《高等數(shù)學教學匯編》課件13

無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)傅里葉級數(shù)第十一章編輯ppt無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)111.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)編輯ppt11.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)編輯ppt2定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為（常數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)。其中第

n

項叫做級數(shù)的一般項,次相加,簡記為一、常數(shù)項級數(shù)的概念編輯ppt定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為（常數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱3部分和數(shù)列收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S

為級數(shù)的和,記作級數(shù)的前

n

項和稱為級數(shù)的部分和.編輯ppt部分和數(shù)列收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S為級數(shù)的和,記作級數(shù)4當級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項.則稱無窮級數(shù)發(fā)散.顯然編輯ppt當級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項.則稱無窮級數(shù)發(fā)散.顯然5例1.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項相消”求和編輯ppt例1.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)6解:(2)編輯ppt解:(2)編輯ppt7解編輯ppt解編輯ppt8

收斂

發(fā)散

發(fā)散因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而不存在,因此級數(shù)發(fā)散.編輯ppt收斂發(fā)散發(fā)散因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而不存在,因9綜上,時,等比級數(shù)收斂,且其和為

;時,等比級數(shù)發(fā)散.編輯ppt綜上,時,等比級數(shù)收斂,且其和為時,等比級數(shù)發(fā)散10二、級數(shù)收斂的必要條件

設收斂級數(shù)則必有證:

可見:若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.例如,均發(fā)散.編輯ppt二、級數(shù)收斂的必要條件設收斂級數(shù)則必有證:可見:若11注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.事實上

,假設調(diào)和級數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設不真.編輯ppt注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)12三、級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)

c

所得級數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.編輯ppt三、級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于S,則各項乘13性質(zhì)2.

設有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為證:

令則這說明級數(shù)也收斂,其和為編輯ppt性質(zhì)2.設有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為證:令14說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)編輯ppt說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.15性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上、去掉或改變有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.證:將級數(shù)的前k項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當級數(shù)收斂時,其和的關系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)編輯ppt性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上、去掉或改變有限項,不會影響級數(shù)的斂16則新級數(shù)的部分和數(shù)列為原級數(shù)部分和數(shù)列的一個子數(shù)列,因此必有性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:

設收斂級數(shù)若將其任意加括號,例如其部分和編輯ppt則新級數(shù)的部分和數(shù)列為原級數(shù)部分和數(shù)列的一個子數(shù)列,因此17推論:

若加括號后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級數(shù)去括號后所成的級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.例如，編輯ppt推論:若加括號后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:收斂18例4.判斷級數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.編輯ppt例4.判斷級數(shù)的斂散性:解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而19編輯ppt編輯ppt20無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)傅里葉級數(shù)第十一章編輯ppt無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)2111.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)編輯ppt11.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)編輯ppt22定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為（常數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)。其中第

n

項叫做級數(shù)的一般項,次相加,簡記為一、常數(shù)項級數(shù)的概念編輯ppt定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為（常數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱23部分和數(shù)列收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S

為級數(shù)的和,記作級數(shù)的前

n

項和稱為級數(shù)的部分和.編輯ppt部分和數(shù)列收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S為級數(shù)的和,記作級數(shù)24當級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項.則稱無窮級數(shù)發(fā)散.顯然編輯ppt當級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項.則稱無窮級數(shù)發(fā)散.顯然25例1.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項相消”求和編輯ppt例1.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)26解:(2)編輯ppt解:(2)編輯ppt27解編輯ppt解編輯ppt28

收斂

發(fā)散

發(fā)散因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而不存在,因此級數(shù)發(fā)散.編輯ppt收斂發(fā)散發(fā)散因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而不存在,因29綜上,時,等比級數(shù)收斂,且其和為

;時,等比級數(shù)發(fā)散.編輯ppt綜上,時,等比級數(shù)收斂,且其和為時,等比級數(shù)發(fā)散30二、級數(shù)收斂的必要條件

設收斂級數(shù)則必有證:

可見:若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.例如,均發(fā)散.編輯ppt二、級數(shù)收斂的必要條件設收斂級數(shù)則必有證:可見:若31注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.事實上

,假設調(diào)和級數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設不真.編輯ppt注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)32三、級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)

c

所得級數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.編輯ppt三、級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于S,則各項乘33性質(zhì)2.

設有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為證:

令則這說明級數(shù)也收斂,其和為編輯ppt性質(zhì)2.設有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為證:令34說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)編輯ppt說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.35性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上、去掉或改變有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.證:將級數(shù)的前k項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當級數(shù)收斂時,其和的關系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)編輯ppt性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上、去掉或改變有限項,不會影響級數(shù)的斂36則新級數(shù)的部分和數(shù)列為原級數(shù)部分和數(shù)列的一個子數(shù)列,因此必有性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括號后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:

設收斂級數(shù)若將其任意加括號,例如其部分和編輯ppt則新級數(shù)的部分和數(shù)列為原級數(shù)部分和數(shù)列的一個子數(shù)列,因此37推論:

若加括號后的級數(shù)