩種換元積分法的異同：不同點(diǎn)：相同點(diǎn)：第一類換元積分法（湊微分法）是把被最后都必須還原變量。積式湊成某個(gè)函數(shù)的微分形式；類換元積分法是通過換元把積分化為容易求得原函數(shù)的積分。換元先后不同.而第二49兩種換元積分法的異同：不同點(diǎn)：相同點(diǎn)：分部積分公式當(dāng)不容易直接積出，而是一個(gè)換.這種求積分的方法叫做分部積分法.較為容易的積分時(shí)，可以采用這一公式作為轉(zhuǎn)三、分部積分法50分部積分公式當(dāng)不容例1求積分解（一）顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）51例1求積分解（一）顯然，選擇不當(dāng)，積分關(guān)于的拆分,一般地有：其余的作為dv；時(shí)，取u=p(x)(p(x)是多項(xiàng)式函數(shù)),（1）當(dāng)積分具有形式

p(x)dx,其余的作為u；等時(shí)，取dv=（2）當(dāng)積分具有形式（3）對于等，u,dv的拆分比較靈活.52關(guān)于的拆分,一般地有：其余的例2求積分解53例2求積分解20例3求積分解54例3求積分解21解例4求有些形式的不定積分需要接連使用多次分部積（再應(yīng)用分部積分公式）必須是相同類型的因子，否則將進(jìn)入循環(huán)積分過程.分法才能積出,這一過程需注意，每次選擇的u和dv55解例4求有些形式的不定積分需要接連使解有些積分在接連應(yīng)用多次分部積分后，會(huì)出現(xiàn)例5求移項(xiàng)并化簡，得與原來積分相同類型的項(xiàng)，經(jīng)過移項(xiàng)合并后，可得所求積分。注：本題若選取u=cosx,dv=exdx,會(huì)得到同樣的結(jié)果.56解有些積分在接連應(yīng)用多次分部積分后，會(huì)出現(xiàn)例解例6求先用換元法，令故從而再用分部積分法，得57解例6求先用換元法，令故從而1.有理函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)。（其中，且）①當(dāng)時(shí)，稱為真分式;當(dāng)時(shí)，稱為假分式。四、有理函數(shù)的積分581.有理函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)。（其中②假分式可以化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和。如：2.真分式的分解一般步驟：①對分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解②真分式化為部分分式之和(關(guān)鍵)。③確定待定常數(shù)（法1：通分，比較同冪項(xiàng)系數(shù)。法2：特殊值法）。59②假分式可以化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和。如：2.真分式的真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律:(1)

分母