2022-2023學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)專題《求反比例函數(shù)解析式》含答案解析

專題反比例函數(shù)優(yōu)選提升題一：求反比例函數(shù)解析式一、填空題1．（2022·福建泉州·九年級期末）如圖，y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過A（2，6）、B兩點，且tan∠AOB＝，則點B的坐標(biāo)是_____．【答案】，【分析】過點A作于，作軸于，作交的延長線于．通過證得，得出，設(shè)，則，，即可得到，根據(jù)題意得到，解得，即可求得，求得直線的解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，解方程組即可求得B的坐標(biāo)．【詳解】解：過點A作于，作軸于，作交的延長線于．，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，解得，，直線的解析式為，反比例函數(shù)的圖形經(jīng)過，反比例函數(shù)為，由，解得，或，，，，故答案為：，．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點坐標(biāo)，屬于中考壓軸題．2．（2022·江蘇·九年級期末）如圖，，，，…是分別以，，，…為直角頂點，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點，，，…均在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為______．【答案】40【分析】過C1、C2、C3…作x軸垂線，垂足分別為D1、D2、D3…，求得，，，…是等腰直角三角形，D1、D2、D3…為OA1、A1A2、A2A3…中點；C1（y1，y1）代入反比例函數(shù)可得y1，C2（4+y2，y2）代入可得y2，…，根據(jù)坐標(biāo)規(guī)律計算求值即可；【詳解】解：如圖，過C1、C2、C3…作x軸垂線，垂足分別為D1、D2、D3…，∵∠B1OA1=∠B2A1A2=∠B3A2A3=…=45°，∴，，，…是等腰直角三角形，∵B1A1⊥x軸，B2A2⊥x軸，B3A3⊥x軸，…，∴C1D1∥B1A1，C2D2∥B2A2，C3D3∥B3A3，…，∵C1、C2、C3…為OB1、A1B2、A2B3…中點，∴C1D1、C2D2、C3D3、…為、、、…的中位線，∴D1、D2、D3…為OA1、A1A2、A2A3…中點，中：OD1=D1C1=y1，則C1（y1，y1），，解得：y1=2（經(jīng)檢驗符合題意），即y1=，中：A1D2=D2C2=y2，則x2=2y1+y2，C2（4+y2，y2），，解得：y2=（經(jīng)檢驗符合題意），即y2=，中：設(shè)A2D3=D3C3=y3，則x3=2y1+2y2+y3，C2（+y3，y3），，解得：y3=（經(jīng)檢驗符合題意），同理可得y4=，…，y400=，=++…+=40，故答案為：40；【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式，公式法解一元二次方程，通過解一元二次方程方程求得坐標(biāo)規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2022·河北承德·九年級期末）如圖，曲線AB是拋物線的一部分（其中A是拋物線與y軸的交點，B是頂點），曲線BC是雙曲線的一部分，曲線AB與BC組成圖形W．由點C開始不斷重復(fù)圖形W形成一組“波浪線”．那么______；若點，在該“波浪線”上，則m的值為______，n的最大值為______．【答案】

5

4

5【分析】根據(jù)確定點B(1，5)，代入反比例函數(shù)解析式解困確定k值；根據(jù)平移規(guī)律，確定點在拋物線上，且與的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)“波浪線”的最高值為5，確定n的最大值為5．【詳解】解：∵，∴點B(1，5)，代入，解得k=5；根據(jù)平移規(guī)律，確定點在拋物線上，且與的縱坐標(biāo)相同，∴m=，∵拋物線的最大值為5，∴n的最大值為5，故答案為：5；4；5．【點睛】本題考查了拋物線與反比例函數(shù)的綜合，平移規(guī)律，熟練掌握拋物線的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽·九年級期末）如圖，大、小兩個正方形的中心均與平面直角坐標(biāo)系的原點O重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行．反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象，與大正方形的一邊交于點A（，4），且經(jīng)過小正方形的頂點B．求圖中陰影部分的面積為_____．【答案】40【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求出即可得到反比例函數(shù)的解析式；利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義求出小正方形的面積，再求出大正方形在第一象限的頂點坐標(biāo)，得到大正方形的面積，根據(jù)圖中陰影部分的面積大正方形的面積小正方形的面積即可求出結(jié)果．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，反比例函數(shù)的解析式為；小正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，設(shè)點的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，小正方形的面積為，大正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，且，大正方形在第一象限的頂點坐標(biāo)為，大正方形的面積為，圖中陰影部分的面積大正方形的面積小正方形的面積．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，正方形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵．二、解答題5．（2022·河北保定·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)點B在該反比例函數(shù)圖像上，過B點作y軸的垂線，垂足為C，當(dāng)?shù)拿娣e為9時，求點B的坐標(biāo)．(3)請直接寫出時，自變量x的取值范圍．【答案】(1)y=(2)點B的坐標(biāo)為（5，）或（-1，）(3)x＞4或x＜0【分析】（1）將點代入即可求得答案；（2）分三種情況討論即可得到答案；（3）解出時的值，即可求出x的取值范圍．（1）解：把A點坐標(biāo)為（2，6）代入反比例函數(shù)y=得，k=12，∴反比例函數(shù)的解析式為y=；（2）解：設(shè)點B坐標(biāo)為（m，n），分三種情況：①當(dāng)B點在第一象限且在A點的上方時，（yB-yA）×CB=9

即（n-6）×m=9，

-6）×m=9，解得m=-1不符合，舍去；②當(dāng)B點在第一象限且在A點的下方時，（yA－yB）×CB=9

即（6-n）×m=9，（6－）×m=9，解得m=5，∴點B坐標(biāo)為（5，）；③當(dāng)B點在第三象限時，（yA－yB）×CB=9，（6-n）×（-m）=9

（6）×（-m）=9，解得m=-1，∴點B坐標(biāo)為（-1，），所以點B的坐標(biāo)為（5，）或（-1，）；（3）解：當(dāng)時，，故當(dāng)時，自變量x的取值范圍為x＞4或x＜0．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，反比例函數(shù)的解析式，掌握反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征以及反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2022·遼寧鐵嶺·九年級期末）如圖，在中，，，．一次函數(shù)交軸于點，交反比例函數(shù)于、兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)問：在直角坐標(biāo)系中，是否存在一點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為(2)的面積為(3)存在，點的坐標(biāo)為，，【分析】（1）作垂直于軸，根據(jù)等腰三角形的三線合一求出，再由等腰直角三角形OAB求出點A的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)解析式即可；（2）將三角形的面積轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計算即可；（3）分別考慮OP，AP，BP為對角線構(gòu)成的平行四邊形，再求出P點坐標(biāo)即可．（1）作垂直于軸，垂足為點，∵，∴，∵，，∴．∴∴點設(shè)一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為將點和代入，得，，∴一次函數(shù)的解析式為．將點代入，得．∴反比例函數(shù)的解析式為，即一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為；（2）將兩個函數(shù)聯(lián)立得，整理得2，解得，，所以，，所以點，即的面積為；（3）由（1），（2）可知，，O(0，0)，當(dāng)OP為對角線時，點P；當(dāng)DP為對角線時，點P；當(dāng)AP為對角線時，點P∴點的坐標(biāo)為，，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．7．（2022·湖南株洲·九年級期末）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別落在x軸，y軸的正半軸上，頂點B(2，)，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象與BC，AB分別交于D，E，BD＝．(1)求出點D坐標(biāo)和反比例函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出點E的坐標(biāo)并判斷DE與AC的位置關(guān)系（說明理由）；(3)點F在直線AC上，點G是坐標(biāo)系內(nèi)點，當(dāng)四邊形BCFG為菱形時，求出點G的坐標(biāo)并判斷點G是否在反比例函數(shù)圖象上．【答案】(1)D，反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝(2)E，DE∥AC，理由見解析(3)點G的坐標(biāo)為或都在反比例函數(shù)圖象上【分析】（1）根據(jù)B，則BC＝2，而BD＝，則CD＝，故點D=，將D點代入函數(shù)解析式中可得到系數(shù)的值．當(dāng)x＝2時，y＝，故點E（2，）；（2）由（1）知，D，點E，點B，可知BD＝，BE＝，則，，即可證明平行；（3）根據(jù)題意可分為兩種情況（1）點F在點C的下方,（2）點F在點C的上方，分別討論其兩種情況即可．（1）解：（1）∵B，則BC＝2，而BD＝，∴CD＝，故點D，將點D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得k＝3，故反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝，當(dāng)x＝2時，y＝，故點E（2，）；（2）由（1）知，D，點E，點B，則BD＝，BE＝，故，∴DE∥AC；（3）①當(dāng)點F在點C的下方時，當(dāng)點G在點F的右方時，如下圖，過點F作FH⊥y軸于點H，∵四邊形BCFG為菱形，則BC＝CF＝FG＝BG＝2，在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝，則tan∠OCA＝，故∠OCA＝30°，則FH＝FC＝1，CH＝CF?cos∠OCA＝2×＝，故點F（1，），則點G（3，），當(dāng)x＝3時，y＝，故點G在反比例函數(shù)圖象上；②當(dāng)點F在點C的上方時，同理可得，點G（1，3），同理可得，點G在反比例函數(shù)圖象上；綜上，點G的坐標(biāo)為（3，）或（1，3）都在反比例函數(shù)圖象上．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和解析式，菱形的存在性問題，能夠掌握屬性結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022·四川成都·九年級期末）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OAPB是矩形，反比例函數(shù)（k＞0）經(jīng)過點P，反比例函數(shù)的圖象分別交線段AP，BP于C，D兩點，連接CD，點G是線段CD上一點．(1)若點C的橫坐標(biāo)為6，點D的縱坐標(biāo)為3，求反比例函數(shù)y（k＞0）的表達(dá)式；(2)在（1）的條件下，當(dāng)∠DPG＝30°時，求點G的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點G是OP與CD的交點，點M是線段OP上的點，連接MC、MD，當(dāng)DM⊥MC時，請寫出MG與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)點C的橫坐標(biāo)為6，點D的縱坐標(biāo)為3，得出P點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）過點G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，設(shè)GN＝x，則GM＝x，再根據(jù)S△PCD＝S△PDG＋S△PCG得出x的值，然后計算G點坐標(biāo)即可；（3）設(shè)P點坐標(biāo)為（a，），則C（，），D（a，），求出直線OP和直線CD的解析式，根據(jù)G點是直線CD和直線OP的交點得出G點坐標(biāo)，根據(jù)G點是CD的中點，即可得出MG＝CD．（1）解：∵點C的橫坐標(biāo)為6，點D的縱坐標(biāo)為3，四邊形OAPB是矩形，∴P（6，3），∵反比例函數(shù)y（k＞0）經(jīng)過點P，∴k＝6×3＝18，∴反比例函數(shù)y的解析式為y；（2）過點G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，設(shè)MG＝x，∵∠DPG＝30°，∴GN＝MP＝＝x，由（1）知P（6，3），又∵反比例函數(shù)y＝的圖象分別交線段AP，BP于C，D兩點，∴C（6，1），D（2，3），∴PD＝6?2＝4，PC＝3?1＝2，∵S△PCD＝S△PDG＋S△PCG，∴PD?PC＝PD?MG＋PC?GN，即×4×2＝×4x＋×2×x，解得x＝8?4，∴MG＝8?4，GN＝8?12，即G（18?8，4?5）；（3）MG＝CD，理由如下：設(shè)P點坐標(biāo)為（a，），則C（，），D（a，），設(shè)直線OP的解析式為y＝rx，代入P點坐標(biāo)得＝ra，∴r＝，即直線OP的解析式為y＝x，即直線CD的解析式為y＝sx＋t，代入C點和D點的解析式得：，解得：，即直線CD的解析式為y＝x＋，∵點G是直線OP和直線CD的交點，∴x＝x＋，解得x＝，∴G（，），∵D（，），C（a，），∴線段CD的中點坐標(biāo)為（，），∴點G是線段CD的中點，又∵∠CMD＝90°，∴MG＝CD．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江西撫州·九年級期末）如圖，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上的A點與反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上的B點關(guān)于原點O對應(yīng)（AB經(jīng)過原點O），且OB＝2OA，我們稱反比例函數(shù)y＝（x＜0）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的“位似反比例函數(shù)”，其中O為位似中心．(1)反比例函數(shù)y＝（x＜0）_____反比例函數(shù)y＝（x＞0）的“位似反比例函數(shù)”；（填“是”或“不是”）(2)若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象過點A（1，4）．①則m的值為______；②若A2022在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，對應(yīng)點B2022在“位似反比例函數(shù)”y＝（x＜0）的圖象上，求證：BB2022＝2AA2022；(3)在（2）的條件下，在x軸的正半軸上是否存在一點P，使△ABP為直角三角形，若存在，求出P點的坐標(biāo)．【答案】(1)是(2)①16；②證明見解析(3)存在，P點的坐標(biāo)為P（，0）或P（17，0）【分析】（1）根據(jù)題目中給出的定義進(jìn)行判別即可；（2）①根據(jù)點A（1，4）的坐標(biāo)，求出點B的坐標(biāo)，把點B的坐標(biāo)代入求出m的值即可；②根據(jù)反比例函數(shù)(x＜0)是反比例函數(shù)(x＞0)的“位似反比例函數(shù)”，得出＝＝，再結(jié)合∠AOA2022＝∠BOB2022，得出△AOA2022∽△BOB2022，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出；（3）在x軸的正半軸上存在一點P，使△ABP為直角三角形，設(shè)P(x，0)；分類討論當(dāng)∠APB＝90°或∠PAB＝90°時，分別求出點P的坐標(biāo)即可．(1)解：設(shè)反比例函數(shù)上一點A的坐標(biāo)為，，AB過O點，∴點B的坐標(biāo)為：，，點B在上，∴反比例函數(shù)（x＜0）是反比例函數(shù)（x＞0）的“位似反比例函數(shù)”；故答案為：是；(2)①∵點A的坐標(biāo)為（1，4），OB=2OA，且AB過點O，∴點B的坐標(biāo)為：（-2，-8），；故答案為：16．②如圖1所示：∵反比例函數(shù)y＝(x＜0)是反比例函數(shù)y＝(x＞0)的“位似反比例函數(shù)”，∴＝＝，∵∠AOA2022＝∠BOB2022，∴△AOA2022∽△BOB2022，∴＝＝，∴BB2022＝2AA2022．(3)在x軸的正半軸上存在一點P，使△ABP為直角三角形，設(shè)P(x，0)；①方法一：當(dāng)∠APB＝90°時，如圖2所示：由位似性質(zhì)得：A（1，4），B（-2，-8），AB＝＝，AP＝＝，BP＝＝，∵AB2＝AP2＋BP2，∴153＝x2－2x＋17＋x2＋4x＋68，x2＋x-34＝0，解得：x1＝，x2＝（不合題意，舍去），∴P（，0）；方法二：當(dāng)∠APB＝90°時，過點A作AE⊥x軸于E，過點B作BF⊥x軸于F，如圖3所示：∵∠BPF+∠FPB＝90°，∠EAP+∠FPB＝90°，∴∠BPF=∠EAP，∵∠AEP=∠BFP＝90°，∴△AEP∽△PFB，∴=，即=，x2＋x－34＝0，解得：（舍去）∴P（，0）；②當(dāng)∠PAB＝90°時，過A作AD//y軸，過B點作BD//x軸，兩線交于點D，如圖4所示：∵AD//y軸，BD//x軸，∴，，，，∴△PAC∽△ABD，∴＝，∴＝，解得：x＝17，∴P（17，0）；∴綜上所述，P點的坐標(biāo)為P（，0）或P（17，0）．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，讀懂題意，理解題目中給出的定義，作出相應(yīng)的輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2021·山東濟(jì)南·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點A、B在函數(shù)的圖象上，頂點C、D在函數(shù)的圖象上，其中，對角線軸，且于點P．已知點B的橫坐標(biāo)為4．（1）當(dāng)，時，①點B的坐標(biāo)為________，點D的坐標(biāo)為________，BD的長為________．②若點P的縱坐標(biāo)為2，求四邊形ABCD的面積．③若點P是BD的中點，請說明四邊形ABCD是菱形．（2）當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，直接寫出m、n之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①（4，1）；（4，5）；4；