(完整版)高等數(shù)學(xué)筆記

定義域:D(f), 值域:Z(f).2.分段函數(shù):yf(x)3.隱函數(shù):F(x,y)=0

y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)定理:如果函數(shù):y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Yy=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X1 1 1 1 1 1 x4.函數(shù)的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b)1.常數(shù)函數(shù)：y=c，(c為常數(shù))2.冪函數(shù)：y=xn,(n為實(shí)數(shù))3.指數(shù)函數(shù)：y=ax,(a＞0、a≠1)a5.三角函數(shù)：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx1.復(fù)合函數(shù)：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈Xlimlimf(x)A limf(x)A§1.2極限 1.數(shù)列的極限:lim n

yn以常數(shù)A為極限;或稱數(shù)列

yn收斂于A.定理:若的極限存在必定有界.yn ⑴當(dāng)x時(shí)，f(x)的極限： xx⑵當(dāng)xx0時(shí)，f(x)的極限：limf(x)Axx左極限：limf(x)A

右極限：limf(x)A定理：lim1．無(wú)窮大量：limf(x)X再某個(gè)變化過(guò)程是指：x,

x,

無(wú)窮小量：limf(x)0稱在該變化過(guò)程中f(x)為無(wú)窮小量。定理：limf(x)0lim

4．無(wú)窮小量的比較：lim0,lim0⑴若lim0,則稱β是比α較高階的無(wú)窮小量；⑵若lim

111olimylim[f(xx)f(x0)]0

lim

12

lim

121．?dāng)?shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則：

且：limyn

limzn

a

則：limn

a2．函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則：g(x)f(x)h(x)且：limg(x)limh(x)A則：limf(x)Axx0 xx0 xx若：limu(x)A,limv(x)B②lim[u(x)v(x)]limu(x)limv(x)AB③limu(x)v(x)

limu(x)limv(x)

(limv(x)0)n(x)]limu ②lim[cu(x)]climu(x)③lim[u(x)]n[limu(x)]n1．lim

1

lim

1

)xe

1.函數(shù)在x0處連續(xù)：f(x)在x0的鄰域內(nèi)有定義，x0 x左連續(xù)：limf(x)f(x0)

2olimf(x)f(x0)右連續(xù)：limf(x)f(x0)2.函數(shù)在x0處連續(xù)的必要條件：00處不連續(xù)，則x3.函數(shù)在x0處連續(xù)的充要條件：limf(x)f(x)limf(x)limf(x)f(x) a,b4.函數(shù)在 f(x) axalimxb和連續(xù)是指：f(x)f(a)f(x)f(b)

b

limf(x)

limf(x)x

limf(x)f(x0)

lim

f(x

lim

limf(x)

limf(x)f(x0)xx0

lim

f(x

lim

limf(x)或xx0 limf(x)limf(x) ㈡函數(shù)在0處連續(xù)的性質(zhì) limf(x)f(x0)設(shè)xx0

limg(x)g(x0)lim[f(x)g(x)]f(x0)g(x0) xx0lim[f(x)g(x)]f(x0)g(x0) xx0limf(x)f(x0) yf(u),u(x), yf[(x)]lim(x)(x0),

limf(u)f[(x0)]則：limf[(x)]f[lim(x)]f[(x0)]xx0 ))cyf(x),

xf

(x),

f(x0)limf(x)f(x0)limf [a,b]

(y)f

f(x)[a,b]

fx)

[a,b] 0a 2.有界定理：f(x)[a,b]

fx

[a,b] fx)

[a,b]

(a,b) ))0

()

[a,b]

f(a)

(a,b) yf(x) limx0

limx0

x)f(x0)x

lim

f(x)f(x0)xx0

xx0

f(x

0)dy

xx0x0

f(x)f(x0)xx0

(x0)lim

f(x)f(x0)xx定理：f(x)在則：f(x0)limf(x)xx0（或：f(x0)limf(x)）xx0定理：f(x)在x0處可導(dǎo) f(x)在x0處連續(xù)4.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：

xx0

f(x

0)存在

f(x0)f(x0)， u5.導(dǎo)函數(shù)：yf(x), f(x)在(a,b)內(nèi)處處可導(dǎo)。yf(x0)是曲線yf(x)上點(diǎn)

x0,y0

（uv)uv（uv)uvuv

uvu

v

(v0)yf(u),u(x), yf[(x)]

，或{f[(x)]}f[(x)](x)☆注意{f[(x)]}與f[(x)]的區(qū)別：{f[(x)]}表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量x求導(dǎo)；f[(x)]表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量(x)求導(dǎo)。f(x), f(x),或f(3)(x)f(n)(x)[f(n1)(x)],(n2,3,4)f(x)x 在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，yA(x)xo(x)f(u)du在在 ; (a,b)內(nèi)可導(dǎo)A(x)x o(x) limo(x)0階的無(wú)窮小量，即：x0

yf(x)x在處可微，記作：dyA(x)xdyA(x)dx (x0)f(x)

x

f(x)

x

f(x)A(x) f(x) . . 3f(a)f(b).0

存在一點(diǎn),使得f()0. f(x)gg(x)A,（或）gg(x)gg(x)A,f(x)ao f(x)

f(b)f(a)

f(x)g(x) limxa

f(x)0g(x)0

(或）(或）1oxa g(x)0

limxa()則：xa()

xa()

（或）2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。0 即不是0型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。3o應(yīng)用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母4o若f(x)和g(x)還滿足法則的條件，lim

f(x)g(x)

lim

f(x)g(x)

limg(x)

A（或）5o若函數(shù)是

0, 1,00,0或型；若是 采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成0或型。yf(x),

0,y

0)切線方程：yy0f(x0)(xx0)

yy

f(x

(xx

0

(f(x

0)0)f(x)0

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；f(x)0

x(a,b)

11.f(x)存在極值f(x0)f(x)0220.f(x0)存在。11.f(x)在x0處連續(xù)；f(x)0 f(x)0

(a,b)

xx

(a,b)

若對(duì)于0的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn) 0，都有：f(x0)f(x)[或f(x0)f(x)]

f)

稱x0為f(x)的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。 0

11.f(x0)0；22.f(x0)存在。 11.f(x0)0，x0,f(x0)稱 x0 f(x) f(x)

f(x)

)0)0

f(x0)

(a,b)

f(x)0,xa,b

(a,b)

若limf(x)Ax 或limf(x)Ax

yA是f(x)

f(x)f(x)

xC是f(x)§3.1不定積分1．原函數(shù)：設(shè)：f(x),

F(x)f(x)F(x)f(x) f(x) f(x)f(x) f(x)dxF(x)Cf(x)f(x)dx3.不定積分的性質(zhì)： f(x)dxf(x)dxf(x) f(x)dxf(x)C df(x)f(x)C

[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf

f[(x)]d(x) t

F[ (x)]C

)1

(a,b為常數(shù)，

a0)

x

1m1

1a(m1)

（m為常數(shù)）

)

1a

x

(a0,a1)

1dx

x)sindxd(cosx)cosxdxd(sinx)sec2xdxd(tanx)csc2xdxd(cotx)1x

d(arcsinx)d(arccosx)11x

d(arctanx)d(arccotx)

令x

xxt n為偶數(shù)時(shí),t0 , F[

xasint,(或xacosx),0t a2x2xatan

0t,

(0t

a2x2 xasect,(或xacsct),0t,(0t) 2 x2a21.分部積分公式：uv

P(x)sinxdx,

P(x)cosxdxlnlnxu P(x)exdx

P(x)lnxdxP(x)arcsin

P(x)arccos

⑷P(x)arctanxdx,P(x)arccotxdxeaxsinbxdx,eaxcosbxdxP(x)axnaxn1 a n（多項(xiàng)式） P(x)u P(x)u

1.有理函數(shù)：

P(x)f(x)Q(x) 2.簡(jiǎn)單有理函數(shù)：上可積。11x((xa)lim f(ii)xxx

f(x)

P(x)1x

f(x)

P(x)

P(x)f(x)(xa)(xb)

f(x)

P(x)2b§3.2定積分 .

Oax1x2xi-1ξixi xn-1bxx0i1n

x軸下方的面積取負(fù)號(hào)。

設(shè)：yf(x)

a0 -b1.f(x)連續(xù)，a,b;

上的任意一個(gè)原函數(shù)：11與積分變量形式無(wú)關(guān)，即 ii1,x則：則： (x) a i i

F(x)

F(b)F(a)

若f(x)連續(xù)，a,b,x 且：(x)(xf(t)dt)f(x) a 2bf(x)dxaf(x)dx

f(x)g(x)dx

f(x)c

(acb)a a 6

ba 0a bx bx0a bx7f(x)g(x),(axb)則bf(x)dxbg(x)dxa m(ba)bf(x)dxM(ba) 則：則：f(x)dx

,則：必存在一點(diǎn)

f()(ba)

且當(dāng)t從變到時(shí)，(t)單調(diào)地從a變到b,()a,()b,

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx

f(x)ss f(x)g(x)ss(y)(y)2[

3[

2(x)

f

(x)f 1由yf(x)0,

xa,

xb,

(ab)與x軸所圍成的圖形的面積y s

f(x)dx2由yf(x), yg(x),(fg)1 與xa,xb所圍成的圖形的面積3由x(y), x(y),()1 與yc,yd所圍成的圖形的面積. 1曲線y

f(x)0,與

xa,xb及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所V bf2(x)dxx 2由曲線x (y)0,與yc,yd及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所V §4.1偏導(dǎo)數(shù)與全微分一.主要內(nèi)容：㈠.多元函數(shù)的概念zf(x,y)

(x,y)D定義域：D(f) （點(diǎn)(x0,y0)可除外）2limf(x,y)Ax

x0則稱zf(x,y)在(x0,y0)極限存在，且等于A。00,y0)limxx x xff(x 0)lim 0,y

xx0y

f(x,y)f(x

0,y0)則稱zf(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)。定義:f(x,y),在(x0,y0)點(diǎn)

(x f(xx,y0)f(x0,y0)y0

0,y0

y)f(x

0,y

(x

0,y0),f

(x

0,y0)分別為函數(shù)

f(x,y)在(x

0,y0)處對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)。zf(x,y)在D內(nèi)任意點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)記為：

(x,y)

f(x,y)x

x

(x,y)

f(x,y)

若zf(xx,yy)f(x,y)AxByo( 其中，A、B與x、y無(wú)關(guān)，o（）是比 x2y2較高階的無(wú)窮小量。則:dzdf(x,y)AxBy是zf(x,y) 定理：若f(x,y),fx

則：zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微且

(x,y)dxx

f

(x,y)dy設(shè)：zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)zfu(x,y),v(x,y)則：x

u

ux

x

u

u

設(shè)yf(u,v),uu(x),vv(x)

u

yf[u(x),v(x)]設(shè)F(x,y,z)0,zf(x,y),且F

0則

x

FF

FF