隨機變量及其分布論述課件

離散型隨機變量的概率分布

隨機變量的分布函數(shù)

連續(xù)型隨機變量的概率密度

隨機變量的函數(shù)的分布第二章隨機變量及其分布

隨機變量返回主目錄離散型隨機變量的概率分布

第二章隨機變量及其分布隨機§1隨機變量第二章隨機變量及其分布一．隨機變量的概念例

1袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為§1隨機變量返回主目錄§1隨機變量第二章隨機變量及其分布一．隨機變量的概例

1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3．因此，X是一個變量．但是，X取什么值依賴于試驗結果，即X的取值帶有隨機性，所以，我們稱X為隨機變量．X的取值情況可由下表給出：第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1例

1（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例1（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應著變量X的一個確定的取值，因此變量X是樣本空間S上的函數(shù)：我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件．例如

表示至少取出2個黑球這一事件，等等．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量例

1（續(xù)）

表示取出2個黑球這一事件；返回主目錄由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應我們定義了隨機變隨機變量的定義設E是一個隨機試驗，S是其樣本空間．我們稱樣本空間上的函數(shù)為一個隨機變量，如果對于任意的實數(shù)x，集合都是隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量ReS隨機變量的定義設E是一個隨機試驗，S是其樣本空間．我們稱樣本說明第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄說明第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目例

2擲一顆骰子，令：X：出現(xiàn)的點數(shù)．則X就是一個隨機變量．它的取值為1，2，3，4，5，6．

表示擲出的點數(shù)不超過4這一隨機事件；

表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例2擲一顆骰子，令：表示擲出的點數(shù)不超過4這一隨機例

3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正品．現(xiàn)從中取出6件，令：

X：取出6件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X就是一個隨機變量．它的取值為0，1，2，…，6．

表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機事件；

表示取出的產(chǎn)品至少有一件這一隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正例

4上午8:00～9:00在某路口觀察，令：

Y：該時間間隔內通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；

表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機事件．注意

Y的取值是可列無窮個！第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例4上午8:00～9:00在某路口觀察，令：表示通例

5觀察某生物的壽命（單位：小時），令：

Z：該生物的壽命．則Y就是一個隨機變量．它的取值為所有非負實數(shù)．表示該生物的壽命大于3000小時這一隨機事件．表示該生物的壽命不超過1500小時這一隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量注意

Z的取值是不可列無窮個！返回主目錄例5觀察某生物的壽命（單位：小時），令：表示該生物的壽命大例

6擲一枚硬幣，令：則X是一個隨機變量．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量說明在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量．返回主目錄例6擲一枚硬幣，令：則X是一個隨機變量．第二章隨機變量例

7擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量X表示出現(xiàn)的點數(shù)．我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定義：等等．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例7擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量X表示等等．第一.離散型隨機變量的概念與性質第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量的定義如果隨機變量X的取值是有限個或可列無窮個，則稱X為離散型隨機變量．§2離散型隨機變量返回主目錄一.離散型隨機變量的概念與性質第二章隨機變量及其分布§2第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量X的所有可能取值為并設則稱上式或為離散型隨機變量X的分布律．返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量的說明離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃．即離散型隨機變量可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量分布律的性質:返回主目錄說明離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃．第二章例

1從1～10這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令：X：取出的5個數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．解：

X的取值為5，6，7，8，9，10．并且第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量具體寫出，即可得X的分布律：返回主目錄例1從1～10這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令：第二章例

2將1枚硬幣擲3次，令：X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求X的分布律．解：X的取值為-3，-1，1，3．并且第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例2將1枚硬幣擲3次，令：第二章隨機變量及其分例

3設離散型隨機變量X的分布律為

則第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例3設離散型隨機變量X的分布律為則第二章隨機例

3（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例3（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回例

4設隨機變量X的分布律為解：由隨機變量的性質，得第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以返回主目錄例4設隨機變量X的分布律為解：由隨機變量的性質，得第二第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量

設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}=(1-p)3p可愛的家園例5第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量設一汽車在開第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X

的分布律為：Xpk

01234p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或寫成

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量解：以p表第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量以p=1二、一些常用的離散型隨機變量第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量1)Bernoulli分布如果隨機變量X的分布律為或則稱隨機變量X服從參數(shù)為p的Bernoulli分布．返回主目錄二、一些常用的離散型隨機變量第二章隨機變量及其分布§2離Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點分布．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量Bernoulli分布的概率背景進行一次Bernoulli試驗，設：令：X：在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．或者說：令返回主目錄Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點分布．第二章例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件令

X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的取值為0或者1，并且第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件第2）二項分布如果隨機變量X的分布律為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄2）二項分布如果隨機變量X的分布律為第二章隨機說明顯然，當n=1時第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄說明顯然，當n=1時第二章隨機變量及其分布§二項分布的概率背景進行n重Bernoulli試驗，設在每次試驗中令X：在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄二項分布的概率背景進行n重Bernoulli試驗，設在每次試分布律的驗證⑴．由于以及n為自然數(shù)，可知⑵．又由二項式定理，可知所以是分布律．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄分布律的驗證⑴．由于以及n為自然數(shù)，可知⑵．又由二項式定例7一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例7一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，則答5道例

7（續(xù)）所以第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例7（續(xù)）所以第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量二項分布的分布形態(tài)由此可知，二項分布的分布先是隨著k的增大而增大，達到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個使得第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄二項分布的分布形態(tài)由此可知，二項分布的分布先是隨著k的增可以證明：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄可以證明：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主例8對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應的概率是多少？解：對目標進行300次射擊相當于做300重Bernoulli試驗．令：

則由題意第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例8對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的命則由例8（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應的概率為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例8（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應的概率為第二章3）Poisson分布如果隨機變量X的分布律為

則稱隨機變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄3）Poisson分布如果隨機變量X的分布律為則分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量⑵又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律．返回主目錄分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨Poisson分布的應用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術中的許多隨機指標都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內產(chǎn)生的細菌數(shù)，某一時間間隔內來到某服務臺要求服務的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson分布的應用Poisson分布是概率論中重要的分例9設隨機變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知解：隨機變量X的分布律為由已知第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例9設隨機變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已例9（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例9（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機變量及其分布例10第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例10第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目例10（續(xù)）解：設B={此人在一年中得3次感冒}則由Bayes公式，得第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例10（續(xù)）解：設B={此人在一年中得3次感冒}則由Poisson定理證明：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量Poisson定理證明：第二章隨機變量及其分布§2離散型Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，有第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，有第二章隨Poisson定理的證明(續(xù))所以，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))所以，第二章隨機變量及其分Poisson定理的應用由Poisson定理，可知第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的應用由Poisson定理，可知第二章例11設每次射擊命中目標的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標的概率（用Poisson分布近似計算）．解：設B={600次射擊至少命中3次目標}

進行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗.第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例11設每次射擊命中目標的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次例11（續(xù)）所以，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例11（續(xù)）所以，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設備300

臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設備的故障可有一人來處理.問至少需配備多少工人，才能保證當設備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于

0.01？

解：設需配備

N

人，記同一時刻發(fā)生故障的設備臺數(shù)為X，則X~b(300，0.01），需要確定最小的

N

的取值，使得：例12返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量為了保證設備正常查表可知，滿足上式的最小的

N是8,因此至少需配備8個工人。第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄查表可知，滿足上式的最小的N是8,因此至少需配備設有80臺同類型的設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法：其一，由4人維護，每人負責20臺其二，由3人,共同維護80臺.試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量例13返回主目錄設有80臺同類型的設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的

解：按第一種方法.

以X記“第1人負責的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，則X~b(20，0.01）.以Ai

表示事件“第i人負責的臺中發(fā)生故障不能及時維修”，則80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量例13(續(xù))返回主目錄解：按第一種方法.以X記“第1人負責的20

按第二種方法.

以

Y記

80臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，則Y~b(80，0.01）.

故

80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量例13(續(xù))

第二種方法中發(fā)生故障而不能及時維修的概率小，且維修工人減少一人。運用概率論討論國民經(jīng)濟問題，可以有效地使用人力、物力資源。返回主目錄按第二種方法.以Y記80臺中同一時刻發(fā)生4）幾何分布若隨機變量X的分布律為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄4）幾何分布若隨機變量X的分布律為第二章隨機變分布律的驗證⑴由條件⑵由條件可知綜上所述，可知是一分布律．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄分布律的驗證⑴由條件⑵由條件可知綜上所述，幾何分布的概率背景在Bernoulli試驗中，試驗進行到A首次出現(xiàn)為止．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量即返回主目錄幾何分布的概率背景在Bernoulli試驗中，試驗進行到A例

14對同一目標進行射擊，設每次射擊時的命中率為0.64，射擊進行到擊中目標時為止，令：

X：所需射擊次數(shù)．試求隨機變量X的分布律，并求至少進行2次射擊才能擊中目標的概率．解：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量例14對同一目標進行射擊，設每次射擊時的命中率第二章隨例

14（續(xù)）由獨立性，得X的分布律為：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例14（續(xù)）由獨立性，得X的分布律為：第二章隨機變5）超幾何分布如果隨機變量X的分布律為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄5）超幾何分布如果隨機變量X的分布律為第二章超幾何分布的概率背景一批產(chǎn)品有N件，其中有M件次品，其余N-M件為正品．現(xiàn)從中取出n件．令：X：取出n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的分布律為§2離散型隨機變量第二章隨機變量及其分布返回主目錄超幾何分布的概率背景一批產(chǎn)品有N件，其中有M件次品，1.概念

定義

設X是一個隨機變量，x

是任意實數(shù)，函數(shù)稱為

X

的分布函數(shù)．對于任意的實數(shù)x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄1.概念定義設X是一個隨機變量，x例1

設隨機變量X

的分布律為：求

X的分布函數(shù).Xpk

-123解：當

x<-1

時，滿足0２xX３-1x2.例子§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例1設隨機變量X的分布律為：求X的分當滿足Xx的X取值為X=-1,

２xX３-1x當滿足Xx的X取值為X=-1,或

2

Xpk

-123§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄當滿足Xx的X取值為X=-1,２xX３-1x同理當-10123

x1§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄同理當-10123-10123

x1§3隨機變量的分布函數(shù)-10123-1

0123

x1

分布函數(shù)F(x)

在x=xk

(k=1,2,…)處有跳躍，其跳躍值為

pk=P{X=xk}.Xpk

-123§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄-10123

例2

一個靶子是半徑為2

米的圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設射擊都能中靶，以X表示彈著點與圓心的距離.

試求隨機變量X的分布函數(shù).解：（1）若

x<0,則是不可能事件，于是（2）X§3隨機變量的分布函數(shù)例2一個靶子是半徑為2米的圓盤，設擊中靶（3）若

,則是必然事件，于是§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄（3）若,則01231F(x)x§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄01231F(3.

分布函數(shù)的性質

分別觀察離散型、連續(xù)型分布函數(shù)的圖象，可以看出，分布函數(shù)

F(x)具有以下基本性質：10F(x)是一個不減的函數(shù)．

0

1231F(x)x§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄3.分布函數(shù)的性質分別觀察離散型、2030-10123

x1§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄2030-1012用分布函數(shù)計算某些事件的概率§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計算某些事件的概率§3隨機變量的分布函用分布函數(shù)計算某些事件的概率§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計算某些事件的概率§3隨機變量的分布函用分布函數(shù)計算某些事件的概率§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計算某些事件的概率§3隨機變量的分布函例3§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例3§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例3（續(xù)）§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例3（續(xù)）§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例4設隨機變量X的分布函數(shù)為解：由分布函數(shù)的性質，我們有§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例4設隨機變量X的分布函數(shù)為解：§3隨機變例4（續(xù)）解方程組得解§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例4（續(xù)）解方程組得解§3隨機變量的分布函數(shù)返§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度

概率密度及其性質

指數(shù)分布

均勻分布

正態(tài)分布與標準正態(tài)分布返回主目錄§4連續(xù)型隨機變量的概率密度概率密度及其性質

返回主一.連續(xù)型隨機變量的概念與性質§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度定義如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x)， 存在非負函數(shù)f(x)，使得對于任意實數(shù)x，有則稱X

為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)f(x)稱為X

的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.連續(xù)型隨機變量X由其密度函數(shù)唯一確定．返回主目錄一.連續(xù)型隨機變量的概念與性質§4連續(xù)型隨機變量的概率§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度

由定義知道，概率密度f(x)具有以下性質：f(x)0x1返回主目錄§4連續(xù)型隨機變量的概率密度由定義知道，概率密度ff(x)x0§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄f(x)x0§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄注意

連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)的性質與離散型隨機變量分布律的性質非常相似，但是，密度函數(shù)不是概率！§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度連續(xù)型隨機變量的一個重要特點返回主目錄注意連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)的性質與離散型隨機§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度證明：

所以有返回主目錄§4連續(xù)型隨機變量的概率密度證明：所以有返回主目錄說明⑴．由上述性質可知，對于連續(xù)型隨機變量，我們關心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；我們所關心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄說明⑴．由上述性質可知，對于連續(xù)型隨機變量，我§4例1設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為解：⑴．由密度函數(shù)的性質§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例1設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為解：§4連例1（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例1（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例1（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例1（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例2某電子元件的壽命（單位：小時）是以為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機變量．求5個同類型的元件在使用的前150小時內恰有2個需要更換的概率.解：設：A={某元件在使用的前150小時內需要更換}§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例2某電子元件的壽命（單位：小時）是以為密度函數(shù)的連續(xù)型隨例2（續(xù)）檢驗5個元件的使用壽命可以看作是在做一個5重Bernoulli試驗．

B={5個元件中恰有2個的使用壽命不超過150小時}§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例2（續(xù)）檢驗5個元件的使用壽命可以看作是在做一個5§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度例3返回主目錄§4連續(xù)型隨機變量的概率密度例3返回主目錄例4§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例4§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄二.一些常用的連續(xù)型隨機變量§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度1．均勻分布若隨機變量X的密度函數(shù)為記作X~U[a,b]返回主目錄二.一些常用的連續(xù)型隨機變量§4連續(xù)型隨機變量的概率密密度函數(shù)的驗證§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄說明⑴．類似地，我們可以定義§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄說明⑴．類似地，我們可以定義§4連續(xù)型隨機變量均勻分布的概率背景§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度XXabxll0返回主目錄均勻分布的概率背景§4連續(xù)型隨機變量的概率密度XXab均勻分布的分布函數(shù)§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度abxF(x)01返回主目錄均勻分布的分布函數(shù)§4連續(xù)型隨機變量的概率密度abxF例5

設公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達此站的時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量．試求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率．解：設該乘客于7時X分到達此站．§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例5設公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,例5（續(xù)）令：B={候車時間不超過5分鐘}§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例5（續(xù)）令：B={候車時間不超過5分鐘}§4連例6§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例6§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例6（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例6（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄2．指數(shù)分布如果隨機變量X的密度函數(shù)為§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄2．指數(shù)分布如果隨機變量X的密度函數(shù)為§4連密度函數(shù)的驗證§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄指數(shù)分布的分布函數(shù)§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄指數(shù)分布的分布函數(shù)§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目例7§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例7§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例7（續(xù)）令：B={等待時間為10~20分鐘}§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例7（續(xù)）令：B={等待時間為10~20分鐘}§43．正態(tài)分布§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度xf(x)03．正態(tài)分布§4連續(xù)型隨機變量的概率密度xf(標準正態(tài)分布§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄標準正態(tài)分布§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗證(續(xù))§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度xf(x)0正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質§4連續(xù)型隨機變量的概率密度正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度xf(x)0返回主目錄正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：⑴．正態(tài)分布是自然界及工程技術中最常見的分布之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的．可以證明，如果一個隨機指標受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標一定服從或近似服從正態(tài)分布．§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度⑵．正態(tài)分布有許多良好的性質，這些性質是其它許多分布所不具備的．⑶．正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．返回主目錄正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下標準正態(tài)分布的計算§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄標準正態(tài)分布的計算§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目標準正態(tài)分布的計算（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度x0x-x標準正態(tài)分布的計算（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概率密度x一般正態(tài)分布的計算§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度一般正態(tài)分布的計算§4連續(xù)型隨機變量的概率密度一般正態(tài)分布的計算（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄一般正態(tài)分布的計算（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返例8§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例8§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例9§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例9§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度例9續(xù)返回主目錄§4連續(xù)型隨機變量的概率密度例9續(xù)返回主目錄§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度例9續(xù)返回主目錄§4連續(xù)型隨機變量的概率密度例9續(xù)返回主目錄例10§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例10§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例10（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄例10（續(xù)）§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度0§4連續(xù)型隨機變量的概率密度0§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度4.-分布.返回主目錄§4連續(xù)型隨機變量的概率密度4.-分布.返回主目錄Γ-函數(shù)§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄Γ-函數(shù)§4連續(xù)型隨機變量的概率密度返回主目錄§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度說明：§4連續(xù)型隨機變量的概率密度說明：§4

連續(xù)型隨機變量的概率密度說明：返回主目錄§4連續(xù)型隨機變量的概率密度說明：返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布

離散型

連續(xù)型

定理及其應用返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布離散型

返回主目錄隨機變量的函數(shù)§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄隨機變量的函數(shù)§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄一、離散型隨機變量的函數(shù)§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄一、離散型隨機變量的函數(shù)§5隨機變量的函數(shù)的分布返回第一種情形§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄第一種情形§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄第二種情形§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄第二種情形§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄

設隨機變量

X

具有以下的分布律，試求

Y=(X-1)2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:

Y有可能取的值為0，1，4.

且Y=0對應于(X-1)2=0，解得X=1，所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,§5隨機變量的函數(shù)的分布例2返回主目錄設隨機變量X具有以下的分布律，試求pkX-1同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2的分布律為：pkX-10120.20.30.10.4Y=(X-1)2§5隨機變量的函數(shù)的分布例2（續(xù)）返回主目錄同理,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0例3§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例3§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例3（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布例3（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布二.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布§5隨機變量的函數(shù)的分布解題思路二.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布§5隨機變量的函數(shù)的分布設隨機變量X

具有概率密度：試求Y=2X+8

的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8

的分布函數(shù)

FY(y)：§5隨機變量的函數(shù)的分布例4返回主目錄設隨機變量X具有概率密度：試求Y=2X+8的概率密§5隨機變量的函數(shù)的分布例4（續(xù)）返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布例4（續(xù)）返回主目錄

整理得Y=2X+8

的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導公式§5隨機變量的函數(shù)的分布例4（續(xù)）整理得Y=2X+8的概率密度為：本例用到變限的定積分設隨機變量

X

具有概率密度求

Y=X2

的概率密度.解：(1)

先求Y=X2

的分布函數(shù)

FY(y)：§5隨機變量的函數(shù)的分布例5返回主目錄設隨機變量X具有概率密度求Y=X2的概率密度.§5隨機變量的函數(shù)的分布例5（續(xù)）返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布例5（續(xù)）返回主目錄例如,設X~N(0,1),其概率密度為：則

Y=X2

的概率密度為：§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例如,設X~N(0,1),其概率密度為：則Y=X2例6§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄

定理

設隨機變量X

具有概率密度則Y=g(X)

是一個連續(xù)型隨機變量Y，其概率密度為其中h(y)是g(x)的反函數(shù)，即§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理設隨機變量X具有概率密度則Y=g(X)是§5隨機變量的函數(shù)的分布

定理（續(xù)）返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布定理（續(xù)）返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布補充定理：若g(x)在不相疊的區(qū)間上逐段嚴格單調，其反函數(shù)分別為均為連續(xù)函數(shù)，那么Y=g(x)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布補充定理：上逐段嚴格單調，其例7§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例7§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例7（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例7（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄證

X的概率密度為：§5隨機變量的函數(shù)的分布例8返回主目錄證X的概率密度為：§5隨機變量的函數(shù)的分布例8由定理的結論得：§5隨機變量的函數(shù)的分布例8(續(xù))返回主目錄由定理的結論得：§5隨機變量的函數(shù)的分布例8(續(xù))例9均勻分布，試求電壓V的概率密度.解：§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例9均勻分布，試求電壓V的概率密度.解：§5隨機變§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄

1引進了隨機變量的概念，要求會用隨機變量表示隨機事件。

2給出了分布函數(shù)的定義及性質，要會利用分布函數(shù)示事件的概率。

3給出了離散型隨機變量及其分布率的定義、性質，要會求離散型隨機變量的分布率及分布函數(shù)，掌握常用的離散型隨機變量分布：兩點分布、二項分布、泊松分布。

4給出了連續(xù)型隨機變量及概率密度的定義、性質，要掌握概率密度與分布函數(shù)之間關系及其運算，掌握常用的連續(xù)型隨機變量分布：均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。

5會求隨機變量的簡單函數(shù)的分布。第二章小結返回主目錄作業(yè)：1引進了隨機變量的概念，要求會用隨機變量表第二章離散型隨機變量的概率分布

隨機變量的分布函數(shù)

連續(xù)型隨機變量的概率密度

隨機變量的函數(shù)的分布第二章隨機變量及其分布

隨機變量返回主目錄離散型隨機變量的概率分布

第二章隨機變量及其分布隨機§1隨機變量第二章隨機變量及其分布一．隨機變量的概念例

1袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為§1隨機變量返回主目錄§1隨機變量第二章隨機變量及其分布一．隨機變量的概例

1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3．因此，X是一個變量．但是，X取什么值依賴于試驗結果，即X的取值帶有隨機性，所以，我們稱X為隨機變量．X的取值情況可由下表給出：第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1例

1（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例1（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應著變量X的一個確定的取值，因此變量X是樣本空間S上的函數(shù)：我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件．例如

表示至少取出2個黑球這一事件，等等．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量例

1（續(xù)）

表示取出2個黑球這一事件；返回主目錄由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應我們定義了隨機變隨機變量的定義設E是一個隨機試驗，S是其樣本空間．我們稱樣本空間上的函數(shù)為一個隨機變量，如果對于任意的實數(shù)x，集合都是隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量ReS隨機變量的定義設E是一個隨機試驗，S是其樣本空間．我們稱樣本說明第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄說明第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目例

2擲一顆骰子，令：X：出現(xiàn)的點數(shù)．則X就是一個隨機變量．它的取值為1，2，3，4，5，6．

表示擲出的點數(shù)不超過4這一隨機事件；

表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例2擲一顆骰子，令：表示擲出的點數(shù)不超過4這一隨機例

3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正品．現(xiàn)從中取出6件，令：

X：取出6件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X就是一個隨機變量．它的取值為0，1，2，…，6．

表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機事件；

表示取出的產(chǎn)品至少有一件這一隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正例

4上午8:00～9:00在某路口觀察，令：

Y：該時間間隔內通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；

表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機事件．注意

Y的取值是可列無窮個！第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例4上午8:00～9:00在某路口觀察，令：表示通例

5觀察某生物的壽命（單位：小時），令：

Z：該生物的壽命．則Y就是一個隨機變量．它的取值為所有非負實數(shù)．表示該生物的壽命大于3000小時這一隨機事件．表示該生物的壽命不超過1500小時這一隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量注意

Z的取值是不可列無窮個！返回主目錄例5觀察某生物的壽命（單位：小時），令：表示該生物的壽命大例

6擲一枚硬幣，令：則X是一個隨機變量．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量說明在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量．返回主目錄例6擲一枚硬幣，令：則X是一個隨機變量．第二章隨機變量例

7擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量X表示出現(xiàn)的點數(shù)．我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定義：等等．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例7擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量X表示等等．第一.離散型隨機變量的概念與性質第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量的定義如果隨機變量X的取值是有限個或可列無窮個，則稱X為離散型隨機變量．§2離散型隨機變量返回主目錄一.離散型隨機變量的概念與性質第二章隨機變量及其分布§2第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量X的所有可能取值為并設則稱上式或為離散型隨機變量X的分布律．返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量的說明離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃．即離散型隨機變量可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量分布律的性質:返回主目錄說明離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃．第二章例

1從1～10這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令：X：取出的5個數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．解：

X的取值為5，6，7，8，9，10．并且第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量具體寫出，即可得X的分布律：返回主目錄例1從1～10這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令：第二章例

2將1枚硬幣擲3次，令：X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求X的分布律．解：X的取值為-3，-1，1，3．并且第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例2將1枚硬幣擲3次，令：第二章隨機變量及其分例

3設離散型隨機變量X的分布律為

則第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例3設離散型隨機變量X的分布律為則第二章隨機例

3（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例3（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回例

4設隨機變量X的分布律為解：由隨機變量的性質，得第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以返回主目錄例4設隨機變量X的分布律為解：由隨機變量的性質，得第二第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量

設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}=(1-p)3p可愛的家園例5第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量設一汽車在開第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X

的分布律為：Xpk

01234p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或寫成

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量解：以p表第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量以p=1二、一些常用的離散型隨機變量第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量1)Bernoulli分布如果隨機變量X的分布律為或則稱隨機變量X服從參數(shù)為p的Bernoulli分布．返回主目錄二、一些常用的離散型隨機變量第二章隨機變量及其分布§2離Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點分布．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量Bernoulli分布的概率背景進行一次Bernoulli試驗，設：令：X：在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．或者說：令返回主目錄Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點分布．第二章例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件令

X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的取值為0或者1，并且第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件第2）二項分布如果隨機變量X的分布律為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄2）二項分布如果隨機變量X的分布律為第二章隨機說明顯然，當n=1時第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄說明顯然，當n=1時第二章隨機變量及其分布§二項分布的概率背景進行n重Bernoulli試驗，設在每次試驗中令X：在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄二項分布的概率背景進行n重Bernoulli試驗，設在每次試分布律的驗證⑴．由于以及n為自然數(shù)，可知⑵．又由二項式定理，可知所以是分布律．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄分布律的驗證⑴．由于以及n為自然數(shù)，可知⑵．又由二項式定例7一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例7一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，則答5道例

7（續(xù)）所以第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例7（續(xù)）所以第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量二項分布的分布形態(tài)由此可知，二項分布的分布先是隨著k的增大而增大，達到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個使得第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄二項分布的分布形態(tài)由此可知，二項分布的分布先是隨著k的增可以證明：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄可以證明：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主例8對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應的概率是多少？解：對目標進行300次射擊相當于做300重Bernoulli試驗．令：

則由題意第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例8對同一目標進行300次獨立射擊，設每次射擊時的命則由例8（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應的概率為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例8（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應的概率為第二章3）Poisson分布如果隨機變量X的分布律為

則稱隨機變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄3）Poisson分布如果隨機變量X的分布律為則分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量⑵又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律．返回主目錄分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨Poisson分布的應用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術中的許多隨機指標都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內產(chǎn)生的細菌數(shù)，某一時間間隔內來到某服務臺要求服務的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson分布的應用Poisson分布是概率論中重要的分例9設隨機變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知解：隨機變量X的分布律為由已知第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例9設隨機變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已例9（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例9（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機變量及其分布例10第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例10第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目例10（續(xù)）解：設B={此人在一年中得3次感冒}則由Bayes公式，得第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例10（續(xù)）解：設B={此人在一年中得3次感冒}則由Poisson定理證明：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量Poisson定理證明：第二章隨機變量及其分布§2離散型Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，有第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，有第二章隨Poisson定理的證明(續(xù))所以，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))所以，第二章隨機變量及其分Poisson定理的應用由Poisson定理，可知第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的應用由Poisson定理，可知第二章例11設每次射擊命中目標的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標的概率（用Poisson分布近似計算）．解：設B={600次射擊至少命中3次目標}

進行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗.第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例11設每次射擊命中目標的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次例11（續(xù)）所以，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例11（續(xù)）所以，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設備300

臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設備的故障可有一人來處理.問至少需配備多少工人，才能保證當設備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于

0.01？

解：設需配備

N

人，記同一時刻發(fā)生故障的設備臺數(shù)為X，則X~b(300，0.0