2020年廣州市白云區(qū)部分學校中考數學一模試卷(有答案)

2020年廣州市白云區(qū)部分學校中考數學一模試卷(有答案)

2020年廣東省廣州市白云區(qū)部分學校中考數學一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．﹣2的絕對值是（

）A．﹣2

B．2

C．

D．﹣2．已知∠α=35°，則∠α的余角的度數是（

）A．55°

B．45°

C．145°

D．135°3．16的算術平方根是（

）A．±4

B．±8

C．4

D．﹣44．不等式組的解集為（

）A．x＜2

B．x≥1

C．﹣1≤x＜2

D．無解5．菱形ABCD的周長為16，∠A=60°，則BD的長為（

）A．8

B．4

C．2

D．46．下列式子中是完全平方式的是（

）A．a2+2a+1

B．a2+2a+4

C．a2﹣2b+b2

D．a2+ab+b27．如圖，△OAB繞點O順時針旋轉85°到△OCD，已知∠A=110°，若∠D=40°，則∠α的度數是（

）A．30°

B．45°

C．55°

D．60°8．已知一次函數y=kx+b的函數值y隨x的增大而增大，且其圖象與y軸的負半軸相交，則對k和b的符號判斷正確的是（

）A．k＞0，b＞0

B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＞0

D．k＜0，b＜09．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD垂直平分半徑OB，垂足為E，CD=6cm，則直徑AB的長是（

）A．10cm

B．3cm

C．4cm

D．4cm10．把函數y=﹣2x+3的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度，可得到的圖象的函數解析式是（

）A．y=﹣2x+7

B．y=﹣2x﹣7

C．y=﹣2x﹣3

D．y=﹣2x二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）11．已知點A（﹣2，4），則點A關于y軸對稱的點的坐標為．12．等腰三角形的腰長是6，則底邊長a的取值范圍是．13．若反比例函數的圖象經過點A（3，﹣2），則它的表達式是．14．已知△ABC∽△DEF，頂點D、E、F分別對應頂點A、B、C，且S△ABC：S△DEF=9：49，則AB：DE=．15．已知函數y=x2﹣4x+3，則函數值y隨x的增大而減小的x的取值范圍是．16．如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于點E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=12，則DE的長度是（結果用根號表示）．三、解答題（本大題共9小題，滿分102分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解方程組：．18．已知，如圖，?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，CF平分∠DCB，交AD于點F．求證：△ABE≌△CDF．19．已知a=3﹣，b=3+，試求﹣的值．20．某完全中學（含初、高中）籃球隊12名隊員的年齡情況如下：年齡（單位：歲）1415161718人數14322（1）這個隊隊員年齡的眾數是，中位數是；（2）求這個隊隊員的平均年齡；（3）若把這個隊隊員年齡繪成扇形統計圖，請求出年齡為15歲對應的圓心角的度數．21．在一個不透明的袋子中，放有四張質地完全相同的卡片，分別標有數字1，2，3，4．第一次從袋中隨機地抽出一張卡片，把其上的數字記為橫坐標x，然后把卡片放回袋中，攪勻后第二次再隨機地從中抽出一張，把其上的數字記為縱坐標y．（1）用樹狀圖或列表法把所有可能的點表示出來；（2）求所得的點在直線y=﹣x+5的點的概率．22．如圖，拋物線y=ax2﹣bx﹣4a交x軸于點A、B，交y軸于點C，其中點B、C的坐標分別為B（1，0）、C（0，4）．（1）求拋物線的解析式，并用配方法把其化為y=a（x﹣h）2+k的形式，寫出頂點坐標；（2）已知點D（m，1﹣m）在第二象限的拋物線上，求出m的值，并直接寫出點D關于直線AC的對稱點E的坐標．23．已知，如圖，△ABC中，∠C=90°，E為BC邊中點．（1）尺規(guī)作圖：以AC邊為直徑，作⊙O，交AB于點D（保留作圖痕跡，標上相應的字母，可不寫作法）；（2）連結DE，求證：DE為⊙O的切線；（3）若AD=4，BD=，求DE的長．24．如圖，點A、B分別位于x軸負、正半軸上，OA、OB﹙OA＜OB﹚的長分別是關于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根，C（0，3），且S△ABC=6．（1）求線段AB的長；（2）求∠ABC的度數；（3）過點C作CD⊥AC交x軸于點D，求點D的坐標；（4）y軸上是否存在點P，使∠PBA=∠ACB？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．25．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=2∠C．（1）若∠C=38°，則∠ABD=；（2）求證：BC=AB+AD；（3）求證：BC2=AB2+AB?AC．2015年廣東省廣州市白云區(qū)部分學校中考數學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．﹣2的絕對值是（

）A．﹣2

B．2

C．

D．﹣【考點】絕對值．【分析】根據絕對值的定義，可直接得出﹣2的絕對值．【解答】解：|﹣2|=2，故選：B．【點評】本題考查了絕對值的定義，是中考的常見題型，比較簡單，熟記絕對值的定義是本題的關鍵．2．已知∠α=35°，則∠α的余角的度數是（

）A．55°

B．45°

C．145°

D．135°【考點】余角和補角．【分析】若兩個角的和為90°，則這兩個角互余，根據已知條件直接求出答案即可．【解答】解：∵∠α=35°，∴∠α的余角的度數=90°﹣35°=55°．故選A．【點評】本題考查了余角的定義，如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．牢記定義是關鍵．3．16的算術平方根是（

）A．±4

B．±8

C．4

D．﹣4【考點】算術平方根．【專題】計算題．【分析】根據算術平方根的定義求解即可求得答案．【解答】解：∵42=16，∴16的算術平方根是4．故選C．【點評】此題考查了算術平方根的定義．題目很簡單，解題要細心．4．不等式組的解集為（

）A．x＜2

B．x≥1

C．﹣1≤x＜2

D．無解【考點】解一元一次不等式組．【分析】先求出每個不等式的解集，再根據找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣1，∴不等式組的解集為﹣1≤x＜2，故選C．【點評】本題考查了解一元一次不等式組的應用，解此題的關鍵是能根據不等式的解集求出不等式組的解集．5．菱形ABCD的周長為16，∠A=60°，則BD的長為（

）A．8

B．4

C．2

D．4【考點】菱形的性質．【分析】根據菱形的性質可得：AB=AD，然后根據∠A=60°，可得三角形ABD為等邊三角形，繼而可得出BD的長．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=DC=BC，∵菱形ABCD的周長為16，∴AB=4，∵∠A=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴AB=BD=4，故選B．【點評】本題考查了菱形的性質，解答本題的關鍵是掌握菱形的四條邊都相等的性質，比較簡單．6．下列式子中是完全平方式的是（

）A．a2+2a+1

B．a2+2a+4

C．a2﹣2b+b2

D．a2+ab+b2【考點】完全平方式．【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．看哪個式子整理后符合即可．【解答】解：A、原式=（a+1）2，是完全平方式，故本選項正確；B、原式=（a+1）2+3，不是完全平方式，故本選項錯誤；C、原式=a2﹣（b﹣1）2+1，不是完全平方式，故本選項錯誤；D、原式=（a+b）2﹣ab，不是完全平方式，故本選項錯誤；故選：A．【點評】本題主要考的是完全平方公式結構特點，有兩項是兩個數的平方，另一項是加或減去這兩個數的積的2倍．7．如圖，△OAB繞點O順時針旋轉85°到△OCD，已知∠A=110°，若∠D=40°，則∠α的度數是（

）A．30°

B．45°

C．55°

D．60°【考點】旋轉的性質．【專題】計算題．【分析】先根據旋轉的性質得∠C=∠A=110°，∠BOD=85°，則利用三角形內角和計算出∠COD=30°，然后利用∠BOC=∠BOD﹣∠COD進行計算即可．【解答】解：∵△OAB繞點O順時針旋轉85°到△OCD，∴∠C=∠A=110°，∠BOD=85°，∵∠COD+∠C+∠D=180°，∴∠COD=180°﹣110°﹣40°=30°，∴∠BOC=∠BOD﹣∠COD=85°﹣30°=55°，即∠α的度數是55°．故選C．【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．8．已知一次函數y=kx+b的函數值y隨x的增大而增大，且其圖象與y軸的負半軸相交，則對k和b的符號判斷正確的是（

）A．k＞0，b＞0

B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＞0

D．k＜0，b＜0【考點】一次函數圖象與系數的關系．【分析】一次函數y=kx+b中y隨x的增大而增大，且與y軸負半軸相交，即可確定k，b的符號．【解答】解：∵一次函數y=kx+b中y隨x的增大而增大，∴k＞0，∵一次函數y=kx+b與y軸負半軸相交，∴b＜0．故選：B．【點評】此題主要考查了一次函數圖象與系數的關系，一次函數y=kx+b的圖象有四種情況：①當k＞0，b＞0，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限，y的值隨x的值增大而增大；②當k＞0，b＜0，函數y=kx+b的圖象經過第一、三、四象限，y的值隨x的值增大而增大；③當k＜0，b＞0時，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、四象限，y的值隨x的值增大而減?。虎墚攌＜0，b＜0時，函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限，y的值隨x的值增大而減小．9．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD垂直平分半徑OB，垂足為E，CD=6cm，則直徑AB的長是（

）A．10cm

B．3cm

C．4cm

D．4cm【考點】垂徑定理；勾股定理．【分析】連接OD，先根據垂徑定理求出DE的長，再設AB=4x，則OE=x，OD=2x，根據勾股定理求出x的值即可．【解答】解：連接OD，∵弦CD垂直平分半徑OB，垂足為E，CD=6cm，∴DE=CD=3cm．設AB=4x，則OE=x，OD=2x，∴OE2+DE2=OD2，即x2+32=（2x）2，解得x=，∴AB=4（cm）．故選D．【點評】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．10．把函數y=﹣2x+3的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度，可得到的圖象的函數解析式是（

）A．y=﹣2x+7

B．y=﹣2x﹣7

C．y=﹣2x﹣3

D．y=﹣2x【考點】一次函數圖象與幾何變換．【分析】直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答．【解答】解：把函數y=﹣2x+3的圖象向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度，可得到的圖象的函數解析式是：y=﹣2（x+2）+3﹣2=﹣2x﹣3，故選C．【點評】本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）11．已知點A（﹣2，4），則點A關于y軸對稱的點的坐標為（2，4）．【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標．【分析】根據平面直角坐標系關于坐標軸成軸對稱的兩點的坐標之間的關系，易得答案．【解答】解：根據平面內關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數，已知點A（﹣2，4），則點A關于y軸對稱的點的橫坐標為﹣（﹣2）=2，縱坐標為4，故點（﹣2，4）關于y軸對稱的點的坐標是（2，4），故答案為（2，4）．【點評】本題考查平面直角坐標系關于坐標軸成軸對稱的兩點的坐標之間的關系．12．等腰三角形的腰長是6，則底邊長a的取值范圍是0＜a＜12．【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系．【專題】計算題．【分析】由已知條件腰長是6，底邊長為x，根據三角形三邊關系列出不等式，通過解不等式即可得到答案．【解答】解：根據三邊關系可知：6﹣6＜a＜6+6，即0＜a＜12．故答案為：0＜a＜12．【點評】本題考查等腰三角形的性質和三角形的三邊關系的運用．列出不等式，通過解不等式求解是正確解答本題的關鍵．13．若反比例函數的圖象經過點A（3，﹣2），則它的表達式是y=﹣．【考點】待定系數法求反比例函數解析式．【分析】首先設反比例函數解析式為y=，再把（3，﹣2）點代入可得k的值，進而可得解析式．【解答】解：設反比例函數解析式為y=，∵圖象經過點A（3，﹣2），∴k=﹣6，∴反比例函數解析式為：y=﹣．故答案為：y=﹣．【點評】此題主要考查了待定系數法求反比例函數解析式，關鍵是掌握凡是函數圖象經過的點必能滿足解析式．14．已知△ABC∽△DEF，頂點D、E、F分別對應頂點A、B、C，且S△ABC：S△DEF=9：49，則AB：DE=3：7．【考點】相似三角形的性質．【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=9：49，∴AB：DE=3：7，故答案為：3：7．【點評】本題考查了相似三角形的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．15．已知函數y=x2﹣4x+3，則函數值y隨x的增大而減小的x的取值范圍是x＜2．【考點】二次函數的性質．【分析】根據a＞0，對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，可得答案．【解答】解：a=1，x＜﹣，即x＜2時函數值y隨x的增大而減?。蚀鸢笧椋簒＜2．【點評】本題考查了二次函數的性質，利用了a＞0，對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，確定對稱軸是解題關鍵．16．如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于點E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=12，則DE的長度是3（結果用根號表示）．【考點】矩形的性質．【分析】根據∠EDC：∠EDA=1：3，可得△CDE∽△ADE，再由AC=10，求得DE．【解答】解：連接BD交AC于O，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=12，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=6，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°，∴∠ODC=∠OCD=67.5°，∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，∴∠COD=45°，∴OE=DE，∵OE2+DE2=OD2，∴2（DE）2=OD2=36，∴DE=3，故答案為：3．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定和矩形的性質，根據已知得出OE2+DE2=OD2是解題關鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分102分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解方程組：．【考點】解二元一次方程組．【分析】①+②×2消去y，再解答即可．【解答】解：，①+②×2得：x=2，把x=2代入②得：y=1，所以方程組的解是：．【點評】本題主要考查對解一元一次方程，解二元一次方程組等知識點的理解和掌握，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．18．已知，如圖，?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，CF平分∠DCB，交AD于點F．求證：△ABE≌△CDF．【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定．【專題】證明題．【分析】首先根據平行四邊形的性質可得到AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠DCB，再利用角平分線的性質證明∠BAE=∠DCF，即可得到△ABE≌△CDF的條件，利用ASA即可證明其全等．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠DCB，∵AE平分∠A，CF平分∠C，∴∠BAE=∠BAD，∠DCF=∠DCB，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質，以及全等三角形的判定，解題的關鍵是證明∠BAE=∠DCF．19．已知a=3﹣，b=3+，試求﹣的值．【考點】二次根式的化簡求值．【分析】將a，b的值代入化簡即可．【解答】解：∵a=3﹣，b=3+，∴﹣==﹣=．【點評】本題主要考查了二次根式的化簡，將二次根式分母有理化是解答此題的關鍵．20．某完全中學（含初、高中）籃球隊12名隊員的年齡情況如下：年齡（單位：歲）1415161718人數14322（1）這個隊隊員年齡的眾數是15，中位數是16；（2）求這個隊隊員的平均年齡；（3）若把這個隊隊員年齡繪成扇形統計圖，請求出年齡為15歲對應的圓心角的度數．【考點】眾數；扇形統計圖；加權平均數；中位數．【分析】（1）眾數就是出現次數最多的數，而中位數就是大小處于中間位置的數，根據定義即可求解；（2）利用求平均數公式計算即可；（3）年齡為15歲所占的百分比，乘以360即可得到結果．【解答】解：（1）15歲出現了4次，次數最多，因而眾數是：15；12個數，處于中間位置的都是16，因而中位數是：16．故答案為15、16；（2）這個隊隊員的平均年齡==16（歲）；（3）年齡為15歲對應的圓心角的度=×360°=120°．【點評】本題考查了眾數和中位數的概念：一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數；將一組數據按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．21．在一個不透明的袋子中，放有四張質地完全相同的卡片，分別標有數字1，2，3，4．第一次從袋中隨機地抽出一張卡片，把其上的數字記為橫坐標x，然后把卡片放回袋中，攪勻后第二次再隨機地從中抽出一張，把其上的數字記為縱坐標y．（1）用樹狀圖或列表法把所有可能的點表示出來；（2）求所得的點在直線y=﹣x+5的點的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；一次函數圖象上點的坐標特征．【分析】（1）此題需要兩步完成，屬于放回實驗，所以采用樹狀圖法或者采用列表法都比較簡單，注意做到不重不漏；（2）根據（1）求得所有的可情況，再求出符合條件的情況，即可求得答案．【解答】解：（1）樹形圖如下：列表如下：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（2）按題意，在直線y=﹣x+5的點有：（1，4），（4，1），（2，3）（3，2）共4個，故P（所得的點在直線y=﹣x+5上）==．【點評】此題考查了樹狀圖與列表法求概率．列表法適合兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．22．如圖，拋物線y=ax2﹣bx﹣4a交x軸于點A、B，交y軸于點C，其中點B、C的坐標分別為B（1，0）、C（0，4）．（1）求拋物線的解析式，并用配方法把其化為y=a（x﹣h）2+k的形式，寫出頂點坐標；（2）已知點D（m，1﹣m）在第二象限的拋物線上，求出m的值，并直接寫出點D關于直線AC的對稱點E的坐標．【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】（1）由拋物線y=ax2+bx﹣4a經過A（1，0）、C（0，4）兩點，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；（2）由點D（m，1﹣m）在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，即可求得點D的坐標，則可求得∠CBO的度數，然后過點D作DF⊥BC于F，延長DE交y軸于E，又由點E即為點D關于直線BC的對稱點，即可求得點E的坐標．【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx﹣4a經過A（1，0）、C（0，4）兩點，∴，解得．∴此拋物線的解析式為y=﹣x2﹣3x+4．（2）∵點D（m，1﹣m）在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，∴﹣m2﹣3m+4=1﹣m，解得m1=﹣3，m2=1．∵點D在第二象限，∴D（﹣3，4）．令y=﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=1，x2=﹣4．∴B（﹣4，0）．∴∠CBO=45°．連接DC，易知DC∥BA，DC⊥CO，DC=3．∴∠DCA=∠CAO=45°．∴∠ACD=45°．過點D作DF⊥BC于F，延長DE交y軸于E，∴∠D=45°．∴∠CFE=45°．∴DF=CF=EF．∴點E即為點D關于直線BC的對稱點．∴CD=CE=3，∴OE=1∴E（0，1）．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征、拋物線解析式的求法、等腰直角三角形的判定與性質、軸對稱的性質；熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和解析式的求法是解決問題的關鍵．23．已知，如圖，△ABC中，∠C=90°，E為BC邊中點．（1）尺規(guī)作圖：以AC邊為直徑，作⊙O，交AB于點D（保留作圖痕跡，標上相應的字母，可不寫作法）；（2）連結DE，求證：DE為⊙O的切線；（3）若AD=4，BD=，求DE的長．【考點】作圖—復雜作圖；切線的判定．【專題】作圖題．【分析】（1）作AC的垂直平分線，垂足為O，然后以O點為圓心，OA為半徑作圓即可；（2）如圖2，連結OD，CD，根據圓周角定理得到∠ADC=90°，再根據斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=EC=BE，則利用等腰三角形的性質得∠1=∠2，加上∠3=∠4，則∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是可根據切線的判定定理可判斷DE為⊙O的切線；（3）證明Rt△BDC∽Rt△BCA，利用相似比計算出BC=，然后利用斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到DE的長．【解答】（1）解：如圖1，（2）證明：如圖2，連結OD，CD，∵AC邊為直徑，∴∠ADC=90°，而E為BC邊中點，∴DE為Rt△BDC斜邊BC上的中線，∴DE=EC=BE，∴∠1=∠2，∵OC=OD，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=90°，∴OD⊥DE，∴DE為⊙O的切線；（3）解：∵∠DBC=∠CBA，∴Rt△BDC∽Rt△BCA，∴BC：AB=BD：BC，即BC：（4+）=：BC，∴BC=，∴DE=BC=．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定．24．如圖，點A、B分別位于x軸負、正半軸上，OA、OB﹙OA＜OB﹚的長分別是關于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根，C（0，3），且S△ABC=6．（1）求線段AB的長；（2）求∠ABC的度數；（3）過點C作CD⊥AC交x軸于點D，求點D的坐標；（4）y軸上是否存在點P，使∠PBA=∠ACB？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】一次函數綜合題．【專題】綜合題．【分析】（1）由點C的坐標確定出OC的長，根據三角形ABC面積求出AB的長即可；（2）根據OA、OB﹙OA＜OB﹚的長分別是關于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根，表示出OA+OB，即為AB的長，進而求出m的值，確定出方程，求出解得到A與B坐標，得到三角形OBC為等腰直角三角形，即可求出∠ABC的度數；（3）如圖1所示，作CD⊥AC，交x軸于點D，根據同角的余角相等及一對公共角，得到三角形AOC與三角形COD相似，由相似得比例求出OD的長，即可確定出點D的坐標；（4）y軸上存在點P，使∠PBA=∠ACB，理由為：y軸上存在點P，使∠PBA=∠CAB，如圖2所示，過點B作PB∥AC，設直線AC解析式為y=kx+b，把點A和點C坐標代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，進而求出直線PB解析式，求出點P坐標，再利用對稱性求出點P′坐標即可．【解答】解：（1）∵點C（0，3），∴OC=3，∵S△ABC=6，∴×AB×OC=6，∴AB=4；（2）∵OA、OB﹙OA＜OB﹚的長分別是關于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的兩根，∵OA+OB=4m，∴4m=4，即m=1，∴方程可化為：x2﹣4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°；（3）如圖1所示，作CD⊥AC，交x軸于點D，∵∠AOC=∠ACD=90°，∴∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠DCO=90°，∴∠CAO=∠DCO，∴△AOC∽△COD，∴=，∴OD==9，∴D（9，0）；（4）y軸上存在點P，使∠PBA=∠CAB，如圖2所示，過點B作PB∥AC，設直線AC解析式為y=kx+b，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直線AC的解析式為：y=3x+3，設直線PB解析式為y=3x+b，把B（3，0）代入得：0=9+b，即b=﹣9，∴直線PB的解析式為：y=3x﹣9，