江西省吉安市一中2022年數(shù)學(xué)高一上期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，，，則（）A. B.C. D.2．（）A. B.C. D.13．已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知直二面角,點(diǎn)，,為垂足,，,為垂足．若，則到平面的距離等于A. B.C. D.15．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.6．已知正實(shí)數(shù)x，y，z，滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.7．已知f（x-1）=2x-5，且f（a）=6，則a等于（）A. B.C. D.8．已知集合，，，則（）A.{6，8} B.{2，3，6，8}C.{2} D.{2，6，8}9．“是第一或第二象限角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．若，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．______.12．已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10與直線l：2x+y＝0，則圓C與直線l的位置關(guān)系是_____13．不等式的解集是______14．設(shè)，則__________15．已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿(mǎn)足，則函數(shù)的解析式為_(kāi)___________________；若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________________16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸非負(fù)半軸和軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，，設(shè).若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；若，則的取值范圍為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）已知，，，求的最小值；（2）把角化成的形式.18．已知非空數(shù)集，設(shè)為集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集組成的集合（1）若集合，寫(xiě)出和集合；（2）若集合中的元素都是正整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)、、、、，都存在集合，使得，則稱(chēng)集合具有性質(zhì)①若集合，判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；②若集合具有性質(zhì)，且，求的最小值及此時(shí)中元素的最大值的所有可能取值19．已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）判斷奇偶性，并求在區(qū)間上的值域.20．已知函數(shù).（1）若，求的最大值;（2）若，求關(guān)于不等式的解集.21．已知1與2是三次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).（1）求的值；（2）求不等式的解集.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】先由，可得，結(jié)合，，可得，繼而得到，，轉(zhuǎn)化，利用兩角差的正弦公式即得解【詳解】由題意，故故又，故，則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題2、B【解析】先利用誘導(dǎo)公式把化成，就把原式化成了兩角和余弦公式，解之即可.【詳解】由可知，故選：B3、C【解析】轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題分析【詳解】即分別畫(huà)出和的函數(shù)圖像，則兩圖像有4個(gè)交點(diǎn)所以，即故選：C4、C【解析】如圖，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)因?yàn)闉橹倍娼?，，所以，從而可得．又因?yàn)?，所以面，故的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離在中，因?yàn)?，所以因?yàn)椋裕畡t在中，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，故選C5、D【解析】根據(jù)最小正周期判斷AC，根據(jù)單調(diào)性排除B，進(jìn)而得答案.【詳解】解：對(duì)于AC選項(xiàng)，，的最小正周期為，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，最小正周期為，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，故正確.故選：D6、A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像比較大小即可.【詳解】令，則，，，由圖可知.7、B【解析】先用換元法求出，然后由函數(shù)值求自變量即可.【詳解】令，則，可得，即，由題知，解得.故選：B8、A【解析】由已知，先有集合和集合求解出，再根據(jù)集合求解出即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.9、A【解析】利用充分必要條件的定義判斷.【詳解】若角的終邊在第一或第二象限，則，反過(guò)來(lái)，若，則的終邊可能在第一或第二象限，也有可能在軸正半軸上.所以“是第一或第二象限角”是“”的充分不必要條件.故選：A10、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷【詳解】因?yàn)?，而函?shù)在定義域上遞增，，所以故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】利用兩角和的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】由于，所以，即，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角和的正切公式，屬于中檔題.12、相交【解析】根據(jù)題意只需判斷圓心到直線的距離與半徑比較大小即可判斷詳解】由題意有圓心，半徑則圓心到直線的距離故直線與圓C相交故答案為：相交【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)試題13、【解析】先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，再解一元二次不等式即可【詳解】故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，屬中檔題14、2【解析】由函數(shù)的解析式可知，∴考點(diǎn)：分段函數(shù)求函數(shù)值點(diǎn)評(píng)：對(duì)于分段函數(shù)，求函數(shù)的關(guān)鍵是要代入到對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式中進(jìn)行求值15、(1).(2).或【解析】把方程中的換成，然后利用奇偶性可得另一方程，聯(lián)立可解得；令，可得為偶函數(shù)，從而可得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由函數(shù)有唯一零點(diǎn)，可得，從而可求得的值【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，①所以，即，②①②?lián)立，可解得令，則，所以為偶函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)橛形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，所以的零點(diǎn)只能為，即，解得或故答案為：；或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是令，可得為偶函數(shù)，從而可得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由函數(shù)有唯一零點(diǎn)，可得，從而可求得的值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題16、①.②.【解析】分別過(guò)點(diǎn)作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)、，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和二倍角的正弦公式可求出的取值范圍.【詳解】分別過(guò)點(diǎn)作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，如下圖所示：則，設(shè)點(diǎn)、，則，，，.當(dāng)時(shí)，，，則點(diǎn)；由上可知，，，則，因此，的取值范圍是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是將點(diǎn)的坐標(biāo)利用三角函數(shù)表示，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用基本不等式可求得的最小值；（2）將角度化為弧度，再將弧度化為的形式即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為；（2），.18、（1），；（2）①有，理由見(jiàn)解析；②的最小值為，所有可能取值是、、、、.【解析】（1）根據(jù)題中定義可寫(xiě)出與；（2）（i）求得，取、、、、，找出對(duì)應(yīng)的集合，使得，即可得出結(jié)論；（ii）設(shè)，不妨設(shè)，根據(jù)題中定義分析出、，，，，，然后驗(yàn)證當(dāng)、、、、時(shí)，集合符合題意，即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：由題中定義可得，.【小問(wèn)2詳解】解：（ⅰ）集合具有性質(zhì)，理由如下：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；綜上可得，集合具有性質(zhì)；（ⅱ）設(shè)集合，不妨設(shè)因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，因?yàn)榇嬖谑沟?，所以此時(shí)中不能包含元素、、、且，所以．所以因?yàn)榇嬖谑沟?，所以此時(shí)中不能包含元素及、、、且，所以，所以若，則、、，而，所以不存在，使得，所以若，則、、，而，所以不存在，使得，所以同理可知，，若，則，所以當(dāng)時(shí)，若，則取，可知不存在，使得，所以，解得又因?yàn)?，所以?jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)、、、、時(shí)，集合符合題意所以最小值為，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、、、、.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合的新定義問(wèn)題，解題時(shí)充分抓住題中的新定義，結(jié)合反證法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)推導(dǎo)，求出每一項(xiàng)的取值范圍，進(jìn)而求解.19、（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（2）函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上的值域?yàn)椤窘馕觥浚?）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性；（2）先得到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合得到函數(shù)為奇函數(shù)，利用第一問(wèn)的單調(diào)性求出在區(qū)間上的值域.【小問(wèn)1詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：，，且，有.因?yàn)?，，且，所以?于是，即.故在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)?因，所以為奇函數(shù).由（1）得在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合奇偶性可得在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?20、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由題得，利用基本不等式可求；（2）不等式即，討論的大小可求解.【小問(wèn)1詳解】由，得.，，即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.).故的最大值為；【小問(wèn)2詳解】，即.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的