數(shù)字電子技術(shù)：1-數(shù)制與碼制

2022/12/231.1概述1.數(shù)制定義：多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方法以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則。數(shù)字信號(hào)往往是以二進(jìn)制數(shù)碼給出的。當(dāng)數(shù)碼表示數(shù)值時(shí)，可以進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算（加、減、乘、除）。常見(jiàn)的數(shù)制有十進(jìn)制、二進(jìn)制、十六進(jìn)制等。2.碼制數(shù)碼還可以表示不同的事物或狀態(tài)，此時(shí)，稱這些數(shù)碼為代碼。定義：編制代碼遵循一定的規(guī)則。2022/12/231.2幾種常用的數(shù)制2.十進(jìn)制（Decimal）由0、1…9十個(gè)數(shù)碼組成，進(jìn)位規(guī)則:逢十進(jìn)一，借一當(dāng)十；計(jì)數(shù)基數(shù)為10，按權(quán)展開(kāi)式：加權(quán)和基數(shù)r2第i位系數(shù)ki權(quán)重ri1.進(jìn)位計(jì)數(shù)制

例：542.6=5·102+4·101+2·100+6·10-12022/12/231.2幾種常用的數(shù)制3.二進(jìn)制（Binary）由0、1兩個(gè)數(shù)碼組成，進(jìn)位規(guī)則是逢二進(jìn)一，借一當(dāng)二，計(jì)數(shù)基數(shù)為2，按權(quán)展開(kāi)式：

例：4.八進(jìn)制（Octal）由0、1…7八個(gè)數(shù)碼組成，進(jìn)位規(guī)則是逢八進(jìn)一，計(jì)數(shù)基數(shù)為8，按權(quán)展開(kāi)式：2022/12/231.2幾種常用的數(shù)制5.十六進(jìn)制（Hexadecimal）由0、1…9、A、B、C、D、E、F十六個(gè)數(shù)碼組成，進(jìn)位規(guī)則是逢十六進(jìn)一，計(jì)數(shù)基數(shù)為16，按權(quán)展開(kāi)式：

例：

例：2022/12/23十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F1.2幾種常用的數(shù)制2022/12/231.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換1.二、八、十六進(jìn)制到十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

例：2022/12/231.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換2.十進(jìn)制到二、八、十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換十進(jìn)制數(shù)為整數(shù)時(shí)

以十進(jìn)制數(shù)D除以r2022/12/231.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換

則其商整數(shù)部分為Q，而其余數(shù)為第1位系數(shù)k0；按照同樣方法，以其商Q除以r得到第2位系數(shù)k1；如此重復(fù)進(jìn)行，直至其商小于基數(shù)r為止，得到所轉(zhuǎn)換進(jìn)制的所有系數(shù)。179822(382(680(217910=2638

1791611(3160(B17910=B316

179289(1244(1222(0211(025(122(112(002(1(LSB)(MSB)17910=101100112

2022/12/23例：將(117)10轉(zhuǎn)換為

二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)1.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換(117)10=（1110101）2=（165）8=（75）162022/12/231.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換十進(jìn)制數(shù)為小數(shù)時(shí)

以十進(jìn)制數(shù)D乘以r

則其整數(shù)部分為小數(shù)點(diǎn)后的第1位系數(shù)k-1，按照同樣方法，以乘積的小數(shù)部分P乘以r得到小數(shù)的第2位系數(shù)k-2；如此重復(fù)進(jìn)行，直至其小數(shù)部分為0或達(dá)到規(guī)定的轉(zhuǎn)換精度為止，得到所轉(zhuǎn)換進(jìn)制的各位系數(shù)。2022/12/231.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換0.72620)0.90421)0.45221)0.80820.726100.1011102

例：將(0.726)10轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制和八進(jìn)制數(shù)（保留6位有效數(shù)字）。1)0.61621)0.23220)0.4640.72686)0.46485)0.80883)0.71280.726100.56355485)0.69685)0.56884)0.5442022/12/23例：（188.875）10轉(zhuǎn)換為二、八、十六進(jìn)制數(shù)1.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換解：（188.875）10

=(10111100.111)2

=(274.7)8

=(BC.E)162022/12/231.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換3.A516=11.101001013.二進(jìn)制到八、十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換1000110011102=4.八、十六進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換5.678=101.1101111000110011102=10.10110012=010.1011001002=2.544810.10110012=0010.101100102=2.B2161000110011102=431681000110011102=8CE162022/12/231.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F2022/12/231.4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算1.加法運(yùn)算二進(jìn)制加法運(yùn)算法則（3條）：①0＋0＝0②0＋1＝1＋0＝1③1＋1＝10（逢二進(jìn)一）例：求(1011011)2＋(1010.11)2＝?

1011011

＋)

1010.11

1100101.11則(1011011)2＋(1010.11)2＝(1100101.11)22022/12/231.4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算2.減法運(yùn)算二進(jìn)制減法運(yùn)算法則（3條）：①

0－0＝1－1＝0②0－1＝1（借一當(dāng)二）③1－0＝1

例：求(1010110)2－(1101.11)2＝?

1010110

－)

1101.11

1001000.01則(1010110)2－(1101.11)2＝(1001000.01)22022/12/231.4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算3.乘法運(yùn)算二進(jìn)制乘法運(yùn)算法則（3條）：①

0×0＝0②

0×1＝1×0＝0③1×1＝1

例：求(1011.01)2×(101)2＝?

1011.01

×)

101

101101

000000

＋)101101

111000.01則(1011.01)2×(101)2＝(111000.01)2

可見(jiàn)，二進(jìn)制乘法運(yùn)算可歸結(jié)為“加法與移位”。2022/12/231.4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算4.除法運(yùn)算二進(jìn)制除法運(yùn)算法則（3條）：①

0÷0＝0②

0÷1＝0③1÷1＝1

例：求(100100.01)2÷(101)2＝? 111.01 101)100100.01

-)

101

1000

-)

101

110

-)

101

101

-)

101

0

則(100100.01)2÷(101)2＝(111.01)2

可見(jiàn)，二進(jìn)制除法運(yùn)算可歸結(jié)為“減法與移位”。2022/12/231.4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算5.反碼、補(bǔ)碼和補(bǔ)碼運(yùn)算乘/除法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法/減法和移位運(yùn)算，故加、減、乘、除運(yùn)算可歸結(jié)為用加、減、移位三種操作來(lái)完成。但在計(jì)算機(jī)中為了節(jié)省設(shè)備和簡(jiǎn)化運(yùn)算，一般只有加法器而無(wú)減法器，這就需要將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，從而使得算術(shù)運(yùn)算只需要加法和移位兩種操作。引進(jìn)補(bǔ)碼的目的就是為了將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。2022/12/23二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算的特點(diǎn) 算術(shù)運(yùn)算：

1：和十進(jìn)制算數(shù)運(yùn)算的規(guī)則相同

2：逢二進(jìn)一

特點(diǎn)：加、減、乘、除全部可以用移位和相加這兩種操作實(shí)現(xiàn)。簡(jiǎn)化了電路結(jié)構(gòu)

所以數(shù)字電路中普遍采用二進(jìn)制算數(shù)運(yùn)算2022/12/23反碼、補(bǔ)碼和補(bǔ)碼運(yùn)算

二進(jìn)制數(shù)的正、負(fù)號(hào)也是用0/1表示的。在定點(diǎn)運(yùn)算中，最高位為符號(hào)位（0為正，1為負(fù)）如+57=（00111001）

-57=（10111001）2022/12/23二進(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼：最高位為符號(hào)位（0為正，1為負(fù)）正數(shù)的補(bǔ)碼和它的原碼相同負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼=數(shù)值位逐位求反(反碼)+1

如+5=（00101）

-5=（11011）在定點(diǎn)運(yùn)算中，通過(guò)補(bǔ)碼將減一個(gè)數(shù)用加上該數(shù)的補(bǔ)碼來(lái)實(shí)現(xiàn)2022/12/2310–5=510+7－12=5（舍棄進(jìn)位）

7+5=12產(chǎn)生進(jìn)位的模

7是-5對(duì)模數(shù)12的補(bǔ)碼2022/12/231011–0111=0100

（11-7=4）1011+1001=10100 =0100（舍棄進(jìn)位）（11+9－16=4）1001+0111=241001是-0111對(duì)模24

（16）的補(bǔ)碼2022/12/23兩個(gè)補(bǔ)碼表示的二進(jìn)制數(shù)相加時(shí)的符號(hào)位討論例：用二進(jìn)制補(bǔ)碼運(yùn)算求出13＋10、13－10、－13＋10、－13－10結(jié)論：將兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)位和來(lái)自最高位數(shù)字位的進(jìn)位相加，結(jié)果就是和的符號(hào)解：2022/12/231.4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算原碼在二進(jìn)制數(shù)的前面增加一位符號(hào)位，0表示正，1表示負(fù)，所得到的二進(jìn)制碼稱為原碼。補(bǔ)碼

n位（不包括符號(hào)位）二進(jìn)制數(shù)N，正數(shù)（符號(hào)位為0）的補(bǔ)碼和原碼相同，負(fù)數(shù)（符號(hào)位為1）的補(bǔ)碼等于2n-N。2022/12/231.4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算反碼

n位（不包括符號(hào)位）二進(jìn)制數(shù)N，正數(shù)的反碼和原碼相同，負(fù)數(shù)的反碼等于各位分別取反（1變?yōu)?，0變?yōu)?），符號(hào)位保持不變。由反碼求二進(jìn)制負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼二進(jìn)制負(fù)數(shù)的反碼+1，即得其補(bǔ)碼，符號(hào)位保持不變。2022/12/231.4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算由補(bǔ)碼實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制的減法運(yùn)算二進(jìn)制數(shù)的減法運(yùn)算可以通過(guò)加上減數(shù)的補(bǔ)碼實(shí)現(xiàn)。所以，二進(jìn)制數(shù)的加、減運(yùn)算：[X1+X2]COMP=[X1]COMP+[X2]COMP十進(jìn)制數(shù)（+36）

+（－38）

-2

原碼

0100100+1100110

？補(bǔ)碼

0100100+1011010

1111110[1100110

]COMP=

[1100110

]INV+1=

1011001+1

=1011010[1111110]COMP=[1111110]INV+1=1000001+1=10000102022/12/231.5幾種常用的編碼1.用一個(gè)四位二進(jìn)制代碼表示一位十進(jìn)制數(shù)字的編碼方法

十進(jìn)制數(shù)8421碼2421碼余3碼00000000000111000100010100200100010010130011001101104010001000111501011011100060110110010017011111011010810001110101191001111111002022/12/231.5幾種常用的編碼恒權(quán)碼

8421碼和2421碼每一位的十進(jìn)制數(shù)稱之為這一位的權(quán)，是固定不變的，稱為恒權(quán)碼。

例1.(1001)8421BCD=(?)10(1001)8421BCD=18+04+02+11=(9)102.(1011)2421=(?)10(1011)2421=12+04+12+11=(5)108421碼又稱BCD碼（BinaryCodedDecimal)2022/12/231.5幾種常用的編碼自補(bǔ)碼

2421碼和余3碼的0-9、1-8、2-7、3-6、4-5互為反碼，稱為自補(bǔ)碼。十進(jìn)制數(shù)8421碼2421碼余3碼00000000000111000100010100200100010010130011001101104010001000111501011011100060110110010017011111011010810001110101191001111111002022/12/231.5幾種常用的編碼2.格雷碼（GrayCode）十進(jìn)制數(shù)格雷碼十進(jìn)制數(shù)格雷碼00000811001000191101200111011113001011111040110121010501111310116010114100170100151000四位格雷碼的編碼表2022/12/231.5幾種常用的編碼