導(dǎo)數(shù)中八大切線問題題型總結(jié)（解析）

導(dǎo)數(shù)中八大切線問題題型總結(jié)【考點頸費】.在點的切線方程切線方程式一/(電,)(x-x0)的計算：函數(shù)n=/(z)在點/(?)))處的切線方程為y-r?)=f(Xo)(Xo)(x—Ho),抓住關(guān)鍵k=f(x0)'.過點的切線方程設(shè)切點為P(如謫,則斜率右=/'(%)，過切點的切線方程為：y-^=f'(ru)(x-*，又因為切線方程過點,71),所以71—訓(xùn)=/'(N")(771—4)然后解出工"的值.E有幾個值，就有幾條切線)注意:在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.【題型目錄】題型一:導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系題型二:在點P處切線(此類題目點P即為切點)題型三:過點P的切線(此類題目點P不一定為切點，需要設(shè)切點為(如，珈))題型四：已知切線求參數(shù)問題題型五:切線的條數(shù)問題(判斷切線條數(shù)以及由切線條數(shù)求范圍)題型六:公切線問題題型七:切線平行、垂直、重合問題題型八:與切線相關(guān)的最值問題【具例例題】題型一，導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系【例1】(2022?全國?高三專題練習(xí)(文))函數(shù)“=/(工)的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是(A.0<f(2)<f(3)</(3)-/(2)B.0<f(2)</(3)-/(2)<f(3)C.0<f(3)<f(3)-/(2)<f(2)D.0</(3)-/(2)</,(2)</,(3)l答案】C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)平均變化率的定義，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得r(2)表示切線乙斜率所〉(),r(3)表示切線匕斜率履>(),又由平均變化率的定義，可得陰一?2)=/(3)—/(2)，表示割線。的斜率七，結(jié)合圖象，可得0〈心〈自〈品，即o<f(3)</(3)-f(2)<f(2).故選：C.

【例2】函數(shù)沙=/（工）的圖象如圖所示,/（：/：）是函數(shù)/（工）的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（A.2/,（4）＜/（1）-./'（2）＜2/-（2）2/f（2）＜/（4）-/（2）＜2^（4）2/（（1）＜2/,（2）＜/（1）-/（2）f（4）-f（2）＜2f（4）＜2f（2）【答案】B【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷【詳解】由圖象可知/（工）在（O.+oo）上單調(diào)遞增，kt＜kAR＜k＞,故/'（2）＜ [⑵＜/，（4）,即2f（2）＜f（4）-f（2）＜2f（4）【題型專練】1.（2021?福堂?泉州4城北大墻文學(xué)校高三期中）（多選題）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示,/'（工）【題型專練】1.（2021?福堂?泉州4城北大墻文學(xué)校高三期中）（多選題）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示,/'（工）是/①）的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值的排序正確的是（A.f（3）＜f（2）B./⑶＜f（3）-f（2）C.f（2）＜/（3）-J（2）D./（3）-A2）＜0l答案】AB【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得r⑵〉r⑶，記4（2,/⑵），夙3J（3））,作直線49,根據(jù)兩點坐標求出直線AB的斜率，結(jié)合圖形即可得出八3）—/（2）＞/'（3）.【詳解】由函數(shù)的圖象可知函數(shù)〃工）是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)圖象上任意一點處的導(dǎo)函數(shù)值都大于零，并且由圖象可知，函數(shù)圖象在工=2處的切線斜率島大于在z=3處的切線斜率乩，所以r（2）＞r⑶；記4（2J（2））,B（3,〃3））,作直線AB,則直線AB的斜率k=“3：⑵=/（3）-/（2）,由函數(shù)圖象，可知自＞k＞凡＞0,即r（2）＞/（3）-/（2）＞f（3）＞0.故選：AB2.（2022?黑龍江齊齊哈爾?玄二期末）函數(shù)“=/（工）的圖象如圖所示，2.（2022?黑龍江齊齊哈爾?玄二期末）函數(shù)“=/（工）的圖象如圖所示，/'（工）是函數(shù)/（工）的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A.2*3）＜/（5）-/（3）＜205）2f（3）＜2f（5）＜/（5）-/（3）/⑸—/⑶＜2尸⑶＜2廣⑸2*3）＜2/15）＜/（5）-/⑶【答案】AI分析】由y=/（z）圖象的變化趨勢，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的定義有/'（3）＜粵二磐＜/'（5）,即可得答案.JJ【詳解】由圖知:/,(3)< <f(5),即2/'⑶<〃5)-〃3)V2〃5).0o故選：A題型二，在點P處切線（此類題目點pIP為切點）【例1】12019年新樂標3#理科】已知曲線^二加一川迪在點（Lae）處的切線方程為?/=2z+b,則a—e,b=—1a=e,b=1a—e-1,b=1a=e~',b=—1【答案】D【解析】通過求導(dǎo)數(shù),確定得到切線斜率的表達式，求得a,將點的坐標代入直線方程，求得b.【詳解】詳解：y*=aeJ+Inx+1,k=y'\,T,=i=ae+1=2,.'.a=e-1將（1,1）代入y=2:r+b得2+6=1,匕=-1,故選。.【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a,b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系.【例2】（2022?全國?高三壽題練習(xí)（文））已知函數(shù)/㈤是定義在R上的奇函數(shù)，且〃工）=—2:/+3ax-f（l）x,則函數(shù)〃工）的圖象在點（-2,/（-2））處的切線的斜率為（）A.-21 B,-27 C.-24 D.-25【答案】A【解析】求導(dǎo)數(shù)得出廣（1）,結(jié)合奇函數(shù)定義得函數(shù)解析式，然后計算r（一2）即可.【詳解】f（H）是奇函數(shù)，f（-x）=2x'+3aa:2+f,（l）^=—/（x）=2x:i-3ax2+恒成立，所以a=0,f（x）=一2"一/'⑴工,r（/）=-6/-r⑴，所以r⑴=-6—r⑴，/'⑴=-3,即廣㈤=-6/+3,r（-2）=-6x（-2）2+3=-21.故選：A.【例3】（2022?河南盾波縣第一中學(xué)模板演潴（?））曲線y=x\n（2x+5）在工=一2處的切線方程為（）A.4丁-y+8=0B.4z+y+8=0C.'ix—y+6—0 D.3z+y+6=0【答案】B【解析】將工=-2代入曲線方程求得切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，利用直線方程點斜式求解即可.【詳解】解：因為g=±ln（2i+5）,所以/=[xln（2x+5）]'=ln（2rr+5）+w空所以￡1=,）=—4.又當(dāng)出二-2時，y=x\nl=0,故切點坐標為（-2,0）,所以切線方程為41+g+8=0.故選：B.【例4】過函數(shù)fQ）=}e。一￡圖像上一個動點作函數(shù)的切線，則切線領(lǐng)斜角范圍為（）A.峙） B.[0奇）U（竽而 C.（等） D.信孥【答案】B【解析】求得了'（h）=e"-1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到e"—1>-1,即切線的斜率k>一1,進而得到tan0>-1,即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)/（工）=/e2，-z,可得/'（工）=e"-1,因為e">0,所以即切線的斜率人>-1,設(shè)切線的傾斜角為8,則tan（9>-1又因為046<兀，所以049V守或華<。<兀，即切線的傾斜角的范圍為[0,專）U（苧,兀）.故選：B.【例5】（2022?安徽?集湖市第一中學(xué)模擬覆測（文））曲線y=等券在點（1,6）處的切線方程為fcx-“+6=0,則k的值為（）9 一1A.-1 B.—g- C. D.1【答案】A【解析】依據(jù)題意列出關(guān)于a、b、A:的方程組，即可求得A:的值【詳解】由切點（1⑹在曲線上，得6=駕包①；由切點（l,b）在切線上，得k—6+6=0②；對曲線求導(dǎo)得d=姆亍&7,yl=1= =k，即4-a=9k③，\Xi ' ob= ja=13聯(lián)立①②③/_b+6=o,解之得，>=5,4-a=9fc □=_]故選：A.【例6】（2022?江西中城九中高二期末（&））已知函數(shù)/㈤=[粵7一"，圖像關(guān)于原點對稱，則/㈤L（。），cVO在。=一1處的切線方程為（）A?3z-y+2=0B?3z—y—2=。 C?3；r+g+4=0 D.3z+y-4=0【答案】A【分析】令％=2先求出/（2）的值，再利用函數(shù)關(guān)于原點對稱可求出g（rr）,再利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義即可求出f（x）在。=—1處的切線方程.【詳解】由題意知：/（2）=與■x22-2nf⑵=6.所以/(%)所以/(%)=2x2—x,x>0g(z),①VO所以/（一⑼=2x2+x.又函數(shù)/3）圖像關(guān)于原點對稱，即/（一/）=-/（1）.所以當(dāng)①V0時，/Q）=-2x2—x.所以當(dāng)①V0時，/'（￡）=-41—1.r(-1)=4-1=3,/(-1)=-2+1=-1;所以/(%)在￡=—1處的切線方程為：y+l=3(x4-l)=>3x—?/4-2=0.故選：A.【題型專練】1.【2018年新譚標1叁理科】設(shè)函數(shù)/（。）=/+（?！?）/+的.若/（"為奇函數(shù)，則曲線g=在點（0,0）處的切線方程為（）A.?/=-2x B.7/=—x C.y=2x D.y=x【答案】D【解析】分析：利用奇函數(shù)偶次項系數(shù)為零求得Q=l,進而得到/3）的解析式，再對/3）求導(dǎo)得出切線的斜率k,進而求得切線方程.詳解：因為函數(shù)/3）是奇函數(shù)，所以@一1=0,解得a=1,所以/（1）=7'+。，/'3）=3/+1,所以r（o）=i,/（o）=o,所以曲線y=f（i）在點（0,0）處的切線方程為y—/（0）=/'（0）￡,化簡可得y=故選D點睛：該題考查的是有關(guān)曲線y=/G）在某個點⑶J（曲））處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結(jié)論多項式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項，偶函數(shù)不存在奇次項，從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導(dǎo)公式求得/'（①），借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合直線方程的點斜式求得結(jié)果..【2021年甲卷理科】曲線？=若/在點（—1,—3）處的切線方程為一【卷案】5z—y+2=0【解析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可.【詳解】由題，當(dāng)工=-1時，？=-3,故點在曲線上.來導(dǎo)"："=U+2p=Gr+2）2'所以引'=7—5.故切線方程為5rr-y+2=0.故答案為：5工一?/+2=0..【2019年新厚標1卷理科】曲線y=3（/+Me，在點（0,0）處的切線方程為.【答案】3N—y=0.【解析】本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)教，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程

【詳解】詳解：yf=3（2z+l）e，+3（/+z）e，=3（/+37+l）eT,所以，k=j/|r=o=3所以，曲線9=3（/+工加",在點（0,0）處的切線方程為y—,ix,即3工一y=（）.【點睛】準確求導(dǎo)數(shù)是進一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導(dǎo)數(shù)的運算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計算錯誤.求導(dǎo)要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求..【2018年新譯標2#雙料】曲線y=21nQ+1）在點（0,0）處的切線方程為.【答案】沙=2工［解析］先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式求切線方程.【詳解】, 2 . 2Vy=^TTAfc=o+T=2-'y=2a:【點睛】求曲線的切線要注意“過點尸的切線”與“在點尸處的切線”的差異，過點尸的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點尸為切點..［2018年新東標3?理科】曲線y=（az+l）e工在點（0,1）處的切線的斜率為一2,則a=.【答案】-3【解析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】解：y'=aeJ+（ax+l）er則/'（0）=a+1=—2所以a=-3故答案為一3.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題題型三?過點P的切線（此類題目點P不一定為切點,需要設(shè)切點為（小的））【例1】（2022年崎嗇*2卷】曲線夕=In㈤過坐標原點的兩條切線的施為,I答案】y=~xy=-xe el解析】分工＞0和HVO兩種情況，當(dāng)工＞0時設(shè)切點為（工”,也叫），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出內(nèi)，即可求出切線方程，當(dāng)工V0時同理可得；【詳解】解：因為y=ln|z|,當(dāng)h＞0時y=Inz,設(shè)切點為（zn,lns（））,由y'=一，所以式|工=國,=—，所以切線方程為y—lns0=TOC\o"1-5"\h\zX 1°占（工一工0）,函）又切線過坐標原點，所以一In的=：（一見）），解得g=e，所以切線方程為y—1=1（入一e）,即沙=x（） g e當(dāng)1V0時y=ln（一①），設(shè)切點為（孫ln（-%］））,由d=工，所以￡|1=為=」-,所以切線方程為沙一111（一電）X X\=44-皿），又切線過坐標原點，所以一hi（一為）=:（一為），解得電=-e,所以切線方程為y—1==］（①+e）,即沙=1

一￡叫

故答案為："=【例2】（2022B川?廣安二中二模（文））函數(shù)/㈤=zd過點（0,0）的切線方程為（）A.//=0 B.i/+y=（） C.。=（）或力+./=（）D.“=（）或《/+）=（）【答案】C【解析】設(shè)切點（7n,nrVn）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求該切點上的切線方程，再由切線過（0,0）代入求參數(shù)m,即可得切線方程.【詳解】由題設(shè)r（6）=（2w+x2）ex,若切點為（m,7n2em）,則f（m）=（2m+m2）em,所以切線方程為期一m2em=（2m+m2）ern（x—m）,又切線過（0,0）,則rrrem=（2+m）/n2em，可得7幾=0或m=—1,當(dāng)m=0時，切線為y=0;當(dāng)zn=-1時，切線為eg—1=—（n+1）,整理得z+ey=0.故選:C【例3】（2022?W川省成春市郭春區(qū)第一中學(xué)高三院段練習(xí)（文））若過點（十,0）的直線與函數(shù)的圖象相切，則所有可能的切點橫坐標之和為（）1A.e4~1 B.—C.1 D.~-y【答案】D【解析1由已知，設(shè)出切點，寫出切線方程，然后把點（J,o）代入方程，解出切點坐標即可完成求解.【詳解】因為函數(shù)/（0=xex,所以/'（z）=（￡+1）蹴,設(shè)切點為（如ge*），則切線方程為：y—的鏟'=（物+l）e:r,（x-囚））,將點（1,0）代入得一研孫=（剪+1）的（4—?o）,即一網(wǎng)=（m+1）（-^--而）,解得面=―或而=1,所以切點橫坐標之和為一}+1=y故選：D【例4】（2022?廣東?佛山市南海區(qū)九江中學(xué)寄二階段練習(xí)）直線夕=緊一6與曲線？=一1I+111工相切,則5的值為（）A.2 B.-2 C.-1 D.1【答案】D【分析】求出y'=-y+y,設(shè)切點（如珈），由y'（的）=/求出（4,%），代入y=}/一b可得答案.【詳解1y,=—y+4,設(shè)切點（跖隊）,由y'（xu）=—+4=J,所以的=1,珈=-代入y= —得b=l.故選：D.【題型專練】L（2022?陜西安*高三期末（文））曲線片2x\nx+3過點（-0）的切線方程是（）

A.2r+y+l=0B.2x-y+l=0C.2；/：+1//+1=0D.2x-4y+1=0【答案】B【解析】設(shè)出切點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)列方程，由此求出切點坐標并求出切線的斜率，進而可得切線方程.【詳解】由題意可得點（一等,（））不在曲線2/=2工111工+3上，設(shè)切點為（如為），因為y'=21n①+2,所以所求切線的斜率k=21rl的+2=—1"1=0”,xo+f4+1所以劭=2匈11藥）+24）+lng）+1.因為點（的,yj是切點，所以珈=2ghi期+3,所以2x（llnx0+2囚）+In7（）+1=2“11］電）+3,即2叫+lnx0—2=0.設(shè)/（i）=2%+111%-2,明顯/（工）在（0,+8）上單調(diào)遞增，且/（1）=0,所以2網(wǎng)+lnx0—2=0有唯一解m=1,則所求切線的斜率fc=2,故所求切線方程為y=2（7+;）=2x+1.故選：B..（2022?廣東茂名?二?）過坐標原點作曲線y=lnx的切線，則切點的縱坐標為（）【答案】B【解析】設(shè)出切點P（&』nm）（而>0）,利用導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，寫出切線方程，將原點坐標代入切線方程，解出即可.【詳解】解：設(shè)切點P（x0,lnx（））（x（l>0）,由y=Inrc,得式=5，所以耳,『=/,曲線在點P處的切線/方程為y—lnx0=—（x—x0）,又/過（0,0）,???Tn叫=二（一的），解得的=e,我）:,切點P（e,l）,縱坐標為1.故選：.過點（0,-1）作曲線/（工）=工11位的切線，則切線方程為（ ）A.a?+y+l=O B.；r—y—1=0C.x+2y+2=0D.2t—y-1=0【答案】B【解析】設(shè)切點為（如如），再求出切點坐標，即得切線的斜率，再寫出切線的方程即得解.【詳解】f'（x）=Inx+1,設(shè)切點為（私劭），/.yo=xolnxo,例+1=Inr0+1,勺0xoln］（）+1=Tolnxlt+x（）,x0=1,坊=0,所以｝=/'（3）=1,

二切線方程為y=：r—1,即;r—y—1=0,故選：3.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查曲線的切線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平..已知/（工）=則過點P（—1,0）且與曲線y=/（x）相切的直線方程為（）A.y=0 B.4x+y+4=0C.y=0或4rr+y+4=0 D.y=0或4c—y+4=0【答案1C【解析】設(shè)切點為（工0,珈）則切線方程為y—曷=2工0（H一兩），將點P（—1,0）代入解工”，即可求切線方程.【詳解】設(shè)切點為（如防），則物=就，切線斜率為A:=/'（3）=2x?所以切線方程為y—x'n=2x0（x—xn）＞因為過點尸（-1,0）則—1o=2x0（—l—s0）解得g=0或方）=—2,所以切線方程為y=0或47+?+4=0故選:C題型四:已知切線求參數(shù)問題【例1】（2022?湖南?模擬演測）已知P是曲線C-.y=ln3;+x-+（V3-a）工上的一動點，曲線。在P點處的切線的傾斜角為仇若■，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[2V3,0） B.[272,0） C.（-8,2g] D.（-o0,2V2]【答案】D【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及給定傾斜角的范圍，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解a的范圍即可.【詳解】因為y=Inx+/+（――a）;r,所以y'=—+2x+V3—a,因為曲線在M處的切線的傾斜角℃[￡,￡）,所以tan^=＞/3對于任意的工＞0恒成立，即工+2rr+6一a'g對任意工＞0恒成立，X1 1 f- 1即a424+」?，又2工+-5-＞2V2,當(dāng)且僅當(dāng)2Z=工，X X X即工=冬時，等號成立，故a422,所以a的取值范圍是（-8,2播].故選：D.【例2】（2022?廣東X.門高做中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線y=hr+1—ln2是曲線a=Inz+2的切線，則k=【答案】2【分析】設(shè)切點8（電，納），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可.[詳解]對函數(shù)y=Inz+2求導(dǎo)得￡=]■，設(shè)直線y=紅+1—ln2與曲線y=Inz+2相切于點R（zi,yj,則功=lni|+2,由點8（孫?。┰谇芯€上得y-（Inrr,+2）=」-（工一電），即y=」-工+111電+1,所以

I——=k ]為 ，解得力=5■，卜=2.(1+lnX1=1—ln2故答案為：2【例3】(2022?陜西?千國縣中學(xué)高三院段練習(xí)(文))已知曲線y=a短+Nini在點(l,ae)處的切線方程為沙=2]+b,貝!|b=【答案】-1【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題中條件，列出方程，求解，即可得出再由切點坐標，即可求出結(jié)果.【詳解】因為沙=加，+￡11】3的導(dǎo)數(shù)為y'=aex-I-Inx-I-1,又函數(shù)g=Qe，+:rlni在點(1,qc)處的切線方程為y=2x-^b,可得ae+0+1=2,解得a=eT,又切點為(1,1),可得1=2+b,即b=-1.故答案為：一1.【例4】(2022?江蘇蘇州,模板覆測)已知奇函數(shù)"c)=(/_20)(s+b)(aWO)在點(a,/(a))處的切線方程為g=/(a),則b=()A.-1或1 B.-空或空C.-2或2 或單O o J J【答案】D【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)可得b=2a,根據(jù)切線的斜率為0建立方程求出q即可得解.【詳解】由/(土)=(x2—2x)(ax+b)(QW0)可得f(x)=a/+(b-2a)x2—2bxy因為/(—i)=—/(n),所以b—2q=0,解得b=2a.所以V=/(a)=q'一4a2,故切線斜率k=r(a)=0,又f'(x)=q(3/-4),所以/'(q)=q(3q2—4)=0,解得a=2瓦3或。=—23.,o J-_4V3上4V3所以b_或一~-.Jo故選:D【題型專練】.(2022?云南??江市救肓科學(xué)研究所高二期末)已知曲線/⑸=(工+a)e,在點(-1,/(-1))處的切線與直線2x+y-1=0垂直,則實數(shù)a的值為.【答案】/【分析1由已知可得切線斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求解即可.【詳解】因為/'(N)=(k+a+l)e工，所以切線的斜率為fc=/r(-1)=Q6I而切線與直線2i+g-l=0垂直，所以0€一?(-2)=-1,解得。=宗故答案為：y..(2022?云南晶■?模擬IX測(it))若函數(shù)/⑴=aVx+\nx的圖象在x=1處的切線方程為沙=rr+b,則()A.a=3,b=2+ln4 B.a=3,b=—2+ln4C.a=?,b=-1+ln4 D.a=,,b=l+ln4【答案】A【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】f（x）的定義域為（0,+?>）,HU由題意可得像）=*,即［第+?］，解得4，1/⑷-4+b（o,74+ln4=4+bH+ln4故選：A3.（2022?河南?方城第一高做中學(xué)模擬演測（?））已知直線/的斜率為2"與曲線G：“=式1+Inx）和圓Q：6工+71=（）均相切，則n=（）A.-4 B.-1 C.1 D.4【答案】D（解析】設(shè)曲線G的切點，利用曲線的幾何意義可得切點坐標，進而求得切線方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑即可求得71值.【詳解】設(shè)直線，：2t-y+m=0與曲線G相切，切點為（如工"（1+lnx（）））,因為y=x［\+Inrr）的導(dǎo)數(shù)為y'=2+Inx,由2+lnio=2,解得cn=1,所以切點為（1,1）,代入一y+m=0得m=-1,所以切線方程為2:r—y-l=0.將/+才-6z+n=0化為標準方程為（工一3尸+熄=9-n（n<9）,因為/與圓Q相切，所以7?”=，9—n,解得n=4.V22+l故選:D題型五，切線的條數(shù)問題（判斷切線條數(shù)以及由切線條數(shù)求范圍）【例1】（2022?河南洛西?三模（丈））若過點尸（1,0）作曲線g=/的切線,則這樣的切線共有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】C【解析】設(shè)切點為（瑜琮），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線方程，再根據(jù)點P在切線上，即可代入切線方程，解得而，即可得解；【詳解】解：設(shè)切點為（Xo,xo）,由？= 所以？，=3工2,所以引工=句=3舄，所以切線方程為y-?虜=3曲（工一兩），即“=3而2若，因為切線過點尸（1,0）,所以0=3就—2碗,?1解得■的=0或工o=豆，所以過點P（l,0）作曲線"=力的切線可以作2條，故選:C【例2】（2022?全國4三專題練習(xí)）若過點（a,b）可以作曲線y=Inz的兩條切線，則（）A.a<Infe B.fe<lna C.lnfe<a D.Ina<6【答案】D【解析】設(shè)切點坐標為（:to，"），由切點坐標求出切線方程，代入坐標（a,6）,關(guān)于工。的方程有兩個不同的實數(shù)解，變形后轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個交點，構(gòu)造新函數(shù)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的圖象后可得.【詳解】

設(shè)切點坐標為(的,物)，由于談=工，因此切線方程為y-lng=」-3X Xq—亞)，又切線過點(Q,b),則b-lnx0=~~~—,b+1=lnc()+多，設(shè)/(i)=lnx+羨，函數(shù)定義域是(0,4-do),則直線g=b+1與曲線/3)=inR+個?有兩個不同的交點，/(⑼=；-々=x~fa,x x xz當(dāng)。<0時，/'(%)>0恒成立，/(6)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)a>0時,0<x<a時,r(c)VOJ3)單調(diào)遞減,￡>q時，/'3)>oJ3)單調(diào)遞增，所以/3).=/(。)=11】。+1,結(jié)合圖像知b+1>Ina+1,即b>Ina.故選：D.【例3][2021年新高者1卷】若過點(a、b)可以作曲線v=d的兩條切線,則(A.eh<a B.ea<bC.O<a<eb D,O<b<ea【答案】D【解析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線y=的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(a,b)在曲線下方和z軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線V=e，上任取一點P(ttef),對函數(shù)y=ex求導(dǎo)得y,=ex,所以，曲線g=e，在點尸處的切線方程為y—e'=e'(i—t),即y=etx+(1-t)e\由題意可知，點(a,6)在直線g=e￡+(1—￡)e’上，可得6=。/+(1—t)ef=(a+1—￡)e'，令f(t)=(a+1—土)e',則/⑴=(a-t)er.當(dāng)￡Va時，r(t)>0,此時函數(shù)f(t)單調(diào)遞增,當(dāng)。a時，/'(￡)V0,此時函數(shù)/(￡)單調(diào)遞減，所以，/(Dmax=/(a)=e",由題意可知，直線U=b與曲線g=/(1)的圖象有兩個交點，則bV/(t)n1ax=eu,當(dāng)￡Va+l時，/(￡)>0,當(dāng)￡>a+l時，/?)V0,作出函數(shù)/(￡)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)OVbVe"時，直線y=b與曲線沙=/(￡)的圖象有兩個交點.故選：D解法二：畫出函數(shù)曲線g=e，的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(Q,b)在曲線下方和c軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知0VbVe".故選：D【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.

【例4】（2022?河南洛用?三模?））若過點P（l,t）可作出曲線v="的三條切線,則實數(shù)t的取值范圍是（）D.{0,1}A.（一8/） B.（0,+~）D.{0,1}【答案】C【解析】由已知，設(shè)出切點，然后寫出切線方程，把點P帶入切線方程中，然后對式子進行整理，分別設(shè)出兩個函數(shù)，y=t與9（/）=3/—2/3,借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)9（工）的單調(diào)性和極值，然后作圖，看兩個函數(shù)圖象的交點情況即可完成求解.【詳解】由已知，曲線y=/,即令/（工）=x3,則/（工）=3x2,設(shè)切點為（布,嶗），切線方程的斜率為/'（費）=3x（）,所以切線方程為：y—碇=3帚（工一工（,）,將點P（l,t）代入方程得：￡一羽；=3xo（1-Xb），整理得t=3就-2xq,設(shè)函數(shù)。4）=3/2—2工3,過點p（l,t）可作出曲線沙=爐的三條切線，可知兩個函數(shù)圖像沙=力與g（c）=3工2—2三’有三個不同的交點,又因為g'（H）=6x—6x2,由g'（x）=0,可得rr=0或a:=1,所以函數(shù)g（z）在（-8,0）,（1,+8）上單調(diào)遞減，在（0,1）上單調(diào)遞增,所以函數(shù)g（r）的極大值為g⑴=3—2=1,函數(shù)g（a:）的極小值為g（0）=0—0=0,如圖所示，當(dāng)（0,1）時，兩個函數(shù)圖像有三個不同的交點.故選：C.【例5】（2022?河北遇三階段練習(xí)）若過點尸（l,m）可以作三條直線與曲線C：y=言相切，則m的取值范圍為（）A.（-8,魯） B.（0,t） C.（―8,0） D.（喜帝【答案】L）【解析】本題為過點P的切線，切點為（外鄉(xiāng)），可得切線方程y-弓"=二^（工一叫），代入點P坐標整理為rn=——，+1，即y=Tn與/（x）=- ?有三個交點.― e【詳解】由g=。，則式=J ,設(shè)切點為（％,琶），則切線斜率/c=1則在點（叫，言）的切線方程為g―崇=1 （7—徹）,代入點P坐標得m-當(dāng)=1丁*（1-①（）鏟留'整理為771= ,即這個方程有三個不等式實根,e曲令/（1）=工”一,+1,則f'（x）=一_+y_2,e e令/'（e）>（）則l<x<2函數(shù)〃工）在（-00,1）上單調(diào)遞減，在（1,2）上單調(diào)遞增，在（2,+8）上單調(diào)遞減，

故得f⑴VmV/(2),即?號)故選：D.【例6】(2022?黑龍江0爾濱市第六中學(xué)校南二期末)過直線y=x-l上一點尸可以作曲線/㈤=/一Inz的兩條切線，則點P橫坐標。的取值范圍為()A.0<t<l B.1<t<e C.0<t<e D.-<t<1e【答案】c[分析1根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，再將方程t=2Ho—電,ln網(wǎng)的根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)V=t與函數(shù)g(x)=2x-xlnx的圖象的交點個數(shù)問題，結(jié)合圖象，即可得出答案.【詳解】解：由題意得P(Kt-l),設(shè)切點為A(x0,y0),T0>Q,,■/(x)=i-,r㈤)=1-十=1,則過點尸的切線方程為y—x[}-^\nx[]=~―-(X—x0),整理得y=馬--x—lnxu-I-1,g x()t—1由點P在切線上，則￡—1=- 1—ln+()+1,即±=2八一期Jn兩，因為過直線y=z—1上一點尸可以作曲線/(.)—X—Ina?兩條切線，所以關(guān)于.7：1)的方程(=2%“一.T“l(fā)u.r”有兩個不等的實數(shù)根， e，—t即函數(shù)y=I與函教</(.1)=2”：一：rh1/的圖象有兩個交點， -f--: ) aO\e\xg(x)=2—Inx—1=1—Ini, \(.7')>0=>0<t<e,g>(：?)(0=>j,)e, N=9(x)\則函數(shù)g(T)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，且g(e)=e,工―0時,g(x)->0;a;-?+8時,g(x)-?—8,則函數(shù)y=t與函數(shù)g(:r)=-xlnx+2h的圖象如下圖所示：由圖可知，0VtVe,【題型專雄】1.(2022?內(nèi)蒙古號和浩林?二*(?))若過點可以作三條直線與曲線。：y=ze，相切，則m的取值范圍是()【答案】D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)切點為(曲,協(xié))，過點尸的切線方程為y=(x0+Oe^,Cx—x0)+ge*1,代入點尸坐標，化簡為m=(-x(?-x0-l)e,1，即這個方程有三個不等根即可.令/(工)=(-x2-x-l)e\求導(dǎo)得：/'(h)=(-x-l)(s+2)eI.令/'(a;)>0,解得：-2<工<-1,所以/(工)在(-2,-1)上遞增；令#(ir)<0,解得：工<-2或工>一1,所以，㈤在(-00,-2)和(-l.+oo)上遞增.要使方程m=(一就一月‘一De，"有三個不等根即可.只需即=<工<一上.e e故選:D

(2022?廣東深圳?二?)已知a>0,若過點(a,b)可以作曲線沙=/的三條切線，則()A.b<0 B.0<b<a:, C.b>a3 D.b(b-a3)=0【答案】B【解析1設(shè)切點為(:c(),就)，切線方程為y=k(:r-a)+b,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到\ _：,,(AC〈刈)—O>)tu—囚)整理得2端—3a就+6=0,令g(%)=2x:i—3ax2+b,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值,依題意9年)有三個零點，即可得到不等式組，從而得解；【詳解】解:設(shè)切點為(如就)，切線方程為U=k(x一a)+b,由g=",所以式=3",所以式|『=八=3M,則｛fc(Z03-a)+6=4所以2就-3鬲+b=0,令g(6)=2x3—3ax2+fe,則gr(x)=6x2—Gax=6x(x—a),因為a>0,所以當(dāng)0V()或±>a時g'(i)>0,當(dāng)OViVa時g'(i)<0,所以g(i)在(-8,0)和(a,4-oo)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)①=0時g(i)取得極大值,當(dāng)％=a時gGr)取得極小值，即g(i)極大值=g(0)=b,g(z)極小值=g(a)=b—a',依題意g(N)=2爐—3a/+匕有三個零點，所以g(c)極大值=g(O)=b>0且g(c)枝小值=g(a)=b-a3Vo，即0<b<a3;故選：B(2022?安徽?安慶市第二中學(xué)高二期末)若過點(a,b)(a>0)可以作曲線"=撫"的三條切線，則( )A.0<a<beb B.—aea<b<0C,()<ae2<fe+4D.—(a+1)<"'V0【答案】D【分析】設(shè)切點為(如電爐)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及條件可得關(guān)于的的方程(xq-ax0-a)ex"=-b有三個不同的解，構(gòu)造函數(shù)〃c)=(小一如一0)院利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】由題可得式=(x-Fl)eJ,qj b設(shè)切點(的,?6"),則(1o+l)el0= ，整理得(曷-ag-a)ex,1=-fe,x()-a由題意知關(guān)于。。的方程(式-ar()—Q)e*=-b有三個不同的解，設(shè)/(土)=(X2—ax—a)er, =(x+2)(x—a)eT,由/'(g)=0,得i=—2或i=a,又q>0,所以當(dāng)mV—2時，r(z)>0J(z)單調(diào)遞增，當(dāng)一2V7Vq時，r(。)<0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)i>q時f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)G——8時/(%)T(),當(dāng)a:->+8時，/(工)T+8,且/(-2)=f(a)=e-—ae°V0,函數(shù)/(①)的大致圖像如圖所示，因為/(c)的圖像與直線g=-b有三個交點，所以0V—bV—，即一(q+4)Vbe?V0.e故選：D.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：

(1)確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)致知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；(2)方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；⑶利用導(dǎo)致研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路:①利用最值或極值研究;②利用數(shù)步結(jié)合思想研究;③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.4.(2022?山東率莊?高二期末)已知函數(shù)/㈤=(1+1”,過點”(1,￡)可作3條與曲線,=/(工)相切的直線,則實數(shù)t的取值范圍是()【答案1D【分析】設(shè)切點為(a,(a+l)e"),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率A:=f'(a),利用點斜式寫出切線方程,將點M的坐標代入切線方程，可得關(guān)于a的方程有三個不同的解，利用參變分離可得t=(3—a2)ea,令g(x)=(3—x2)eJ,利用導(dǎo)數(shù)求出g(rr)的單調(diào)性和極值，則根據(jù)y=g(z)與v=t有三個不同的交點，即可求出實數(shù)t的取值范圍【詳解】設(shè)切點為(a,(a+l)e°),由/(工)=(工+l)e",得f'(x)=e"+(x+l)e*=(x+2)ex,所以切線的斜率為k—f'(a)=(a+2)en,所以切線方程為y—(a+l)e°=(a+2)eu(x—a),因為點在切線上，所以t—(a+l)ea=(a+2)ea(l—a),化簡整理得t=(3—a?)e",令g(x)=(3—x2)eT,則g'(x)=(3—2x—x2)eJ=—(re—1)(x+3)eT,所以當(dāng)工<—3或工>1時，g'(z)V0,當(dāng)一3<工<1時,9’(工)>0,所以9(工)在(—co,-3)和(1,+°°)上遞減，在(—3,1)上遞增，所以g(;r)的極小值為g(—3)=(3-9)e3="與，極大值為g⑴=2e,當(dāng)HV—3時,g(x)<0,所以g(z)的圖象如圖所示，因為過點M(l,t)可作3條與曲線相切的直線，所以y=g(z)的圖象與直線y=t有三個不同的交點，所以由圖象可得 rVtV0,e故選:D5.(2022?山東津坊?三模)過點。(1,小)(小€11)有幾條直線與函數(shù)/(%)=環(huán)的圖像相切，當(dāng)也取最大值時,m的取值范圍為()5 5 1A. 7VzmceB. <m<0C. <m<()D.vi<e【答案】B

【解析】求導(dǎo)分析/(I)=加1的圖象可得九=3,再設(shè)切點坐標為(斬加)，由題可得【解析】求導(dǎo)分析/(I)=加1的圖象可得九=3,再設(shè)切點坐標為(斬加)，由題可得7幾=(-曷+的+1)-ejM有三根，再構(gòu)造函數(shù)g(c)=(一/+￡+1)??工求導(dǎo)分析圖象單調(diào)性與最值即可由/(， ?,*”)=(%?+1)＜、故當(dāng)”；＜-1時，/'⑺＜(),/⑴單 2. /調(diào)遞減，且/(Mvo；當(dāng)工＞一1時，/'(工)＞。，/(工)單調(diào)遞增，結(jié)合圖象易得，過點/＞(L")(meR)至多有3條直線與函數(shù)〃工)=一的 1■/圖像相切，故n=3. _3上1]/ . .此時，設(shè)切點坐標為(口,小)，則切線斜率k=(x()+1)?&*",所以切線方 —1"程為y一土心""(x(l+1)?em'Cx-x())，將P(l,7n)代入得rn=(—式+g+1)?記,存在三條切線即函數(shù)m=(―a;2+x+l)?e’有三個不同的根，又g[x}=—(x—l)(x+2)易得在(-2,1)上，￡㈤＞0,g㈤單調(diào)遞增;在(-00,-2)和(L+8)±,g,(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減，畫出圖象可得當(dāng)g(-2)Vm＜0,即一令＜館＜()時符合題意故選：B【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決切線的問題，同時也考查了構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，進而確定根的個數(shù)與參數(shù)取值范圍的問題，屬于難題題型六，公切線間18【例1】(2023后貴州盾建義市新高考協(xié)作體)高三上學(xué)期入學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)(理)試題)若直線y=如+b是曲線y=e"i的切線，也是y=e，+2的切線，則A;=()A.In2 B.-ln2 C.2 D.-2【答案】C【分析】設(shè)直線U=for+b與沙=6/+2和？=e"’的切點分別為(電,留+2),㈤N1rH),分別求出切點處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點的橫坐標，即可得到k的值.【詳解】設(shè)直線y=kr+b與y=e"+2和夕=e"’的切點分別為(孫^+2),(工2?什|),則切線方程分別為，y-(eI1+2)=eI'(x-x1),y—eI,+*=e支+i(a:—x2),化簡得，y=exx+e,'+2—hWy=eT1+'x-x^+'+eJ,+l依題意上述兩直線與y=kc+b是同一條直線，所以'(記+2-電/=一耍3+e^+1，解得割=E2,所以％=e"'=eln2=2.故選：C.【例2】(2022?全國三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=\nx與函數(shù)g(z)=/+工+4工V0)有公切線，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(ln^Y，+8) B.(-1,+8) C.(1,+℃) D.(ln2,+8)

【答案】B【解析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出各自曲線上的切點，得出兩個切線方程，由兩個切線方程可整理成a關(guān)于一個變量電的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)/(7)=Inx切于點A(xx,InxJ(xj>0),r(z)=q■，切線的斜率為上，則切線方程為y—Ina；!=—(x—a：i),即y=+Inn;]—1X\ X\設(shè)公切線與函數(shù)g(i)="+j:+a切于點以物,髭+g+a)(gV0),g'3)=2i+l,切線的斜率為2g+l,則切線方程為夕一(.+x2+a)=(2g+1)-g),即U=(2.+1)%一4+a=2x?+1所以有ixi[\nX]—1=-x')+a1因為電〉0,所以2亞+1>0,可得—，VgV0,0V2g+1V1,即0V—V1,- ~ X}由;=2g+l可得：g=小一3，所以Q=ln1]+c；-l=lnci+ -1=—In-4-4-(——1)—1,\ZXy2/ X]4'X\'令t=~~，則￡€(0,1),Q=-r~(t- 一1一lilt= ^rt—liltT",Xi 4 4 2 4i殳h(t)=:廣——Int—^-(0<t<1),h'(t)—-yt-^ ~奈~~-= 彳力-4<0,所以”(t)在(0,1)上為減函數(shù)，則h(t)>h(l)=4 R—斗=—1,所以a>—1,所以實數(shù)a的取值范圍是(-1,+8),故選：B.【點睛】方法點睛：求曲線過點A(a,b)的切線的方程的一般步驟是：(1)設(shè)切點P(4J(而))(2)求出y=/(z)在H=電,處的導(dǎo)數(shù)/'(與)，即y=f(z)在點P(z,J(g))處的切線斜率；(3)構(gòu)建關(guān)系/'(工。)=號)三0解得亞；1q-a(4)由點斜式求得切線方程y-b=#(%)?(x-q).【例3】(2022?河北石家莊?高二期末)若兩曲線y=/—1與"=ainx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值可能是()A.1.2 B.4 C.5.6 D.2e【答案】ABO【分析】分別設(shè)切點分別為4(如小)，0(g，")，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別寫出切線方程，由題意切線方程相同，從而可得出q=-4工式Ing—1),設(shè)g(i)=4/一4/lni由導(dǎo)數(shù)求出其值域即可.【詳解】由y=爐一1,則。=2c,由y—a\nx-1,則v'—~設(shè)切線與曲線g="-1相切于點A(i],幼)，則斜率為2xh所以切線方程為y—(xf-1)=2xi(x—%i),即y=2x}x—1—x?①

設(shè)切線與曲線g=aln0—1相切于點8(血,%)，則斜率為：—,啊則切線方程為y—(alnx>—1)=—(x—x->),即沙=勺。+aln。)一q—1,②x2 x-(2為=0根據(jù)題意方程①，②表示同一條直線，則( g[alnx2-a=一①；所以a=-4曷(Ing-1),令g(4)=4/—4x2\nx(x>0),則gf(x)=4x(1—21ni),所以g(6)在(0,Ve)上單調(diào)遞增，在(”*,+8)上單調(diào)遞減，^(x)max=p(Ve)=2e,由題意q￡(0,2e].故答案為：48?！纠?】(2022?全國?高三壽題練習(xí))已知曲線Ci：/(x)=e，+a和曲線C2:g(x)=ln(x+b)+a2(a,fe￡R),若存在斜率為1的直線與G，G同時相切，則b的取值范圍是()A.[-￥,+8) B.[0.4-OO) C.(-00,1] D.(-83]【答案】D【解析】分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分別設(shè)直線與兩曲線的切點的橫坐標，由于斜率為1即導(dǎo)數(shù)值為1分別求出切點橫坐標，可得切線方程，再根據(jù)切線方程系數(shù)相等得b與a的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出b的取值范圍.【詳解】/'(工)=e[g'(rr)=二：，設(shè)斜率為1的切線在G,Q上的切點橫坐標分別為電，x2,兩點處的切線方程分別為y—(l+a)=a:和y-/=：!；—(1-b),故a+l=a~—1+b,即b=2+a—cr——(a—~J+---V-j-.故選：D.【例5】(2022?江芥?南京外國語學(xué)校模板覆測)若兩曲線y=/—1與y=a\nx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍為()A.(0,2e] B.(0,e] C.[2e,+oo) D.(e,2e]【答案】A【解析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點，得到切線方程，再由兩點的斜率公式，結(jié)合切點滿足曲線方程，運用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值、最值即可得出a的取值范圍.【詳解】設(shè)4(?,靖—l),B(x2,aln?2—1),虱=2x,yi=—,^=2x1,fc2=—X ①2切線：g—(*—1)=2xi(X—為)，即1/=2X}X—xf—1切線：y—(a\nx2—1)=—(x—x2)，即y=x-a+alnx2-1,2r=ax2，.=q=4a?2(l—lnx2)—x{-1=—a+a\nx2—1令/(rr)=4x2(l—lnx),/r(x)=8rr(l-Inx)+4/(—：)=8z—8xlnx—4i=41—8x\nx=4x(1-21nx)=0,工=Vef(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(6,+8)上單調(diào)遞減，所以/(工入心=八與=2e,.\a€(0,2e].故選：A.【例6】(20224慶市育才中學(xué)ili三階段練習(xí))若直線l:y=kx+b(k>1)為曲線/(工)=e""與曲線g(；r)=elnrr的公切線,則/的縱截距b=()A.0 B.1 C.e D.—e【答案】D【解析】設(shè)切點分別為⑶,小)，(色旗)，分別求出切線方程，再令切線方程相等；【詳解】設(shè)，與/(/)的切點為⑶，劭)，則由r(i)=e'T,有l(wèi)：y=加時，+(1-xx)eT'~\同理，設(shè)，與/⑻的切點為(如珀，由g'?=生，有l(wèi)：y=—x+e(lnx2-1).X 62故卜 82、 解得1'或卜，;則=z或9=吻一e((I-g)e'L】=e(lnx2-l),[g=e.[g=1.因k>l,所以，為g=?時不成立.故!)=—e,故選：D.【例7】(2022?河南?南用中學(xué)高三階段練習(xí)(雙))若直線沙=的3+1)—1與曲線g=b相切，直線g=比(1+1)-1與曲線沙=Ini相切，則自自的值為()A.y B.1 C.e D.e2【答案】B【解析】設(shè)出切點，求出-ex,,自=根據(jù)斜率列出方程，得到Xiex'=1,glngu1,構(gòu)造/(①)=x\nx,X-2利用函數(shù)單調(diào)性和圖象特征，求出了2=日，從而求出答案.【詳解】設(shè)直線/=島(工+1)-1與曲線y=e，相切于點(工卜鏟)，直線2/=居(4+1)-1與曲線,y=ln:r相切于點(gJng),則島=e"，且叔=:；1,所以xyeT'=1,fc>=—，且 11,所以xAnx>=1,x2 附+1 “令/(①)=x\nxyfr(x)=1+Inz,當(dāng)°€(0,卷)時,廣㈤V0J㈤單調(diào)遞減，當(dāng)T€(9，+8)時，/'(1)>0,/(%)單調(diào)遞增，且"1)=0,lim/(x)=0,所以當(dāng)z￡(0,1)時J(c)<0,x-4)因為/(工2)=glng=1,/(eX1)=?e"=1,即f(x2)=f(er')=l>0,所以gW(l,+oo),eT'€(1,+℃)),所以x2=，故島后=留?，-=1故選：B【點睛】對于不知道切點的切線方程問題，要設(shè)出切點，再根據(jù)斜率列出方程，進行求解.【題型專練】.已知函數(shù)/(：，：)=./hi/,</(/)="./ 若經(jīng)過點力(1,0)存在一條直線，與曲線”=/(力)和g=g(/)都相切，則。=()A.-1 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】先求得/3)在A(LO)處的切線方程，然后與g(c)=@/一n聯(lián)立，由a=()求解【詳解】解析：,?"(Z)=xlnx,Jr(x)=1+Inx,/./r(l)=1+Ini=1,fc=1,:.曲線y=/(i)在41,0)處的切線方程為g=z-1,由XJ得a/—2c+1=0,由A=4—4q=0,解得a=1.{y=ax"-x故選:B.【2020年新譯標3?理科】若直線，與曲線y=右和小+才=4?都相切，則/的方程為()D1 1 1 1A.y=2;r+1 B.y—2：r-|-- C.y——：r+1 D.〃=—x+—【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線/的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線，在曲線沙=心上的切點為(知/ii),則可)>。，函數(shù)y= 的導(dǎo)數(shù)為y=—7=-,則直線2的斜率k=/1=，2Tx 2“與設(shè)直線，的方程為g-W=2J—(x-斯)，即%—2校而+x()=0,由于直線/與圓/+」2=《相切，則下=W，+4n()v5兩邊平方并整理得5就一4囚1-1=0,解得的=1,⑸)=—舍),則直線，的方程為z—2g+1=0,即y=~x+-y.故選：D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題..(2022?河北省唐縣第一中學(xué)方三階盤練習(xí))已知函數(shù)f(j;)=alnx,g(i)=be，,若直線y=fcr(k>0)與函數(shù)/Gr),g(°)的圖象都相切，則a+y的最小值為()A.2 B.2e C.e2 D.Ve【答案】B【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別得到a=ek、b=冬再運用基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)直線V=kr與函數(shù)/(1),g(x)的圖象相切的切點分別為A(m,km),B(n,fcn).{km=alnma_ ，解得7n=e,Q=eh—Km又由gr(x)=be",有°：,解得九=1,b=&可得。+]=次+系>2a/?=2e,當(dāng)且僅當(dāng)a=e,b=(be=k e b Ac—時取“=”.e故選：B.(2022?全國4三+題練習(xí))若兩曲線?/= 與沙=3,存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,2e] B.^-^-e C.D.[2c,+°°)【答案】B【解析1設(shè)公切線與曲線的切點為(工i，lnzi-1),(a；2，a芯)，利用導(dǎo)致的幾何意義分別求沙=Inz-1和？=az?上的切線方程，由所得切線方程的相關(guān)系數(shù)相等列方程求參數(shù)關(guān)系，進而構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)致研究單調(diào)性求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)公切線與曲線y=Inz-1和y=ax'的交點分別為(電,1112；1—1),(g,a曷)，其中工1>0,TOC\o"1-5"\h\z1 . \ 1z \ T,對于J=Inx—1有g(shù)'=一，則y=Inx—1上的切線方程為y-(InXj-1)=——(x—電)，即q= F(ln^-2),對于沙=ax2有虱=2ax，則g=ax2上的切線方程為g—axi=2ax2(x—g),即U=2ag0—axj,(1 八—=2ag . 1 , 1co,/、所以《電~ ，有一-~~7=ln%i—2,即丁=2*—鬲111皿(11>0),Un電一2=-a曷 4眸 4a令g(￡)=2x2-x2\nx,g[x)=3x-2x\nx—x(3—21nj;),令g'(力)=0,得了=。2,當(dāng)(0，e‘)時，g<i)>0,g(c)單調(diào)遞增，當(dāng)工€(e*+8)時，/(工)V0,g(H)單調(diào)遞減，所以9(H)皿=g(e?=ye3,故0V金&#,即a>ye-3.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求兩條曲線的含參切線方程，由公切線對應(yīng)系數(shù)相等得到相關(guān)參數(shù)方程，進而構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)范圍..(2022?全國?商三?題練習(xí))若僅存在一條直線與函數(shù)/(工)=alnx(a>0)和g(x)=/的圖象均相切，則實數(shù)a=()A.e B.Ve C.2e D.2\/e【解析】分別求出函數(shù)/(i)上切點(x2,alnx2)處的切線方程和g(c)上切點(%*)處的切線方程，消去電,得a=4送-4曷Ing,該問題轉(zhuǎn)化為g有唯一的值時，求a值，即可通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)拉(g)=4曷一4x11nx,的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)直線與g(i)=/的切點為(曲㈤),由g\x)=2x可知，該直線的斜率為2%，即該直線的方程為y—xi=2電(1—電),即為V=2xiX-x'i,設(shè)直線與/(%)=a\nx的切點為(g,alng),由ff(x)=—可知，該直線的斜率為—,即該直線的方程為y—a\nx2=—(x—x2),X X2 12即為y=-x+a(\nx2'-1),X'2丁僅存在一條直線與函數(shù)/(z)=alnx(a>0)和g(①)=x2的圖象均相切，?.<x2 ，，即a=4xi—4xi\nx2,(Q(lng_1)=X]令h(x2)=4冠—4Elng，則”'㈤)=8g—8glng—4x2=4g(1—21nx2),當(dāng)4x2(l—Zing)>0時，即0Vc2VVe,當(dāng)4x2(l—21nx2)V0時，即Ve<x2,即九(亞)在(0,Ve)上單調(diào)遞增，在,+8)上單調(diào)遞減，則h(x2)在1=，^處取得最大值，h(Ve)=4e—4eX5=2c,圖像為??,切線只有一條，即g的值唯一，，只有a=2e,故選：C6.若曲線g=Inr與曲線：一k有公切線,則實數(shù)k的最大值為()A.1+-l-ln2 B.-? z-ln2 C.1+D?&+-1-In2o2 o2 Z2 22【答案】cf_L=2x,【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩曲線在切點的切線方程，可得（電 ■ ，整理得k=ln2g—（,lni|-1=—X'2-k武+1=f（l），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出/（T）max即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)在曲線y=InZ上的切點為（電,111電），則切線斜率為（Inz）'_=—,工一句X\在曲線V=/一k上的切點為（g，/一上），切線斜率為（￡?—k）'1工=町=2g，所以切線方程分別為y—Inrcj=—（i—g）、沙一曷+k=2g（i—g）,xi即U=—c+InXj-1、g=2x）x—xj—k,i=2s電2 ，整理得k=ln2g—4+1,lna；i-1=-這—k設(shè)f（i）—ln2z——+l（x>0）,則/'（z）=-^-—2x=令/（％）>0=>0<x< ,令/'（i）<0=>x>,故函教J（z）在（o,咨）上單調(diào)遞增，在（挈,+8）.所以在（0,+<?）上>f3）max=/（^=-1-—^n~^~=1+*1112,如圖,由圖可知k44+/ln2,即k的最大值為/+Jln2.故選：C.題型七:切線平行、垂直、篁合問題【例1】（2023?全國?高三專題嫉習(xí)）函數(shù)/（工）=lnx+ax存在與直線2/一y=0平行的切線,則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（-~,2] B.（-00,2-U（2--j-,2）C.（2,+oo） D.（0,+oo）【答案】B【分析】先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)致的幾何意義可求答案.

【詳解】函數(shù)/(。)=Inx4-ax存在與直線2宏一g=0平行的切線，即/'(h)=2在(0,+8)上有解，而/'(c)=-y+Q,所以Q=2—77,因為1>0,所以2—1V2,所以aV2.所以a的取值范圍是(-8,2).當(dāng)直線2出一沙=0就是/(。)=Inx+ax的切線時，設(shè)切點坐標(m,lnm4-am),f1_可得<m*°2 ，解得m=e,a=2——.\nm+am=2m所以實數(shù)a的取值范圍是：(-oo,2--i-)U(2--i-.2).故選：B.【例2】(2022?安徽?合肥一中模擬覆測(文))對于三次函數(shù)/(2),若曲線y=/(工)在點(0,0)處的切線與曲線”=時(工)在點(1,2)處點的切線重合，則:(2)=()A.-34 B,-14 C.-4 D.14【答案】B【解析】由/(0)=0得d=0,然后求得廣(工)，由f(0)= 求得c=2,設(shè)g(x)=rf(x)，由g⑴=2得/⑴=2及a+b=0,再由g'(1)=2得3a+26+2=0,解得a,b后可得(2).【詳解】設(shè)/(①)=Qi'+b-+ex+d(a*0),,//(0)=d=0,.\/(rc)=ax'+bx1+ex,：.fr(rr)=3ax2+2bx+c???/，(0)=C=y^-=2,設(shè)g(rr)=xf(x),則g(l)=/(I)=a+b+2=2,即a+b=0 ①又-：g'(x)=f(x)+xf'(x),,'.ff'(l)=f(l)+/'⑴=2,."(1)=0,即3a+2b+2=0……②由①?可得a=-2,b=2,c=2,二/⑵=一14.故選：B.【例3】(2022?全國?高三專曷?練習(xí))若直線z=a與兩曲線沙=e",y=Inz分別交于AB兩點，且曲線y=e，在點A處的切線為m,曲線y=lnZ在點B處的切線為則下列結(jié)論：①maC(0,+8),使得小〃n：②當(dāng)m〃”時，|48|取得最小值：③的用的最小值為2：④\AB\最小值小于1.其中正確的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】先利用導(dǎo)數(shù)求得兩條切線方程，令g(H)=/c,“一口，可知g(4)V0,g(l)>0,故存在零點，①正硫；|AB|=e"-lna,通過求導(dǎo)討論單調(diào)性可知有最小值，進而可以判斷最小值范圍，可以判斷②正確，③錯誤，④正確.【詳解】解：由直線z=a與兩曲線?/=e\y=lnz分別交于AB兩點可知：a>0曲線y=e工上4點坐標(a,e。)，可求導(dǎo)數(shù)沙'=。0則切線m斜率總“=^",可知切線zn:y—ea=ea(x-a).

曲線g=lni上曲線g=lni上8點坐標(a,Ina),可求導(dǎo)數(shù)9'=1■,則切線n斜率除二十.e”-2VO,g(l)=e-1>0,由零點存在定理，3aE(4,1)使g(c)=0,即三q€(0,+8),使除，即m〃n,故①正確.|AB|=e。一Ina,令九(@)=ert—lna(a>0),/f(a)=e°——,由g(i)同理可知有q<)G,使e'=TOC\o"1-5"\h\zCL '/ ， d()甯小⑷在a=。"處取最小值，即當(dāng)小〃兀時，明取得最小值，故②正確?\AB\min=e^-lnau,Vea,=an=In-^-=-Ina,,,.'.|XZ?|Illin=十+即是對勾函數(shù)，在a()W(4,1)上是減/I i i\ , /函教，|48|”而W—4-l.-p+--2n€⑵胃)，故③錯誤，④正確?、 ~2 ，故選:CM型專練】.(2022?山西太原?二#(&))已知函數(shù)/㈤=asinx+bcosx+ex圖象上存在兩條互相垂直的切線，且(r'+〃=1,則a+b+c的最大值為()A.2V3A.2V3B.2V2C.瓜D.72【答案】D【解析】根據(jù)已知條件用換元法令a=sin。,b=cos。，利用導(dǎo)數(shù)及三角函數(shù)的差的正弦公式即可得出導(dǎo)函數(shù)的范圍，根據(jù)已知條件得出c,再利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由a2+b2=1,4^?=sinG,b=cos0,由/(h)=asinx+bcosx+ex,得廣㈤=acosx—bsinx+c=sinOcosz—cosflsinx+c=sin(0—ir)+c,所以c—1&/'(])&c+1由題意可知，存在g,g,使得/'⑶)/'(g)=-1,只需要加一1|匕+1|=匕2—1|>1,即62—1V—1,所以C?VO,C=0,a+b+c=a+b=sin。+cos/?=V2sin(0+亍)VV2所以a+b+c的最大值為V2.故選:D,【點睛】解決此題的關(guān)鍵是用換元思想，再利用存在兩條互想垂直的直線進而得出c,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解..(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=/+2]的圖象在點4為，/(nJ)與點B(g,/(g))(叫Vx,<0)處的切線互相垂直，則g—電的最小值為()QA.y B.1 C.y D.2【答案】B【解析】求出導(dǎo)函數(shù)/'(N),由切線垂直斜率乘積為一1得孫g的關(guān)系，計算g—電，用基本不等式求最小值得結(jié)論.【詳解】因為Xi<￡C2<0,/(x)=x2+2x,所以r(c)=21+2,

所以函數(shù)AG在點處的切線的斜率分別為rej,r(①)因為函數(shù)/3)的圖象在點4,，處的切線互相垂直，所以r31)/'?)=-l所以(2皿+2)(2g+2)=-1,所以2q+2VO,2g+2>0,所以g—g=g[—(20]+2)+(2g+2)]>J—(2電+2)(2g+2)=1■，當(dāng)且僅當(dāng)一(2皿+2)=2①2+2=1,即第=—多，g=―時等號成立.所以g—皿的最小值為1.故選：B.(工2+1+2q(x0)1 /八、的圖象上存在不同的兩點使得曲-- 3>0)Jb線y=/(z)在這兩點處的切線重合,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-8,―B.(-1,-^-) C.(1,+°°) D.(-8,1)U(t,+8)【答案】B【解析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)/(工)在點力、8處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出2a=:⑴-2加一8t+1),判斷單調(diào)性，可得出a的取值范圍.【詳解】解：當(dāng)了V0時J(z)=a?+]+2q的導(dǎo)數(shù)為7(%)=2t+1;當(dāng)工>。時，/(工)=--的導(dǎo)數(shù)為/'3)=工，X X設(shè)4B，/(電))，B(x2,/(x2))為該函數(shù)圖象上的兩點，且①iVg,當(dāng)為vc2Vo，或ov01Vg時，/'(電)*/'(g),故①1vovg,當(dāng)xj<o時，函數(shù)/3)在點4(皿J3i))處的切線方程為：y—(就+%+2a)=(2皿+1)3—%);當(dāng)g>0時，函數(shù)/(%)在點J(g))處的切線方程為“+」-=」7(z—g).12X2兩直線重合的充要條件是‘r=2ii+1①，一之=-a；+2a②，X2 x2由①及gV0Vg得0V1-<1,由①②令i=—,0<t<l,工2 2^2且2。=：(/一2/一8￡+1),記2/=：(1-2/一8￡+1)導(dǎo)數(shù)為式=/一￡一2,且式V0在(0,1)恒成立，則函數(shù)沙=1?①一2產(chǎn)一8±+1)在(0,1)為減函數(shù)，；?—2V2aV-4-,4實數(shù)Q的取值范圍是(一1,七).故選：B題型八，與切線相關(guān)的最值問題【例1】(2022?全國?高三寺題練習(xí))若點P是曲線片yx2-21nx上任意一點，則點P到直線n=工一3的距離的最小值為（）a.￥ B.挈4 2【答案】A【解析】求出平行于直線y=z-的最小值為（）a.￥ B.挈4 2【答案】A【解析】求出平行于直線y=z-3且與曲線？/= -21nc相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】設(shè)平行于直線V=z—3且與曲線沙=-yj?—21nl相切的切線對應(yīng)切點為尸（％,y）,Q、 9由y=-^x2—2lnx,則yr=3x——,9令娟=31 =1,解得c=1或％=一系舍去），故點P的坐標為（1號），故點尸到直線?/=工一3的最小值為:故選：A【例2】（2022?山東看港將第一中學(xué)高三開學(xué)考試）動直線I分別與直線廿=2工一1,曲線O=Inrr相交于48兩點，則的最小值為（）A.艱 B.毯 C,1 D.7510 5【答案1A【解析】當(dāng)點B處的切線和直線歲=2工一1平行時，|43|的值最小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和解析式求得點B,再由點到直線距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點4是直線y=2工一1上任意一點，點B是曲線？= —Ina;上任意一點，當(dāng)點B處的切線和直線y=2工一1平行時，這兩條平行線間的距離\AB\的值最小，因為直線y=2z—1的斜率等于2,Q 1曲線y=-yx2—\nx的導(dǎo)數(shù)y'=3① ，令式=2,可得2=1或①=一［（舍去），故此時點3的坐標為（1,今），|A3|miu=故選：A.2-1-等V5V51()，【例3】（2022?河南?許曷南中方三開學(xué)考試（?））已知函數(shù)y=e"+i的圖象與函數(shù)？=ln(x+1)+1的圖象關(guān)于某一條直線/對稱，若P,Q分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（AV21n2A，-2~nAV21n2A，-2~nV21n2B.-j一C.V2(