因次分析與π定理課件

因次分析與π定理因次分析與π定理1第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

研究任一物理現(xiàn)象，都不可避免地要研究這一種物理現(xiàn)象中變化著的各個(gè)物理量以及這些物理量之間的量值關(guān)系。表征一物理量，除了有量的數(shù)值外，還有量的種類(lèi)（或類(lèi)別），如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、力等，人們把表征物理量的種類(lèi)通稱(chēng)為“因次”（Dimension）或稱(chēng)為“量綱”。度量各物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)，稱(chēng)為單位。這些單位系人為確定。目前世界上大多數(shù)國(guó)家（包括我國(guó)）已統(tǒng)一采用國(guó)際單位制。

第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式研究任一物理現(xiàn)2第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

物理量可分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是有因次的，如長(zhǎng)度、時(shí)間、速度、加速度、質(zhì)量、力等，這類(lèi)物理量要以人為的單位來(lái)表示，其數(shù)值大小隨著單位的更換而改變；另一類(lèi)是無(wú)因次的，如坡度、佛汝德數(shù)、雷諾數(shù)等，這些量是一個(gè)純數(shù)或比值，其數(shù)值大小不受量度單位更換的影響。

物理量的因次也可分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是基本因次，它們彼此是相互獨(dú)立的，即它們中的任何一個(gè)因次不能從其它基本因次推導(dǎo)出來(lái)。

力學(xué)上通常選擇長(zhǎng)度（以[L]表示）、時(shí)間（以[T]表示）和質(zhì)量（以[M]表示）作為基本因次，顯然它們是相互獨(dú)立的。它們中任一個(gè)不能從另外二個(gè)推導(dǎo)出來(lái)（例如[L]不可能由[M]、[T]來(lái)組成）。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式物理量可分為兩大3第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

另一類(lèi)因次稱(chēng)為導(dǎo)出因次，這類(lèi)因次可由基本因次推導(dǎo)出來(lái)，例如速度因次[V]就可由所選定的基本因次推導(dǎo)出來(lái)，因?yàn)樗俣仁潜硎締挝粫r(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移，即:若選擇[M、L、T]為基本因次，則速度因次可表示為：

[V]=[L]/[T]=[LT-1]加速度的因次為：[a]=[V]/[T]=[LT-2]力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]

可見(jiàn)某一物理量的因次總可以由基本因次推導(dǎo)出來(lái)，而且是基本因次冪指數(shù)的乘積，即：(2-1)

該式稱(chēng)為因式關(guān)系式。

第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式另一類(lèi)因次稱(chēng)為4第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式證明式：

令ｘ1，ｘ2，ｘ3為具有因次的基本物理量，ｙ代表任一物理量，它是基本物理量ｘ1，ｘ2，ｘ3的函數(shù)，即：ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ3

）如有兩個(gè)同名物理量，它們可表示為：ｙ1＝ｆ（ｘ11，ｘ21，ｘ31

）ｙ2＝ｆ（ｘ12，ｘ22，ｘ32

）……..

（過(guò)程略）其結(jié)果是：ｆ＝k1ｘα1，同理：第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式證明式：5第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ3

）＝kｘα1ｘβ2ｘγ3

（2－12）式中：k，α，β，γ都是常數(shù)。這樣可以寫(xiě)出該物理量的因次關(guān)系式：

[ｙ]＝[ｘ1]α[ｘ2]β[ｘ3]γ（2－13）若基本量ｘ1取為質(zhì)量,其因次為[M]；ｘ2取為長(zhǎng)度，因次為[L]；ｘ3取為時(shí)間，因次為[T]。則某一物理量的導(dǎo)出因次：

[ｙ]＝[M]α[L]β[T]γ（2－14）第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ6第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

物理量ｙ的性質(zhì)可由指數(shù)αβγ來(lái)反映，如均為0，則y為一次無(wú)因次純數(shù)，指數(shù)αβγ中有一個(gè)不等于0，就可以說(shuō)ｙ是一個(gè)有因次的物理量。1如為一幾何學(xué)量

2如為一運(yùn)動(dòng)學(xué)量

3如為一動(dòng)力學(xué)量

如面積是由兩個(gè)長(zhǎng)度的乘積組成的，則它們的因次為長(zhǎng)度因次的平方,[A]=[L2]或?qū)懗蒣A]=[M0L2T0]。流速因次為[V]=[LT-1]=[M0LT-1]；力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式物理量ｙ的性質(zhì)可由7第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

如動(dòng)力粘滯系數(shù)μ，由牛頓內(nèi)摩擦定律知

物理量

無(wú)因次量

有因次量

基本量導(dǎo)出量

詳見(jiàn)表2－1第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式如動(dòng)力粘滯系數(shù)μ，8第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

凡是正確反映某一物理現(xiàn)象變化規(guī)律的完整的物理方程，其各項(xiàng)因次都必須是一致的，這稱(chēng)為因次和諧原理。

利用方程因次和諧特征，可以探求物理方程的結(jié)構(gòu)形式，檢驗(yàn)復(fù)雜方程式的正確性，還可以用來(lái)導(dǎo)出模型試驗(yàn)中必須遵循的相似準(zhǔn)則。因此，這一原理是因次分析的重要依據(jù)。

因次和諧原理的重要性是：一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法凡是正確反映某一物理9第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

1.一個(gè)物理方程式在因次上是和諧的，則方程的文字結(jié)構(gòu)形式不隨量度單位的更換而變化。因此因次和諧原理可以用以檢驗(yàn)新建方程式或經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。

2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數(shù)。

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法1.一個(gè)物10第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

用因次和諧原理可以證明即質(zhì)量為M,沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)關(guān)系式的正確性：左側(cè)

[F]=[MLT-2]右側(cè)顯然左側(cè)與右側(cè)的因次相同，即可證得：一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法用因次和諧原理可11第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由因次和諧原理來(lái)確定指數(shù)n。選擇基本因次[M，L，T]，由表2－1：代入上式得：整理后由因次和諧原理，n-1=3,求得n=4，又如管流中層流流量公式：一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由因次和諧原理來(lái)確定12第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

3.用因次和諧原理建立某些物理方程。

實(shí)際工程中有許多自然現(xiàn)象，直至目前仍尚未找出具體形式的物理方程。通過(guò)觀(guān)察和試驗(yàn)等只知道有哪些物理量參與作用，那幺，利用因次和諧原理往往可以確定方程式的結(jié)構(gòu)模式。

仍從上例，水平圓管中層流流量，通過(guò)試驗(yàn)知道它與圓管半徑、單位管長(zhǎng)的壓差以及流體的動(dòng)力粘制系數(shù)等因素有關(guān)，即。

假設(shè)：一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法3.用因次和諧原理建立某13第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法其因次式為：根據(jù)因次和諧原理，方程兩側(cè)同類(lèi)因次的指數(shù)必須相同，即：

聯(lián)解上列3式得：

從而有

寫(xiě)成函數(shù)關(guān)系式為

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法其因次式為：根據(jù)因次和諧原14第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

所得結(jié)果與前例完全相同。其中，k為無(wú)因次系數(shù)，由試驗(yàn)結(jié)果分析得：這與理論分析結(jié)果一致。

于是圓管中層流流量公式為：

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法所得結(jié)果與前例完全相同15第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由因次和用因次和諧原理，可以得到：

1、自然界中某一物理現(xiàn)象的變化規(guī)律，可以用一個(gè)完整的物理方程來(lái)描述；

2、一個(gè)完整的物理方程式必須符合因次和諧原理；

3、一個(gè)完整的物理方程式其文字結(jié)構(gòu)不隨人為確定的量度單位的更換而改變；

4、因次和諧的條件是方程式中各個(gè)變量的基本因次的指數(shù)在方程式兩側(cè)彼此相等。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由因次和用因次和16第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

因次分析方法就是建立在上述結(jié)論基礎(chǔ)上，是用于探求物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式的一種數(shù)學(xué)分析方法。

因次分析方法有二種：

瑞利（Rayleigh）法——適用于解決較簡(jiǎn)單問(wèn)題

π定理——應(yīng)用普遍

瑞利方法的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用因次和諧原理來(lái)建立物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系。二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法因次分析方法就是建立17第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

例：一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺,擺端有質(zhì)量為的擺球，要求用瑞利法求單擺的擺動(dòng)周期t的表達(dá)式。

根據(jù)單擺現(xiàn)象觀(guān)測(cè)，周期t與弦長(zhǎng)l、擺球質(zhì)量m為及重力加速度g有關(guān)，即：用冪指數(shù)乘積來(lái)表示這一函數(shù)關(guān)系，即：

式中：為待定常數(shù)。將上式寫(xiě)成因次式得：

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法例：一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單18第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

選擇為基本因次，根據(jù)因次和諧原理，則上式可寫(xiě)成：聯(lián)立求得上列3式求解得：

根據(jù)因次和諧：二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法選擇19第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由單擺試驗(yàn)得到常數(shù)等于2π，則單擺周期的表達(dá)式為：

這與理論分析結(jié)果完全相同（建議多看例子）。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由單擺試驗(yàn)得到20第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由上述例子可總結(jié)出應(yīng)用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下：

1、找出物理過(guò)程的參變量，建立函數(shù)關(guān)系式（一般采用冪指數(shù)乘積形式）；

2、寫(xiě)出函數(shù)的因次關(guān)系式；

3、選定3個(gè)基本因次（一般為：M,L,T），按選定的基本因次整理、歸并得出函數(shù)的因次關(guān)系式；二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由上述例子可總結(jié)21第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

4、根據(jù)因次和諧原理列出因次和諧方程，聯(lián)立求解出各參變量指數(shù)值；

5、將解得的指數(shù)值回代到原假定的函數(shù)關(guān)系式，并加以整理、化簡(jiǎn)；

6、通過(guò)模型試驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)觀(guān)測(cè)，驗(yàn)證所得的函數(shù)表達(dá)式的完整性和正確性，并確定表達(dá)式中的待定系數(shù)或指數(shù)，最后獲得描述該物理現(xiàn)象的完整的表達(dá)式。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法4、根據(jù)因次和諧原理列22第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

用瑞利因次分析法建立物理現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式，最大的優(yōu)點(diǎn)就是簡(jiǎn)單易行，但有一定局限性：

1、只能假定物理方程式的模式是參變量?jī)缰笖?shù)的乘積；

2、所建立的方程式正確與否，很大程度取決于參變量的選擇是否正確、完整；

3、方程式中的待定系數(shù)或某些指數(shù)，一般需由模型試驗(yàn)或理論分析（比較簡(jiǎn)單的物理過(guò)程）求得；

4、只有當(dāng)參變量不大于3個(gè)時(shí)，方能求解由3個(gè)基本因次構(gòu)成的因次和諧方程組，求得不大于3個(gè)的待定指數(shù)，從而建立方程序的具體形式。二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法用瑞利因次分析法建23第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

換言之，當(dāng)待求的物理方程中包含的參變量大于3個(gè)時(shí)，瑞利法就無(wú)能為力了。這時(shí)需采用因次分析的普遍方法——π定理（又稱(chēng)Backingham定理），找出復(fù)合無(wú)因次項(xiàng)，方能建立完整的物理方程式。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法換言之，24第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意：

某一物理進(jìn)程，若有ｎ個(gè)物理量參與作用，基本有ｍ個(gè)具有因次獨(dú)立的基本物理量，則經(jīng)過(guò)處理，這一物理過(guò)程可由包含ｎ-ｍ個(gè)由物理量組成的無(wú)因次準(zhǔn)數(shù)π的函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示。例如用質(zhì)量ｍ，長(zhǎng)度l，時(shí)間t三個(gè)基本物理量，不管怎樣組合均不可能組成一個(gè)無(wú)因次量。

證明過(guò)程見(jiàn)書(shū)P40。x1,x2,x3——是基本量，則它們是因次獨(dú)立的，故上列因次中的指數(shù)行列式不等于零。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意：25第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用例1利用π定理建立圓球的粘滯力公式

設(shè)影響圓球在流體中運(yùn)動(dòng)(或流體繞圓球運(yùn)動(dòng))時(shí)引起的粘滯阻力FD與流體的密度ρ，動(dòng)力粘滯系數(shù)μ，球體與流體的相對(duì)速度以及表征球體的特征面積A有關(guān)。于是粘滯阻力的函數(shù)關(guān)系式可寫(xiě)成：上式可改寫(xiě)成：第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用例1利26第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用

上式共5個(gè)變量，選擇d、V、ρ作為基本變量：

基本因次的指數(shù)行列式為

故所選的基本量是因次獨(dú)立的，根據(jù)π定理可得：第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用上式共27第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用28第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用29第三節(jié)π定理及其應(yīng)用

例2利用π定理確定粘性流體在光滑圓管中均勻流動(dòng)的阻力損失公式。設(shè)流體在圓管中流進(jìn)l距離的壓降為，它的大小與管長(zhǎng)l，管徑d，平均流速v，流體的密度及動(dòng)力粘滯系數(shù)有關(guān)，即：

上式共6個(gè)變量，選擇作為基本變量,根據(jù)π定理，可得：二、π定理在因次分析中的應(yīng)用（2-49）（2-50）第三節(jié)π定理及其應(yīng)用例2利用π定理確定粘性流體在光滑30第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用（2-51）（2-52）（2-53）第三節(jié)π定理及其應(yīng)用二、π定理在因次分析中的應(yīng)用（2-5131第三節(jié)π定理及其應(yīng)用第三節(jié)π定理及其應(yīng)用32第三節(jié)π定理及其應(yīng)用由以上推導(dǎo)可知π定理的涵義：

1、π定理的主要理論依據(jù)是一個(gè)完整的物理方程式必須遵循因次和諧原理。

2、包含有n個(gè)變量參與作用的某一物理現(xiàn)象，可用一個(gè)由(n-m)個(gè)無(wú)因次項(xiàng)組成的函數(shù)關(guān)系式來(lái)表達(dá)，其中m為n個(gè)參變量中具有因次獨(dú)立的基本參變量()；

3、基本參變量可任意從全部參變量中選擇，它們必須是因次獨(dú)立的(因次中的指數(shù)行列式不等于零)，而且它們包含的基本因次應(yīng)能包括n個(gè)參變量中所有基本因次。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用由以上推導(dǎo)可知π定理的涵義：1、33第三節(jié)π定理及其應(yīng)用

4、每一個(gè)無(wú)因次π項(xiàng)均可由m個(gè)基本量指數(shù)乘積與某一個(gè)變量的商或積組合而成，組合的要求是各個(gè)基本量的指數(shù)得到合理的確定，最終使所得的各個(gè)π項(xiàng)均為無(wú)因次量。

5、某些無(wú)因次物理量，本身也可作為π項(xiàng)。

6、各個(gè)π項(xiàng)的自乘及它們之間相互乘除其物理意義不變。因而在組合π項(xiàng)時(shí)，用于和基本量指數(shù)乘積或相除的某一個(gè)變量，其指數(shù)可以任意選擇。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用4、每一個(gè)無(wú)因次π項(xiàng)均可由m個(gè)34因次分析與π定理因次分析與π定理35第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

研究任一物理現(xiàn)象，都不可避免地要研究這一種物理現(xiàn)象中變化著的各個(gè)物理量以及這些物理量之間的量值關(guān)系。表征一物理量，除了有量的數(shù)值外，還有量的種類(lèi)（或類(lèi)別），如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、力等，人們把表征物理量的種類(lèi)通稱(chēng)為“因次”（Dimension）或稱(chēng)為“量綱”。度量各物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)，稱(chēng)為單位。這些單位系人為確定。目前世界上大多數(shù)國(guó)家（包括我國(guó)）已統(tǒng)一采用國(guó)際單位制。

第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式研究任一物理現(xiàn)36第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

物理量可分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是有因次的，如長(zhǎng)度、時(shí)間、速度、加速度、質(zhì)量、力等，這類(lèi)物理量要以人為的單位來(lái)表示，其數(shù)值大小隨著單位的更換而改變；另一類(lèi)是無(wú)因次的，如坡度、佛汝德數(shù)、雷諾數(shù)等，這些量是一個(gè)純數(shù)或比值，其數(shù)值大小不受量度單位更換的影響。

物理量的因次也可分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是基本因次，它們彼此是相互獨(dú)立的，即它們中的任何一個(gè)因次不能從其它基本因次推導(dǎo)出來(lái)。

力學(xué)上通常選擇長(zhǎng)度（以[L]表示）、時(shí)間（以[T]表示）和質(zhì)量（以[M]表示）作為基本因次，顯然它們是相互獨(dú)立的。它們中任一個(gè)不能從另外二個(gè)推導(dǎo)出來(lái)（例如[L]不可能由[M]、[T]來(lái)組成）。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式物理量可分為兩大37第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

另一類(lèi)因次稱(chēng)為導(dǎo)出因次，這類(lèi)因次可由基本因次推導(dǎo)出來(lái)，例如速度因次[V]就可由所選定的基本因次推導(dǎo)出來(lái)，因?yàn)樗俣仁潜硎締挝粫r(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移，即:若選擇[M、L、T]為基本因次，則速度因次可表示為：

[V]=[L]/[T]=[LT-1]加速度的因次為：[a]=[V]/[T]=[LT-2]力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]

可見(jiàn)某一物理量的因次總可以由基本因次推導(dǎo)出來(lái)，而且是基本因次冪指數(shù)的乘積，即：(2-1)

該式稱(chēng)為因式關(guān)系式。

第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式另一類(lèi)因次稱(chēng)為38第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式證明式：

令ｘ1，ｘ2，ｘ3為具有因次的基本物理量，ｙ代表任一物理量，它是基本物理量ｘ1，ｘ2，ｘ3的函數(shù)，即：ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ3

）如有兩個(gè)同名物理量，它們可表示為：ｙ1＝ｆ（ｘ11，ｘ21，ｘ31

）ｙ2＝ｆ（ｘ12，ｘ22，ｘ32

）……..

（過(guò)程略）其結(jié)果是：ｆ＝k1ｘα1，同理：第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式證明式：39第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ3

）＝kｘα1ｘβ2ｘγ3

（2－12）式中：k，α，β，γ都是常數(shù)。這樣可以寫(xiě)出該物理量的因次關(guān)系式：

[ｙ]＝[ｘ1]α[ｘ2]β[ｘ3]γ（2－13）若基本量ｘ1取為質(zhì)量,其因次為[M]；ｘ2取為長(zhǎng)度，因次為[L]；ｘ3取為時(shí)間，因次為[T]。則某一物理量的導(dǎo)出因次：

[ｙ]＝[M]α[L]β[T]γ（2－14）第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式ｙ＝ｆ（ｘ1，ｘ2，ｘ40第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

物理量ｙ的性質(zhì)可由指數(shù)αβγ來(lái)反映，如均為0，則y為一次無(wú)因次純數(shù)，指數(shù)αβγ中有一個(gè)不等于0，就可以說(shuō)ｙ是一個(gè)有因次的物理量。1如為一幾何學(xué)量

2如為一運(yùn)動(dòng)學(xué)量

3如為一動(dòng)力學(xué)量

如面積是由兩個(gè)長(zhǎng)度的乘積組成的，則它們的因次為長(zhǎng)度因次的平方,[A]=[L2]或?qū)懗蒣A]=[M0L2T0]。流速因次為[V]=[LT-1]=[M0LT-1]；力的因次為：[F]=[M][a]=[MLT-2]。第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式物理量ｙ的性質(zhì)可由41第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式

如動(dòng)力粘滯系數(shù)μ，由牛頓內(nèi)摩擦定律知

物理量

無(wú)因次量

有因次量

基本量導(dǎo)出量

詳見(jiàn)表2－1第一節(jié)物理量的因次、量度單位和因次式如動(dòng)力粘滯系數(shù)μ，42第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

凡是正確反映某一物理現(xiàn)象變化規(guī)律的完整的物理方程，其各項(xiàng)因次都必須是一致的，這稱(chēng)為因次和諧原理。

利用方程因次和諧特征，可以探求物理方程的結(jié)構(gòu)形式，檢驗(yàn)復(fù)雜方程式的正確性，還可以用來(lái)導(dǎo)出模型試驗(yàn)中必須遵循的相似準(zhǔn)則。因此，這一原理是因次分析的重要依據(jù)。

因次和諧原理的重要性是：一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法凡是正確反映某一物理43第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

1.一個(gè)物理方程式在因次上是和諧的，則方程的文字結(jié)構(gòu)形式不隨量度單位的更換而變化。因此因次和諧原理可以用以檢驗(yàn)新建方程式或經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。

2.用因次和諧原理確定物理方程中各物理量的指數(shù)。

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法1.一個(gè)物44第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

用因次和諧原理可以證明即質(zhì)量為M,沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)關(guān)系式的正確性：左側(cè)

[F]=[MLT-2]右側(cè)顯然左側(cè)與右側(cè)的因次相同，即可證得：一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法用因次和諧原理可45第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由因次和諧原理來(lái)確定指數(shù)n。選擇基本因次[M，L，T]，由表2－1：代入上式得：整理后由因次和諧原理，n-1=3,求得n=4，又如管流中層流流量公式：一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由因次和諧原理來(lái)確定46第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

3.用因次和諧原理建立某些物理方程。

實(shí)際工程中有許多自然現(xiàn)象，直至目前仍尚未找出具體形式的物理方程。通過(guò)觀(guān)察和試驗(yàn)等只知道有哪些物理量參與作用，那幺，利用因次和諧原理往往可以確定方程式的結(jié)構(gòu)模式。

仍從上例，水平圓管中層流流量，通過(guò)試驗(yàn)知道它與圓管半徑、單位管長(zhǎng)的壓差以及流體的動(dòng)力粘制系數(shù)等因素有關(guān)，即。

假設(shè)：一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法3.用因次和諧原理建立某47第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法其因次式為：根據(jù)因次和諧原理，方程兩側(cè)同類(lèi)因次的指數(shù)必須相同，即：

聯(lián)解上列3式得：

從而有

寫(xiě)成函數(shù)關(guān)系式為

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法其因次式為：根據(jù)因次和諧原48第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

所得結(jié)果與前例完全相同。其中，k為無(wú)因次系數(shù)，由試驗(yàn)結(jié)果分析得：這與理論分析結(jié)果一致。

于是圓管中層流流量公式為：

一、因次和諧原理第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法所得結(jié)果與前例完全相同49第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由因次和用因次和諧原理，可以得到：

1、自然界中某一物理現(xiàn)象的變化規(guī)律，可以用一個(gè)完整的物理方程來(lái)描述；

2、一個(gè)完整的物理方程式必須符合因次和諧原理；

3、一個(gè)完整的物理方程式其文字結(jié)構(gòu)不隨人為確定的量度單位的更換而改變；

4、因次和諧的條件是方程式中各個(gè)變量的基本因次的指數(shù)在方程式兩側(cè)彼此相等。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由因次和用因次和50第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

因次分析方法就是建立在上述結(jié)論基礎(chǔ)上，是用于探求物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式的一種數(shù)學(xué)分析方法。

因次分析方法有二種：

瑞利（Rayleigh）法——適用于解決較簡(jiǎn)單問(wèn)題

π定理——應(yīng)用普遍

瑞利方法的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用因次和諧原理來(lái)建立物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系。二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法因次分析方法就是建立51第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

例：一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺,擺端有質(zhì)量為的擺球，要求用瑞利法求單擺的擺動(dòng)周期t的表達(dá)式。

根據(jù)單擺現(xiàn)象觀(guān)測(cè)，周期t與弦長(zhǎng)l、擺球質(zhì)量m為及重力加速度g有關(guān)，即：用冪指數(shù)乘積來(lái)表示這一函數(shù)關(guān)系，即：

式中：為待定常數(shù)。將上式寫(xiě)成因次式得：

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法例：一弦長(zhǎng)為L(zhǎng)的單52第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

選擇為基本因次，根據(jù)因次和諧原理，則上式可寫(xiě)成：聯(lián)立求得上列3式求解得：

根據(jù)因次和諧：二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法選擇53第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由單擺試驗(yàn)得到常數(shù)等于2π，則單擺周期的表達(dá)式為：

這與理論分析結(jié)果完全相同（建議多看例子）。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由單擺試驗(yàn)得到54第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

由上述例子可總結(jié)出應(yīng)用瑞利因次分析法探求物理方程式的步驟如下：

1、找出物理過(guò)程的參變量，建立函數(shù)關(guān)系式（一般采用冪指數(shù)乘積形式）；

2、寫(xiě)出函數(shù)的因次關(guān)系式；

3、選定3個(gè)基本因次（一般為：M,L,T），按選定的基本因次整理、歸并得出函數(shù)的因次關(guān)系式；二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法由上述例子可總結(jié)55第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

4、根據(jù)因次和諧原理列出因次和諧方程，聯(lián)立求解出各參變量指數(shù)值；

5、將解得的指數(shù)值回代到原假定的函數(shù)關(guān)系式，并加以整理、化簡(jiǎn)；

6、通過(guò)模型試驗(yàn)或現(xiàn)場(chǎng)觀(guān)測(cè)，驗(yàn)證所得的函數(shù)表達(dá)式的完整性和正確性，并確定表達(dá)式中的待定系數(shù)或指數(shù)，最后獲得描述該物理現(xiàn)象的完整的表達(dá)式。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法4、根據(jù)因次和諧原理列56第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

用瑞利因次分析法建立物理現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式，最大的優(yōu)點(diǎn)就是簡(jiǎn)單易行，但有一定局限性：

1、只能假定物理方程式的模式是參變量?jī)缰笖?shù)的乘積；

2、所建立的方程式正確與否，很大程度取決于參變量的選擇是否正確、完整；

3、方程式中的待定系數(shù)或某些指數(shù)，一般需由模型試驗(yàn)或理論分析（比較簡(jiǎn)單的物理過(guò)程）求得；

4、只有當(dāng)參變量不大于3個(gè)時(shí)，方能求解由3個(gè)基本因次構(gòu)成的因次和諧方程組，求得不大于3個(gè)的待定指數(shù)，從而建立方程序的具體形式。二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法用瑞利因次分析法建57第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法

換言之，當(dāng)待求的物理方程中包含的參變量大于3個(gè)時(shí)，瑞利法就無(wú)能為力了。這時(shí)需采用因次分析的普遍方法——π定理（又稱(chēng)Backingham定理），找出復(fù)合無(wú)因次項(xiàng)，方能建立完整的物理方程式。

二、因次分析方法第二節(jié)因次和諧原理和因次分析方法換言之，58第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全部含意：

某一物理進(jìn)程，若有ｎ個(gè)物理量參與作用，基本有ｍ個(gè)具有因次獨(dú)立的基本物理量，則經(jīng)過(guò)處理，這一物理過(guò)程可由包含ｎ-ｍ個(gè)由物理量組成的無(wú)因次準(zhǔn)數(shù)π的函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示。例如用質(zhì)量ｍ，長(zhǎng)度l，時(shí)間t三個(gè)基本物理量，不管怎樣組合均不可能組成一個(gè)無(wú)因次量。

證明過(guò)程見(jiàn)書(shū)P40。x1,x2,x3——是基本量，則它們是因次獨(dú)立的，故上列因次中的指數(shù)行列式不等于零。第三節(jié)π定理及其應(yīng)用一、π定理的基本概念π定理的全