2022年南京大學強基計劃數(shù)學試卷(初試)+解析版

2022年江蘇省南京大學強基計劃數(shù)學試卷（初試）（附答案與詳細解析）一、填空題。1．函數(shù)y＝2．x∈（0，

的值域為 ．，求函數(shù)＝si2cox的最大值為 ．已知、y、z滿足x+y+z＝1，則x2+4y2+9z2的最小值為 ．在中，角AC對邊分別為abc，已知acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，則tanA的值為 ．若數(shù)列x，a1，a2，y成等比數(shù)列，則

的取值范圍是 ．6．已知向量，，滿足| |＝2最小值為 ．

，?＝，且（ （+2 ），| + |已知直線y＝ax+2與三次曲線y＝x3﹣ax有三個不同交點，則a的取值范圍為 ．6ABCD中，MBCD|AM|＝5AM與BC所成的角為α，|cosα|最大值為 ．方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非負整數(shù)解個數(shù)為 ．為雙曲線F

＝1的右焦點與右準線，橢圓Γ以F和為其對應的焦點x的直線，交橢圓Γ兩點，若Γ的中心位于以AB為直徑的圓外，則橢圓離心率e的范圍為 ．第1頁（共8頁）2022年江蘇省南京大學強基計劃數(shù)學試卷（初試）一、填空題。

參考答案與試題解析函數(shù)y＝ 的值域為[1，2] ．【分析】求出函數(shù)的定義域，利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，確定出最值的位置，求出相應的函數(shù)值，即可得到值域【解答】解：∵y＝∴ y′＝令y′＞0解得x＝4y＝故答案為[1，2]

，令y′＜0，得，x＝5時，y＝1的值域為[1，2]

，故當 函數(shù)取到最大值2【點評】本題考查求函數(shù)的值域，由于本題函數(shù)解析式比較特殊，單調(diào)性不易判斷出，故采取了求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，確定出函數(shù)最值的位置，求出值域，解答本題關鍵是熟練掌握求導公式，以及掌握導數(shù)法確定函數(shù)單調(diào)性的步驟．（，，求函數(shù)＝si2cox的最大值為．由同角三角函數(shù)的平方關系，可得＝co﹣co3，令co（1，再求f（t）的單調(diào)性，然后求其最大值，即可．解：y＝sin2xcosx＝（1﹣cos2x）cosx＝cosx﹣cos3x，t＝cosxf（t）＝t﹣t3，f'（t）＝1﹣3t2，因為∈（，，所以∈0，1，令f'（t）＝1﹣3t2＝0，則t＝± ，f（t）在

）上單調(diào)遞增，在（

，1）上單調(diào)遞減，所以f（t）max＝f（故答案為：

）＝ ，即函數(shù)y的最大值為 ．第2頁（共8頁）【點評】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，還涉及同角三角函數(shù)的平方關系，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．已知、y、z滿足x+y+z＝1，則x2+4y2+9z2的最小值為 ．【分析】直接利用柯西不等式的應用求出結(jié)果．【解答】解：已知x、y、z 滿足x+y+z＝1，利用柯西不等式，整理得等號成立，x2+4y2+9z2故答案為： ．

，當且僅當x＝4y＝9z，即x＝ ，y＝ ，z＝ ，時，．【點評】本題考查的知識要點：柯西不等式的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．在中，角AC對邊分別為abc，已知acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，則tanA的值為 1 ．即可求解．【解答】解：∵acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，∴由正弦定理可得，sinAcosC﹣sinBcos2A＝sin2AsinB﹣sinCsinA，∴sinAcosC+sinCsinA＝sinB（sin2A+cos2A）＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝cosA，∴tanA＝1．【點評】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題．若數(shù)列x，a1，a2，y成等差數(shù)列成等比數(shù)列，則圍是[4，+∞）或．

的取值范【分析】由題意可知 ＝ ＝ ＝+ +2．由此可知第3頁（共8頁）的取值范圍．【解答】解：在等差數(shù)列中，a1+a2＝x+y；在等比數(shù)列中，xy＝b1?b2．∴ ＝ ＝ ＝+ +2．當x?y＞0時，+ ≥2，故 ≥4；當x?y＜0時，+ ≤﹣2，故 ≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細思考．6．已知向量，，滿足| |＝2最小值為 ．

，?＝，且（ （+2 ），| + |【分析先根|

，?＝6求出，的夾角θ，建立直角坐標系，設＝（，，根據(jù)（ （+2 ）＝0得到的終點的軌跡是以（，﹣）為圓心，為半徑的圓，再根據(jù)| |＝ 表示的是圓（x+2）2+（y+ ）2＝上的點到點（﹣2，﹣2）的最小值，進而求解即可．【解答解：設，的夾角為θ，根據(jù)?＝| || |cosθ＝6，解得45°．以方向為x軸正方向建立如下圖坐標系：

，則θ＝第4頁（共8頁）則 ， ，設 ＝（x，y），則 ，，因為（ （+2 ）＝0，所以（3x（2+x）+y（2+y）＝0，整理得到（+2）+（y+ ）2＝，所以的終點的軌跡是以）因為 ，所以| |＝

為半徑的圓．，表示的是圓（x+2）2+（y+ ）2＝上的點到點的最小值，經(jīng)驗證（﹣2，﹣2）在圓外，故最大值為點（﹣2，﹣2）到圓心的距離減去半徑的長度．點（﹣2，﹣2）到圓心的距離d＝ ＝，則| + 最小值為 ＝ ．故答案為： ．【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積和圖形的幾何意義，屬于中檔題．已知直線y＝ax+2與三次曲線y＝x3﹣ax有三個不同交點，則a的取值范圍為 （，+∞）．【分析】利用分離參數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)，再對函數(shù)求導，求得函數(shù)的單調(diào)性，再分析a的范圍即可．a(chǎn)x+2＝x3﹣axx3＝2ax+2x≠0，于是．記 ，則 ．所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，0）及（0，+∞）上單調(diào)遞增，，，由圖像知2a＞3，解得a ，第5頁（共8頁）（，+∞．【點評】本題考查導數(shù)的應用，考查學生的運算能力，屬于難題．6ABCD中，MBCD|AM|＝5AM與BC所成的角為α，|cosα|最大值為 ．ABCD為垂足，連接DH，推導出AMAHMr＝1BC成角αAMBCD所成線面角，由此能求出結(jié)果．【解答】解：過點A作底面BCD的垂線為AH，H為垂足，連接DH，DH＝＝2，AH＝ ＝2，∵AM＝5，∴AM是以AH為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐的母線，且M所在的底面圓周半徑r＝1，由最小角定理知，AM與BC所成角α的最小值為：AM與面BCD所成線面角，即當αco）ma＝故答案為：．【點評】本題考查線面角的定義、最小角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正四面體的結(jié)構(gòu)特征、圓錐的結(jié)構(gòu)特征等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．9．方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非負整數(shù)解個數(shù)為 42 ．第6頁（共8頁）【分析】討論六個字母的取值，通過分類討論，分別求解即可．【解答】解：方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非負整數(shù)解，令a＝x1+x2+x3，b＝x4+x5，c＝x6，可知c∈{0，1}，b∈{0，3，6}，a∈{0，1，2，3，4，5，6，7}，a+3b+5c＝7，a＝73a＝6，非負整數(shù)解個數(shù)為0組；a＝50組；0，x4，x50，1，非負整數(shù)解個數(shù)為2×（3+6+3+3）＝30組；a＝3，非負整數(shù)解個數(shù)為0組；a＝2，x1、x2、x31，x4，x50，0，3+3＝6組；a＝1，x1、x2、x30，x4，x53，3，3組；a＝00共有：3+30+6+3＝42．故答案為：42．【點評】本題考查不定方程解的公式問題，排列組合的實際應用，是難題．10．設F，l為雙曲線及準線，過F作一條平行于y＝

＝1的右焦點與右準線，橢圓Γ以F和為其對應的焦點x的直線，交橢圓Γ兩點，若Γ的中心位于以AB為直徑的圓外，則橢圓離心率e的范圍為 ＜e＜1 ．【分析】根據(jù)定義求得橢圓Γ的焦準距，設橢圓中心為O，建立平面直角坐標系，聯(lián)立直線AB和橢圓Γ，利用韋達定理與向量法即可求解．【解答解：由雙曲線方程可知其焦準距為則橢圓Γ的焦準距 3（同側(cè)焦點和準線，如圖，設橢圓中心為O，建立平面直角坐標系，第7頁（共8頁）設Γ： ＝（a＞，設（，1，（，，設直線AB方程＝ （+，聯(lián)立