二次根式知識點及習(xí)題

用：若，則，如:知識點五：二次根式的性質(zhì)一嘰貳、0）文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：用：若，則，如:知識點五：二次根式的性質(zhì)一嘰貳、0）文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0,則等于a本身，即=a乂憾0）；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即百2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。知識點六：與的異同點1、不同點：（&尸與表示的意義是不同的，五『表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實中，而中a可以是正實數(shù)，0,負(fù)實數(shù)。但（血）與都是非負(fù)數(shù)，即一訊、嵐一0）數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在（血）（血丫工。，賦王Q。因而它的運算的結(jié)果是有差別的，"尸”2。）=”1=■=,而2、相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，（亦尸=；時，（后無意義，而翻=_區(qū)二次根式知識點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二：取值范圍二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a^0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a<0時，沒有意義。知識點三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負(fù)數(shù)，即乏0（）。注：因為二次根式（）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，艮廬0（），這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若拓+翕則a=0,b=0；若亦+創(chuàng)=°，則a=0,b=0；若罷+卜則a=0,b=0。知識點四：二次根式（）'的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式"了m（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)1_2=2=知識點七：二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有V2、V3、Va（a>0）、Vx+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有V4、V9、VaA2、V（x+y）A2、VxA2+2xy+yA2等（3）最終結(jié)果分母不含根號。知識點八：二次根式的乘法和除法積的算數(shù)平方根的性質(zhì)Vab=Va?Vb（a>0，b>0）乘法法則Va?Vb=Vab（a>0，b>0）二次根式的乘法運算法則，用語言敘述為：兩個因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個因式積的算術(shù)平方根。除法法則VamVb=Vamb（a>0，b>0）二次根式的除法運算法則，用語言敘述為：兩個數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)商的算數(shù)平方根。有理化根式。如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化根式，也稱有理化因式。知識點九：二次根式的加法和減法1同類二次根式一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。2合并同類二次根式把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進行合并。知識點十：二次根式的混合運算1確定運算順序2靈活運用運算定律3正確使用乘法公式4大多數(shù)分母有理化要及時5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化知識點十一：分母有理化分母有理化有兩種方法I.分母是單項式如:Va/Vb=VaxVb/VbxVb=Vab/b/TjV~EX-/tT二￡aFbii.分母是多項式要利用平方差公式如1/Va+Vb=Va—Vb/(Va+Vb)(Va—Vb)=Va—Vb/a—b如圖_匚污4門5,(龐一須島一_￡_b注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。二次根式”經(jīng)典練習(xí)題二次根式”經(jīng)典練習(xí)題典型例題】一.利用二次根式的雙重非負(fù)性來解題（ja>0（a±o）,即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負(fù)數(shù)。1.下列各式中一定是二次根式的是（）。A、、?：一3；B、"vx；C、<x2+1；D、x—1取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。（1）匸；（（1）匸；（2）｛需2x+14)■5+x\'x+45)_,丨兀+3-'x+3⑹若E一1'則x的取值范圍是—⑺若芮二治’則x的取值范圍<5+<5+xx+4（7）注：（書寫格式（4）由5+x±0且x+4工0得x±—5且xM—4.°.當(dāng)乂三一5且乂工一4時代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義）若<3m-1有意義，則m能取的最小整數(shù)值是若jssm是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是5..當(dāng)x為何整數(shù)時,COx—1+1有最小整數(shù)值，這個最小整數(shù)值為6.若|2004—a+Qa-2005=a，則a—20042=7?若y二、x—3+x+4，則x+y=IIm2—9+9—m2+28.設(shè)m、n滿足n二，貝0\mn=m一39.若m適合關(guān)系式<3x+5y—2—m+J2x+3y—m=Jx—199+y?J199—x—y，求m的值.10.若三角形的三邊a、b、c滿足a2-4a+4+-3=0,則第三邊c的取值范圍是11.方程14x—81+*x—y—m=0，當(dāng)y>0時，m的取值范圍是（）

A、0<A、0<m<1B、m>2C、m<2D、m<2la(a>b)二.利用二次根式的性質(zhì)Ja2=|a|=<0(a=0)(即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值)來-a(a<0)解題1.已知Jx3+3x2=—x\；x+3，貝y()WOW—3C.x三一3D.—3WxW02..已知a<b，化簡二次根式i；—a3b的正確結(jié)果是()A.-a、Labb.-aPabc.aPabd.a、.-ab若化簡|1-x|-Jx2-8x+16的結(jié)果為2x-5則x的取值范圍是()A、x為任意實數(shù)B、1WxW4C、x±1D、xW4已知a,b,c為三角形的三邊，則*(a+b—c)2+、：(b—c—a)2+”(b+c—a)2=TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)-3<x<5時，化簡x2+6x+9+?、；x2—10x+25=。6、化簡Ix—yl-\；x2(x<y<0)的結(jié)果是()A.y一2xB.yC.2x一yD.—y7、已知：a+\1—2a+a2=1,則a的取值范圍是()。A、a=0；B、a=1；C、a=0或1；D、a<1iV~8、把(x-2)根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡結(jié)果是()。x—2A、站2—x；B、x—2；c、—lx—2D、—、：2—x三.二次根式的化簡與計算(二次根式的化簡是二次根式運算中的基本要求，其主要依據(jù)是二次根式的積商算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的性質(zhì)：(賦)E(a±0),即Ja2=1aI。1?把下列各式化成最簡二次根式:(2).412(2).412—402(3)■25m52~"(4)*x4+x2y22?下列各式中哪些是同類二次根式:v12，“,50，3，丫1o；(2)5\.a3b3c,v'a3b2v12，“,50，3，丫1o；(2)5\.a3b3c,v'a3b2c3，:竺Ia諄'氣:bC3.計算：(1)6、：'27-(—3.3),4a'6b■cI?,?I⑷竺■^24戸!~5~"5)—『3飛54i'2a2b2lab(6)-(—_t14.計算(1)r8+于邁2）(\9x3+3^v亦)-(4’4-+4y：|!)5．已知氣7+2忙…187=10'則X等于（A．4B．±2C．26..已矢口x=x:2—1,y=■-■2+1,D．±4■<x+Jy+3求-y*x+y、；x+3、；xy的值。四．二次根式的分母有理化21已知：x二，求x2一x+1的值。v'3—1/—4273+近、2..已知:x=-=,y=l，求代數(shù)式3x2—5xy+3y2的值。J3+42J3—J2TOC\o"1-5"\h\zr1,1|1||1'1+邁十邁+朽十爲(wèi)+訂十…麗+『而4.已知x'15+x—19+x=—2，試求<19+x+、；'15+x的值。五?關(guān)于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題1?估算'31—2的值（）A.在1和2之間B.在2和3之間C.在3和4之間D.在4和5之間2?若丫3的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則J3a—b二已知9+J3與9^'13的小數(shù)部分分別是a和S求ab—3a+4b+8的值若a，b為有理數(shù)，且、：8+亍18+=a+b站2，貝yba=.8六.二次根式的比較大小（1）5邁00和2訂（2）—5v6和—6\污（3）\.叼—和.15—（倒數(shù)法）

二次根式提高測試題、選擇題二次根式提高測試題TOC\o"1-5"\h\z1?使打二X+1有意義的x的取值范圍是()X—12.—個自然數(shù)的算術(shù)平方根為a(a>0)，則與這個自然數(shù)相鄰的兩個自然數(shù)的算術(shù)平方根為()(A)a—1,a+1(B)x/a—1,\/a+1(C)—1,\：a2+1(D)a2—1,a2+13.若x<0，貝卄JX2—x等于()(A)0(B)—2x(C)2x(D)0或2x4.若a<0,b>0，則\—a3b化簡得()(A)—a\—ab(b)—a^ab(c)a、j—ab(d)a?ab5.(A)5.(A)m2+2(b)m2—2C)Vm+2(D)材m—26.已知a,b是實數(shù)，且<a2—2ab+b2=b—a，則a與b的大小關(guān)系是（7.A）a7.A）a<b（B）a>b已知下列命題：-弱）=2-弱;③a2+(—3)2=(a+3)(a—3)；(C)a>b(d)a<b②寸(3—?！芬粅3—兀|=6；④\：'a2+b2=a+b.其中正確的有()(A)0個(B)1個(C)2個(D)3個8?若4、，8?若4、，'——m■2m—3與1—亍612051(A)(B)263化成最簡二次根式后的被開方數(shù)相同，則m的值為（13(C)§15(D)-19.當(dāng)a<—時，化簡\1—4a+4a2+|2a—1|等于()(A)2(B)2—4a(C)a(D)010.化簡\4x2—4x+1—C2x—3)得()11．12．13．14．15．16．17．18．三、1920．21．22．23．(A)2(B)-4x+4(C)-2(D)4x一4二、填空題若2x+1的平方根是±5，則朋x+1二時，式子遁一￥有意義.x—4已知：最簡二次根式、：''4a+b與a-V23的被開方數(shù)相同，則a+b二若x是*8的整數(shù)部分，y是V8的小數(shù)部分，則x=，y=已知<2009=px+y，且0<x<y,貝9滿足上式的整數(shù)對