貴州省黔東南六校聯(lián)盟2022-2023學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（A）（ 含答案 ）

第20頁/共20頁黔東南六校聯(lián)盟2022～2023學年度第一學期期中聯(lián)考試卷高二數(shù)學全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.4．本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊，必修第二冊，選擇性必修第一冊第一章、第二章.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是合題目要求的．1.已知向量，，則的值為（）A. B.9 C.－7 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積坐標運算法則進行計算.【詳解】.故選：D2.已知向是，，且，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.4 C.－2或4 D.【答案】C【解析】【分析】求出，再由垂直向量的坐標表示即可得出答案.【詳解】，由，得，解得或－2．故選：C.3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】根據(jù)傾斜角的定義可得結(jié)果【詳解】因為直線即直線垂直于軸,根據(jù)傾斜角的定義可知該直線的傾斜角為，故選:C.4.在平行六面體中，設，，，M，P分別是，的中點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基底表示以及線性運算表示向量.【詳解】由題意，，分別是，的中點，如圖，所以.故選：C5.已知直線過點，且在兩坐標軸的截距相等，則滿足條件的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】B【解析】【分析】分類討論截距為零和截距不為零兩種情況，列出截距式計算即可.【詳解】分以下兩種情況討論：①當直線過原點時，設直線的方程為時，，即；②當直線不過原點時，設直線的方程為時，則，即.綜上所述，直線共2條．故選：B.6.關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線與且有兩個交點，數(shù)形結(jié)合判斷存在兩個交點對應的m范圍即可.【詳解】令且，則且，即圓的上半部分，只需恒過的直線與且有兩個交點即可，如上圖，當與半圓相切時，得，當過時，，當過時，，綜上，.故選：C7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由時，恒成立，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，可得函數(shù)圖象關于直線對稱，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與對稱性即可得解.【詳解】解：因為當時，恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于函數(shù)是偶函數(shù)，故函數(shù)圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)圖象關于直線對稱，所以，，由，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．故選：B.8.在圓冪定理中有一個切割線定理：如圖1所示，QR為圓O的切線，R為切點，QCD為割線，則．如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中，已知點，點P是圓上的任意一點，過點作直線BT垂直AP于點T，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，進而求得，再利用基本不等式即可得到答案【詳解】連接，在中，因為是的中點，所以，平方得，將代入可得，因為，所以，所以，在，，所以，當且僅當即時，取等號,故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知兩條平行直線：和：之間的距離小于，則實數(shù)m的值可能為（）A.0 B.1 C.2 D.－1【答案】AC【解析】【分析】由兩條平行直線間距離可求出實數(shù)m的取值范圍，即可得出答案.【詳解】直線：和：平行，則，兩條平行直線間距離，解得且，故0和2符合要求.故選:AC．10.已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（）A.若的最小正周期是，則B.當時，圖象的對稱中心的坐標都可以表示為C.當時，D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A.根據(jù)正切函數(shù)最小正周期公式計算即可；對于B.整體代入正切函數(shù)的對稱中心公式計算即可；對于C.寫出函數(shù)解析式代入計算即可；對于D.整體代入正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出關于的單增區(qū)間，再根據(jù)題意列出不等式計算出取值范圍.【詳解】當?shù)淖钚≌芷谑菚r，，則，故A選項正確；當時，，所以令，，解得，，所以函數(shù)的對稱中心的坐標為，故B選項不正確；當時，，，故C選項不正確；令，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因為，所以由，得，由，得，所以的取值范圍是，故D選項不正確．故選:BCD11.過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則（）A.弦AB的長度的最小值為B.當弦AB最短時弦所在的直線方程為C.弦AB的長度的最小值為D.當弦AB最短時弦所在的直線方程為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)、最短弦長等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，，所以在圓內(nèi)，，當AB⊥PC時，弦AB最短，最短弦長，A選項錯誤，C選項正確.，所以當最短時，，此時直線的方程為，B選項錯誤，D選項正確.故選：CD12.已知正方體的邊長為2，E?F?G?H分別為???的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.點到平面的距離為2 D.二面角的大小為【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)線線垂直、線面平行、點面距離、二面角等知識對選項進行分析，由此確定正確答案.【詳解】建立空間直角坐標系如下圖所示，，，所以，A選項正確，設平面法向量為，則，故可設，，由于平面，所以平面，B選項正確.，所以到平面的距離為，C選項正確.平面的法向量為,設二面角的平面角為，由圖可知，為銳角.，所以不是，D選項錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.過點作圓的切線，則切線方程為___________．【答案】或【解析】【分析】考慮直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑列出方程，求出切線方程.【詳解】①直線的斜率不存在時滿足，②直線斜率存在時，設切線方程為，則，所以切線方程為，即．故答案為：或.14.已知圓關于直線（a，b為大于0的數(shù)）對稱，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】由題意得直線過圓心，從而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】圓的圓心為，由題意得：直線過圓心，所以，又，，所以．（當且僅當，時，取“＝”）．故答案：.15.已知，，且，則實數(shù)___________．【答案】－2【解析】【分析】根據(jù)可以判斷，均為實數(shù)得出，再根據(jù)不等式限制取值范圍即可【詳解】由題意知，均為實數(shù)，則，即或．又，則，則，故．故答案為：－216.如圖，已知正方體的棱長為4，，，分別是棱，，的中點，設是該正方體表面上的一點，若，則點的軌跡圍成圖形的面積是______；的最大值為______．【答案】①.②.12【解析】【分析】如圖，分別取，，的中點，，，連接，可證明六邊形為正六邊形，從而可求其面積，利用向量數(shù)量積的幾何意義可求的最大值.【詳解】∵，∴點在平面上，如圖，分別取，，的中點，，，連接，因為為中點，故，又由正方體可得，，故，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點共面，同理可證四點共面，故五點共面，同理可證四點共面，故六點共面，由正方體的對稱性可得六邊形為正六邊形.故點的軌跡是正六邊形，因為正方體的棱長為4，所以正六邊形的邊長為，所以點的軌跡圍成圖形的面積是．如圖，，∴的最大值為12．故答案為：，12．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.已知點，，，H是的垂心．（1）求點C的坐標；（2）求的外接圓的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出直線的斜率，則可求出直線的斜率和直線的傾斜角，求出直線的方程，聯(lián)立方程組求出兩直線的交點C的坐標；（2）先得到邊和邊的中垂線方程，進行聯(lián)立得圓心坐標，再利用兩點距離公式算出半徑，即可得到答案【小問1詳解】因為點，，，H是△ABC的垂心，所以，所以，∴直線的方程為即，又∵，∴所在直線與x軸垂直，故直線BC的方程為，聯(lián)立直線與的方程得點的坐標為；【小問2詳解】邊的中垂線方程為，因為，所以邊的中垂線的斜率等于，因為邊的中點為，故邊的中垂線的方程為：，所以聯(lián)立兩條中垂線得解得，所以圓心坐標為，半徑，則的外接圓的標準方程為.18.如圖，在正方體中，E為的中點，F(xiàn)為的中點．（1）求證：EF//平面ABCD；（2）求直線DE，BF所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的傳遞先證明線線平行，繼而證明線面平行；（2）以D為坐標原點，向量，，方向分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，根據(jù)空間角的計算公式計算即可.【小問1詳解】證明：如圖連∵幾何體為正方體，∴，∴EF∥BD∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD；【小問2詳解】解：以D為坐標原點，向量，，方向分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系令，可得點D的坐標為，點E的坐標為，點F的坐標為，點B的坐標為，，DE，BF所成角的余弦值為19.2022年11月卡塔爾世界杯即將到來，這是世界足球的一場盛宴．為了了解全民對足球的熱愛程度，組委會在某場比賽結(jié)束后，隨機抽取了1000名觀眾進行對足球“喜愛度”的調(diào)查評分，將得到的分數(shù)分成6段：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求m的值并估計這1000名觀眾評分的中位數(shù)；（2）若評分在“90分及以上”確定為“足球發(fā)燒友”，現(xiàn)從“足球發(fā)燒友”中按區(qū)間與兩部分按比例分層抽樣抽取5人，然后再從中任意選取兩人作進一步的訪談，求這兩人中至少有1人的評分在區(qū)間的概率．【答案】（1），87.5（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)中位數(shù)求法求得中位數(shù).（2）根據(jù)分層抽樣的知識求得與兩部分抽取的人數(shù)，然后結(jié)合古典概型概率計算公式計算出正確答案.【小問1詳解】因為，所以．設y為觀眾評分的中位數(shù)，由前三組的概率和為0.375，前四組的概率和為0.625，知，所以，則；【小問2詳解】以樣本的頻率作為概率，評分在“90分及以上”確定為“足球迷發(fā)燒友”，現(xiàn)從“足球速發(fā)燒友”中按分層抽樣抽取5人，則從評分在區(qū)間的“足球速發(fā)燒友”中抽取3人，記為A，B，C，從評分在區(qū)間的“足球速發(fā)燒友”中抽取2人，記為a，b．從5人中選取2人作進一步的訪談的所有事件為：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10個基本事件，這兩人中至少有1人的評分在區(qū)間的基本事件有：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，共9個基本事件，則選取的2人中至少有1人的評分在區(qū)上的概率．20.如圖，在四棱錐中，，，平面平面PAD，E是的中點，F(xiàn)是DC上一點，G是PC上一點，且，.（1）求證：平面平面PAB；（2）若，，求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）從線面垂直的證明入手，證明平面PAB，從而證得平面平面PAB；（2）添加輔助線，找到直線PB與平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空間直角坐標系，利用空間向量法進行求解.【詳解】（1）如圖，取的中點M，連接MD，ME，則，.又，，所以，，所以四邊形MDFE是平行四邊形，所以.因為，所以.因為平面平面PAD，平面平面，，所以平面PAD.因為平面PAD，所以.因為，所以平面PAB，所以平面PAB.又平面EFG，所以平面平面PAB.（2）解法—：過點P作于點H，則平面ABCD，以H為坐標原點，HA所在直線為x軸，過點H且平行于AB的直線為y軸，PH所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.在等腰三角形PAD中，，，因為，所以，解得，則，所以，，所以.易知平面ABCD的一個法向量為，所以，所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.解法二：由（1）可知平面PAD，因為平面PAD，所以.在直角三角形PAB中，由勾股定理可得.過點P作于點H，則平面ABCD，連接HB，則是直線PB與平面ABCD所成的角.在等腰三角形PAD中，，，因為，所以，解得，在直角三角形PHB中，.所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明以及直線與平面所成角的正弦值的求解，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題.試題要求考生能根據(jù)題干中的信息正確分析出圖形中點、線、面之間的位置關系，對邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)要求較高.21.已知的內(nèi)角A，，的對邊分別是，，，點是邊上的中點，，且的面積為．（1）求A的大小及的值；（2）若，求的長．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理求得A,根據(jù)面積求出，根據(jù)數(shù)量積的定義計算可得答案；（2）由已知結(jié)合（1）的結(jié)論求得b,利用余弦定理求得BC的長，在和中分別用余弦定理，即可求得答案.【小問1詳解】在中，，由正弦定理得，可得，又，，，，解得，