江蘇省蘇州第一中學(xué)2023屆數(shù)學(xué)高一上期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則在其定義域內(nèi)（）A.為偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C.有最大值 D.有最小值2．已知定義在R上的函數(shù)滿足：對任意，則A. B.0C.1 D.33．設(shè)函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）對一切x∈R恒成立，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對稱中心C.在上是增函數(shù)D.存在直線經(jīng)過點(diǎn)且與函數(shù)的圖象有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)4．已知函數(shù)，，的圖象的3個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，則的最小值為（）A. B.C. D.5．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.6．如圖，①②③④中不屬于函數(shù)，，的一個(gè)是（）A.① B.②C.③ D.④7．若曲線與直線始終有交點(diǎn)，則的取值范圍是A. B.C. D.8．若，均為銳角，，，則（）A. B.C. D.9．已知定義在R上的函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，），則（）A.3 B.6C.3e D.與實(shí)數(shù)m的取值有關(guān)10．函數(shù)的大致圖像是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10與直線l：2x+y＝0，則圓C與直線l的位置關(guān)系是_____12．函數(shù)=(其中且)的圖象恒過定點(diǎn),且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上,則=______.13．將正方形沿對角線折成直二面角，有如下四個(gè)結(jié)論：①；②是等邊三角形；③與所成的角為，④取中點(diǎn)，則為二面角的平面角其中正確結(jié)論是__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）14．若，則____15．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個(gè)問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為___________平方步.16．已知函數(shù)的定義域和值域都是集合，其定義如表所示，則____________．x012012三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）已知，化簡：；（2）已知，證明：18．如圖，在底面是正方形的四棱錐面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn).（1）求證：；（2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由；（3）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值.19．已知函數(shù)，，.（1）若，求函數(shù)的解析式；（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明.20．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，，，求的值.21．如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點(diǎn)，得到，判斷函數(shù)的奇偶性和值域得到答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，代入點(diǎn)，即，定義域?yàn)?，為偶函?shù)且故選：【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的奇偶性和值域，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.2、B【解析】，且，又，，由此可得，，是周期為的函數(shù)，，，故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，周期性，對稱性，是對函數(shù)的基本性質(zhì)的考察.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】函數(shù)滿足則函數(shù)關(guān)于中心對稱，,則函數(shù)關(guān)于軸對稱，常用結(jié)論：若在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)以為周期.本題中，利用此結(jié)論可得周期為，進(jìn)而，需要回到本題利用題干條件賦值即可.3、D【解析】根據(jù)f（x）≥f（）對一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．結(jié)合周期判斷各選項(xiàng)即可【詳解】函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=周期T=2π由題意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正確；x=取得最小值，那么+=就是相鄰的對稱中心，∴點(diǎn)（,0）不是函數(shù)f（x）的一個(gè)對稱中心；因?yàn)閤=取得最小值，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在是減函數(shù)故選D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，排除法求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力4、C【解析】先根據(jù)函數(shù)值相等求出，可得，由此可知等腰直角三角形的斜邊上的高為，所以底邊長為，令底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，則另一個(gè)端點(diǎn)為，由此可知，可得，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】令和相等可得，即；此時(shí)，即等腰直角三角形的斜邊上的高為，所以底邊長為，令底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，則另一個(gè)端點(diǎn)為，所以，即，當(dāng)時(shí)，的最小值，最小值為故選：C5、A【解析】由函數(shù)的奇偶性質(zhì)可知函數(shù)為偶函數(shù)，再結(jié)合時(shí)函數(shù)的符號即可得答案.【詳解】解：由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，故排除B，D，當(dāng)時(shí)，，故排除C，得A為正確選項(xiàng).故選：A6、B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象特征及與圖象的關(guān)于軸對稱即可求解.【詳解】解：由對數(shù)函數(shù)圖象特征及與的圖象關(guān)于軸對稱，可確定②不已知函數(shù)圖象.故選：B.7、A【解析】本道題目先理解的意義，實(shí)則為一個(gè)半圓，然后利用圖像，繪制出該直線與該圓有交點(diǎn)的大致位置，計(jì)算出b的范圍，即可.【詳解】要使得這兩條曲線有交點(diǎn)，則使得直線介于1與2之間，已知1與圓相切，2過點(diǎn)（1，0），則b分別為，故，故選A.【點(diǎn)睛】本道題目考查了圓與直線的位置關(guān)系，做此類題可以結(jié)合圖像，得出b的范圍．8、B【解析】由結(jié)合平方關(guān)系可解.【詳解】因?yàn)闉殇J角，，所以，又，均為銳角，所以，所以，所以.故選：B9、B【解析】可證，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，故，故選：B10、D【解析】由題可得定義域?yàn)?，排除A,C;又由在上單增，所以選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、相交【解析】根據(jù)題意只需判斷圓心到直線的距離與半徑比較大小即可判斷詳解】由題意有圓心，半徑則圓心到直線的距離故直線與圓C相交故答案為：相交【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)試題12、9【解析】由題意知,當(dāng)時(shí),.即函數(shù)=的圖象恒過定點(diǎn).而在冪函數(shù)的圖象上,所以,解得,即,所以=9.13、①②④【解析】如圖所示，取中點(diǎn)，則，，所以平面，從而可得，故①正確；設(shè)正方形邊長為，則，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，故②正確；分別取，的中點(diǎn)為，，連接，，．則，且，，且，則是異面直線，所成的角在中，，，∴則是正三角形，故，③錯(cuò)誤；如上圖所示，由題意可得：，則,由可得，據(jù)此可知：為二面角的平面角，說法④正確.故答案為：①②④.點(diǎn)睛：(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題14、##0.25【解析】運(yùn)用同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系式，把弦化切代入即可求解.【詳解】，故答案為：.15、120【解析】利用扇形的面積公式求解.【詳解】由題意得：扇形弧長為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，故答案為：12016、【解析】根據(jù)表格從里層往外求即可.【詳解】解：由表可知，.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0；(2)證明見解析.【解析】(1)由給定條件確定出，值的正負(fù)及大小，再利用二倍角公式化簡計(jì)算即得；(2)由給定角求出，利用和角公式變形，再展開所證等式的左邊代入計(jì)算即得.【詳解】(1)因，則，則原式；(2)因，則，即，亦即，則，所以原等式成立.18、（1）見解析（2）GEC中點(diǎn)（3）【解析】試題分析：（1）要證：BD⊥FG，先證BD⊥平面PAC即可；（2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，F(xiàn)G∥平面PBD內(nèi)的一條直線即可；（3）利用向量數(shù)量積求解法向量，然后轉(zhuǎn)化求出PC與底面ABCD所成角的正切值解析：（1）（2）當(dāng)GEC中點(diǎn)，即時(shí),FG//平面PBD理由如下：連接PE，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，F(xiàn)G//PEFG//平面PBD（3）作作于H，連接DH，，四邊形ABCD是正方形，又是二面角的平面角，即是PC與底面ABCD所成角連接EH，則又，PC與與底面ABCD所成角的正切值是.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系．證明線線垂直，可以從線面垂直入手，也可以平移到同一平面中利用平面幾何知識證明；求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；在高二的課本上講到還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可19、（1）（2）見解析.【解析】(1)由求a的值即可；(2)根據(jù)a的大小分類討論即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】任取，且，則，，，①時(shí)，，在單調(diào)遞增；②時(shí)，(i)時(shí)，單調(diào)遞減；(ii)時(shí)，單調(diào)遞增；即時(shí)，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③時(shí)，，在單調(diào)遞減.綜上所述，時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時(shí)，在單調(diào)遞減.20、.【解析】利用三角函數(shù)的定義可得，進(jìn)而可求，利用同角關(guān)系式可求，再利用兩角和的正切公式即得.【詳解】∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴，，∵，，∴，，∴21、（1）證明略（2）【解析】（Ⅰ）要證平面，由已知平面，已經(jīng)有，因此在直角梯形中證明即可，通過計(jì)算得，而是中點(diǎn)，則有；（Ⅱ）PB與平面ABCD所成的角是，下面關(guān)鍵是作出PB與平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分別與相交于，連接，則是PB與平面PAE所成的角，由這兩個(gè)角相等，可得，同樣在直角梯形中可計(jì)算出，也即四棱錐P-ABCD的高，體積可得．另外也可建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法求得結(jié)論，第（Ⅱ）小題中關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，注意這里直線與平面所成的角相等轉(zhuǎn)化為直線與平面的法向量的夾角相等試題解析：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，是的中點(diǎn)，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE（Ⅱ）過點(diǎn)Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是為直線ＰＢ