2022屆湖北省襄陽市普通高中高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbcB．logca＜logcbC．a(chǎn)c＜bcD．ca＞cb2．已知集合A={y|y=|x|1，xR}，B={x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣3AB．3BC．A∩B=BD．AB=B3．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1B．2C．3D．44．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點中的一個，每個景點去一人．已知：甲不在遠(yuǎn)古村寨，也不在百里絕壁；乙不在原始森林，也不在遠(yuǎn)古村寨；“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；丁不在百里絕壁，也不在遠(yuǎn)古村寨．若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點的同學(xué)是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．6．設(shè)，是方程的兩個不等實數(shù)根，記（）.下列兩個命題（）數(shù)列數(shù)列的任意一項都是正整數(shù)；存在某一項是5的倍數(shù).A．正確，錯誤B．錯誤，正確C．都正確D．都錯誤7．如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運行結(jié)果為31時，則圖中判斷框處應(yīng)填入的是（）A．B．C．D．8．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)（即質(zhì)數(shù)）的和”，如，．在不超過20的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率是（）A．B．C．D．以上都不對9．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．10．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為（）A．B．6C．D．11．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（）A．B．C．D．12．已知函數(shù)，存在實數(shù)，使得，則的最大值為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三個小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為______.14．已知，，，且，則的最小值為___________．15．某校高三年級共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗（滿分名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如下：分），已知這，名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于分，將這，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是________（填序號）．；這這這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為；名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)約為名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為；．16．定義，已知，，若恰好有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：過點，過坐標(biāo)原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.（1）證明：當(dāng)取得最小值時，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.18．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，且過點的離心率為.為橢圓的右焦點，為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，連接分別交橢圓于兩點.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若，求的值；設(shè)直線，的斜率分別為，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知分別是內(nèi)角的對邊，滿足（1）求內(nèi)角的大?。?）已知，設(shè)點是外一點，且，求平面四邊形面積的最大值.20．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．21．（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求ABC面積的最大值．22．（10分）[選修4-5：不等式選講]設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）已知關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負(fù)數(shù)改變不等號方向，所以選項B正，所以C錯誤;對于選項D，利用確;對于選項C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.2．C【解析】試題分析：集合考點：集合間的關(guān)系3．B【解析】設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，.成等比數(shù)列，，解可得.故選：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷．【詳解】由可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨，必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨，由可知必有甲去了原始森林，由可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點的同學(xué)是?。蔬x：D．【點睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ)．5．B【解析】求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號零點.由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使即在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，在上有變號零點，令，則，令，則問題即在上有零點，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6．A【解析】利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計算出,,從而推出正確;再利用遞推公式依次計算數(shù)列中的各項,以此判斷的正誤.【詳解】因為,是方程的兩個不等實數(shù)根,所以因為所以,,,,即當(dāng)又時,數(shù)列中的任一項都等于其前兩項之和,,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項都是正整數(shù),故正確;若數(shù)列由存在某一項是5的倍數(shù),則此項個位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,,依次計算可知,,數(shù)列中各項的個位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,中不存在個位數(shù)字為0或5的項,故錯誤;故數(shù)列故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計算能力.7．C【解析】根據(jù)程序框圖的運行，循環(huán)算出當(dāng)【詳解】時，結(jié)束運行，總結(jié)分析即可得出答案.由題可知，程序框圖的運行結(jié)果為31，當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，；時，；時，；時，；時，.此時輸出故選：C.【點睛】.本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知輸出結(jié)果求條件框，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】首先確定不超過【詳解】的素數(shù)的個數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結(jié)果.不超過的素數(shù)有，，，，，，，，共個，從這個素數(shù)中任選個，有其中選取的兩個數(shù)，其和等于種可能；的有，，共種情況，．故隨機(jī)選出兩個不同的數(shù)，其和等于的概率故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.10．D【解析】用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，得到【詳解】時退出循環(huán),即可求得.執(zhí)行程序框圖，可得，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，由題意，此時應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.故選D．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.11．B【解析】試題分析：由題意得．，，所以，，所求雙曲線方程為考點：雙曲線方程.12．A【解析】畫出分段函數(shù)圖像，可得，由于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于令，，，在，故.故選：A【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)．由此能求出三人都收到禮物的概率．【詳解】三個小朋友之間準(zhǔn)備送禮物，約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)則三人都收到禮物的概率．．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】由，先將變形為，運用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解：因為，，，且，所以因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)所以時，取等號，令，，則令，則，所以函數(shù)所以在上單調(diào)遞增，所以則所求最小值為故答案為：【點睛】此題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡和運算能力，屬于中檔題.15．【解析】由頻率分布直方圖可知，解得，解得，故不正確；這，故正確；設(shè)這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為，則分以下的人數(shù)為，故正確；這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，故不正確．綜上，說法正確的序號是．16．【解析】根據(jù)題意，分類討論求解，當(dāng)時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無零點，不合題意；當(dāng)時，令，得，令，得或，再分當(dāng)，兩種情況討論求解.【詳解】由題意得：當(dāng)時，在軸上方，且為增函數(shù)，無零點，至多有兩個零點，不合題意；當(dāng)時，令，得，令，，得或如圖所示：當(dāng)時，即時，要有3個零點，則，解得；當(dāng)令時，即時，要有3個零點，則，，，所以要使在是減函數(shù)，又，所以，，則須.綜上：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題主要考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）將點代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時，進(jìn)而證得橢圓的離心率為.（2）當(dāng)直線在時，聯(lián)立直線的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性，求得到直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用的距離.當(dāng)直線，則的斜率存列方程，求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進(jìn)而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：橢圓經(jīng)過點，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時橢圓的離心率.（2）解：橢圓的焦距為2，，又，，.當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性，設(shè)，.，在橢圓上，，，到直線的距離.當(dāng)直線由的斜率存在時，設(shè)的方程為.，得，.設(shè)，，則，.，，，，即，到直線的距離.綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.【點睛】本小題主要考查點和橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式求最值，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18．（1）（2）（3）【解析】試題分析：（1）；（2）由橢圓對稱性，知，所以，此時直線方程為，故．（3）設(shè)，則，通過直線和橢圓方程，解得，，所以，即存在．試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意知：解之得：，所以橢圓方程為：，由橢圓對稱性，知（2）若，所以，此時直線方程為，由故，得．，解得（舍去），（3）設(shè)，則，直線的方程為，代入橢圓方程，，得因為又是該方程的一個解，所以在直線點的橫坐標(biāo)，上，所以，，同理，點坐標(biāo)為所以，，即存在，使得．19．（1）（2）【解析】（1）首先利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本關(guān)系得到，即可求出角