九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系6利用三角函數(shù)測(cè)高課時(shí)練習(xí)新版北師大版

九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系6利用三角函數(shù)測(cè)高課時(shí)練習(xí)新版北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系6利用三角函數(shù)測(cè)高課時(shí)練習(xí)新版北師大版Page29九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系6利用三角函數(shù)測(cè)高課時(shí)練習(xí)新版北師大版利用三角函數(shù)測(cè)高一、單選題（共15題）1．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的點(diǎn)A處,如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長(zhǎng)是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里答案：C解析:解答：如圖，由題意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°,∠A=55°，AP=2海里，∴AB=AP?cos∠A=2cos55°海里．故選C．分析：首先由方向角的定義及已知條件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP?cos∠A=2cos55°海里2。如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向,距離燈塔60海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時(shí),海輪所在的B處與燈塔P的距離為()A．30海里B．30海里C．60海里D．30海里答案：A解析：解答:過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C．在Rt△PAC中，∵PA=60海里，∠PAC=30°，∴CP=AP=30海里．在Rt△PBC中，∵PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45°，∴PB=PC=30海里．即海輪所在的B處與燈塔P的距離為30海里．故選：A．分析:此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題,解決的方法就是作高線3.如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，AB=2km、從A測(cè)得船C在北偏東45°的方向,從B測(cè)得船C在北偏東22。5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長(zhǎng)）為（）A．4kmB．（2+）kmC．2kmD．（4—）km答案：B解析:解答：在CD上取一點(diǎn)E，使BD=DE，可得：∠EBD=45°，AD=DC,∵從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，∴∠BCE=∠CBE=22。5°，∴BE=EC，∵AB=2,∴EC=BE=2，∴BD=ED=∴DC=2+故選：B．分析:根據(jù)題意在CD上取一點(diǎn)E,使BD=DE，進(jìn)而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的長(zhǎng)，即可得出答案4.如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處,這時(shí)，海輪所在的B處與燈塔P的距離為（）A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里答案：A解析：解答:過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C,由題意可得出：∠A=30°,∠B=45°，AP=80海里,故CP=AP=40（海里），則PB==40（海里）．故選：A．分析:過(guò)點(diǎn)P作垂直于AB的輔助線PC,利三角函數(shù)解三角形，即可得出答案5.如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向,則該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為（)A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km答案:C解析：解答:如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°,OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°,∴BD=AD=2，∴AB=AD=2即該船航行的距離（即AB的長(zhǎng))為2km．故選：C．分析：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題,難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵6。如圖,杭州市郊外一景區(qū)內(nèi)有一條筆直的公路a經(jīng)過(guò)兩個(gè)景點(diǎn)A，B，景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)C，經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)C位于景點(diǎn)A的北偏東60°方向，又位于景點(diǎn)B的北偏東30°方向,且景點(diǎn)A、B相距200m，則景點(diǎn)B、C相距的路程為（)A．100B．200C．100D．200答案:B解析：解答：如圖,由題意得∠CAB=30°,∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=180°—∠CAB-∠ABC=30°,∴∠CAB=∠C=30°，∴BC=AB=200m，即景點(diǎn)B、C相距的路程為200m．故選B．分析:先根據(jù)方向角的定義得出∠CAB=30°,∠ABC=120°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠C=180°—∠CAB—∠ABC=30°，則∠CAB=∠C=30°，根據(jù)等角對(duì)等邊求出BC=AB=200m7.如圖，C、D分別是一個(gè)湖的南、北兩端A和B正東方向的兩個(gè)村莊，CD=6km,且D位于C的北偏東30°方向上，則AB的長(zhǎng)為(）A．2kmB．3kmC．kmD．3km答案:B解析:解答：過(guò)C作CE⊥BD于E，則CE=AB．直角△CED中,∠ECD=30°，CD=6,則CE=CD?cos30°=3=AB．所以AB=3（km）．故選B．分析:過(guò)C作CE⊥BD于E，根據(jù)題意及三角函數(shù)可求得CE的長(zhǎng)，從而得到AB的長(zhǎng)8.如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向,距離燈塔40海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則海輪行駛的路程AB為(）海里．A．40+40B．80C．40+20D．80答案:A解析:解答:根據(jù)題意得:PA=40海里，∠A=45°，∠B=30°,∵在Rt△PAC中，AC=PC=PA?cos45°=40×=40（海里),在Rt△PBC中,BC=（海里),∴AB=C+BC=40+40（海里）．故選A．分析:首先由題意可得：PA=40海里，∠A=45°,∠B=30°，然后分別在Rt△PAC中與Rt△PBC中，利用三角函數(shù)的知識(shí)分別求得AC與BC的長(zhǎng)，繼而求得答案9。小軍從A地沿北偏西60°方向走10m到B地，再?gòu)腂地向正南方向走20m到C地,此時(shí)小軍離A地（）A．5mB．10mC．15mD．10m答案:D解析：解答:如圖所示：在Rt△ABD和Rt△CDA中,∵AD=AB?sin60°=5（m）；BD=AB?cos60°=5，∴CD=15．∴AC==10（m）．故選：D．分析:根據(jù)三角函數(shù)分別求AD，BD的長(zhǎng)，從而得到CD的長(zhǎng)．再利用勾股定理求AC的長(zhǎng)即可10.某時(shí)刻海上點(diǎn)P處有一客輪，測(cè)得燈塔A位于P的北偏東30°方向,且相距50海里．客輪以60海里/小時(shí)的速度沿北偏西60°方向航行小時(shí)到達(dá)B處，那么tan∠BAP=(）A．B．C．D．答案:A解析：解答:∵燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向,且相距50海里．∴AP=50，∵客輪以60海里/小時(shí)的速度沿北偏西60°方向航行小時(shí)到達(dá)B處，∴∠APB=90°，BP=60×=40，∴tan∠BAP=故選A．分析:根據(jù)題意作出圖形后知道北偏東30°與北偏西60°成直角，利用正切的定義求值即可11。在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中,小霞同學(xué)從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，要到距離A點(diǎn)10千米的C地去,先沿北偏東70°方向走了8千米到達(dá)B地，然后再?gòu)腂地走了6千米到達(dá)目的地C,此時(shí)小霞在B地的()A．北偏東20°方向上B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上答案:B解析：解答：如圖，∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，∴AC2=AB2+BC2,∴△ABC為直角三角形，即∠ABC=90°，又∵B點(diǎn)在A的北偏東70°方向,∴∠1=90°—70°=20°，∴∠2=∠1=20°，即C點(diǎn)在B的北偏西20°的方向上．故選B．分析:本題考查了解直角三角形有關(guān)方向角的問(wèn)題：在每點(diǎn)處畫(huà)上東南西北，然后利用平行線的性質(zhì)和解直角三角形求角．也考查了勾股定理的逆定理12。海中有一個(gè)小島A，它的周?chē)鷄海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東75°方向上,航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這是測(cè)得小島A在北偏東60°方向上．若漁船不改變航線繼續(xù)向東航行而沒(méi)有觸礁危險(xiǎn),則a的最大值為（）A．5B．6C．6D．8答案:B解析：解答：作AC⊥BD于點(diǎn)C．∠ABD=90°—75°=15°，∵∠ADC=90°—60°=30°，∴∠BAD=∠ADC-∠ABD=30°—15°=15°，∴∠ABD=∠BAD，∴BD=AD=12（海里)，在直角△ADC中，AC=AD=×12=6（海里）．故a的最大值是6海里．分析:漁船不改變航線繼續(xù)向東航行而沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，則C到航線的距離就是a的最大值,作AC⊥BD，根據(jù)方向角的定義即可求得AD的長(zhǎng)度,然后在直角△ACD中,求得AC的長(zhǎng)13。如圖，小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處，測(cè)得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在A處東500米的B處，測(cè)得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環(huán)海路的距離PC=（）米．A．250B．500C．250D．500答案：C解析：解答：∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°—30°=60°．又∵∠PBC=∠PAB+∠APB，∴∠PAB=∠APB=30°．∴PB=AB．在直角△PBC中，PC=PB?sin60°=500×=250故選C．分析：容易判斷△ABP是等腰三角形,AB=BP；在直角△BCP中，利用三角函數(shù)即可求得PC的長(zhǎng)14。溫州市處于東南沿海，夏季經(jīng)常遭受臺(tái)風(fēng)襲擊．一次,溫州氣象局測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在溫州市A的正西方向300千米的B處（如圖），以每小時(shí)10千米的速度向東偏南30°的BC方向移動(dòng),并檢測(cè)到臺(tái)風(fēng)中心在移動(dòng)過(guò)程中，溫州市A將受到影響，且距臺(tái)風(fēng)中心200千米的范圍是受臺(tái)風(fēng)嚴(yán)重影響的區(qū)域．則影響溫州市A的時(shí)間會(huì)持續(xù)多長(zhǎng)？（）A．5B．6C．8D．10答案：D解析：解答：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，由題意得AB=300,∠ABD=30°，則AD=AB=150(km）,設(shè)臺(tái)風(fēng)中心距A點(diǎn)200km處，剛好處在BC上的E，F(xiàn)兩點(diǎn)則，在Rt△ADE中，AE=200，AD=150，則DE==50從而可得：EF=2DE=100，故A鎮(zhèn)受臺(tái)風(fēng)嚴(yán)重影響的時(shí)間為=10（h）．故選D．分析：首先過(guò)A作作AD⊥BC于D，求得AD的長(zhǎng)；設(shè)臺(tái)風(fēng)中心距A點(diǎn)200km處，剛好處在BC上的E,F兩點(diǎn)則，在直角三角形中，求得ED，DF的長(zhǎng),已知速度，則可以求得受影響的時(shí)間15。如圖,甲、乙兩船同時(shí)從港口O出發(fā)，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知兩船的航行速度相同，如果1小時(shí)后甲、乙兩船分別到達(dá)點(diǎn)A、B處，那么點(diǎn)B位于點(diǎn)A的（）南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°答案：C解析：解答：∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，兩船的航行速度相同，∴AO=BO，∠BOA=80°,∠OAD=30°∴∠BAO=∠ABO=50°，∴∠BAD=∠BAO—∠OAD=50°-30°=20°，∴點(diǎn)B位于點(diǎn)A的南偏西20°的方向上，故選C．分析：由甲船沿北偏西30°方向航行,乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度數(shù)，由兩船的航行速度相同，得出AO=BO，得出∠BAO=50°，以及求出∠BAD的度數(shù)，得出點(diǎn)B位于點(diǎn)A的方向二、填空題（共5題）16.如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km,某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為_(kāi)_________km答案：解析：解答：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°,OA=4km,∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°,∴BD=AD=2km，∴AB=AD=2km．即該船航行的距離(即AB的長(zhǎng)）為2km．故答案為2km．分析:本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵17。如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測(cè)到燈塔M在北偏東60°方向上，且AM=100海里．那么該船繼續(xù)航行__________海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置答案:解析：解答:如圖,過(guò)M作東西方向的垂線,設(shè)垂足為N．易知:∠MAN=90°=30°．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，∴AN=AM?cos∠MAN=100×=海里．故該船繼續(xù)航行海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置．故答案為分析：過(guò)M作東西方向的垂線,設(shè)垂足為N．由題易可得∠MAN=30°,在Rt△MAN中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AN的長(zhǎng)即可18.在我們生活中通常用兩種方法來(lái)確定物體的位置．如小島A在碼頭O的南偏東60°方向的14千米處，若以碼頭O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向,正北方向?yàn)閥軸的正方向，1千米為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，則小島A也可表示成____________答案:(7,—7）．解析：解答：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于C．在直角△OAC中，∠AOC=90°—60°=30°，OA=14千米，則AC=OA=7千米，OC=7千米．因而小島A所在位置的坐標(biāo)是（7，-7）．故答案為：（7，—7）．分析：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于C,根據(jù)已知可求得小島A的坐標(biāo)19。如圖，有A、B兩艘船在大海中航行，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻這兩艘船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向,B的北偏東15°方向有另一艘船C，那么此時(shí)船C與船B的距離是_______海里．（結(jié)果保留根號(hào)）答案：20解析：解答：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D．由題意可知，∠BAC=45°,∠ABC=90°+15°=105°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°．在Rt△ABD中，AD=BD=AB?sin∠BAD=20×=10（海里），在Rt△BCD中,BC=BDsin∠BCD=（海里),故答案為20海里．分析：首先過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，由題意可知,∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，則可求得∠ACB的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)求解即可求得答案20。一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行60海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東30°方向,馬上以40海里每小時(shí)的速度前往救援，海警船到達(dá)事故船C處所需的時(shí)間大約為_(kāi)________小時(shí)(用根號(hào)表示)．答案：解析：解答：如圖,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長(zhǎng)線于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里,∴CD=AC=30海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-30°=60°，∴BC=∴海警船到大事故船C處所需的時(shí)間大約為:20÷40=（小時(shí))．故答案為分析:本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵三、解答題（共5題）21。如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退,紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后,因前方無(wú)法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值)答案:解析：解答：如圖，過(guò)B作AB的垂線，過(guò)C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過(guò)C作AB的垂線，過(guò)D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F，則∠E=∠F=90°,攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA=BE+CF．在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，∴∠BCE=30°,∴BE=BC=×1000=500米；在Rt△CDF中,∵∠F=90°，∠DCF=45°,CD=AB=1000米，∴CF=CD=500米，∴DA=BE+CF=（500+500）米，故攔截點(diǎn)D處到公路的距離是（500+500）米．分析：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題,銳角三角函數(shù)的定義，正確理解方向角的定義，進(jìn)而作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵22.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東53°方向,距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．(1）在圖中畫(huà)出點(diǎn)B，并求出B處與燈塔P的距離（結(jié)果取整數(shù))；答案:解答：（1）如圖,作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA=100,∠PAC=53°，∴PC=PA?sin∠PAC=100×0.80=80,在Rt△PBC中,∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，∴PB=PC=1。41×80≈113，即B處與燈塔P的距離約為113海里；（2）用方向和距離描述燈塔P相對(duì)于B處的位置．(參考數(shù)據(jù)：sin53°=0。80,cos53°=0。60，tan53°=0。33，=1。41）答案:113海里解析：（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里,∴燈塔P位于B處北偏西45°方向，且距離B處約113海里分析：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，直角三角形,銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)．解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題,解決的方法就是作高線求出即可．23。如圖，某漁船在海面上朝正西方向以20海里/時(shí)勻速航行，在A處觀測(cè)到燈塔C在北偏西60°方向上，航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)觀察到燈塔C在北偏西30°方向上,若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置，求此時(shí)漁船到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù):≈1。732）答案：17解析：解答:如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，AB=20×1=20（海里），∵∠CAF=60°,∠CBE=30°,∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°,∠CAB=90°-∠CAF=30°，∴∠C=180°-∠CBA-∠CAB=30°，∴∠C=∠CAB,∴BC=BA=