高一數(shù)學(xué)《27 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》

整理ppt●基礎(chǔ)知識(shí)一、指數(shù)與對(duì)數(shù)1．如果一個(gè)數(shù)的

等于a且n>1，n∈N*，這個(gè)數(shù)叫a的

，即xn＝a.2．式子

叫根式，其中n叫

，a叫

，顯然,()n＝

.但＝n次方n次方根根指數(shù)被開(kāi)方數(shù)a整理ppt3．規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a－＝ ＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于

,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

．0沒(méi)有意義整理ppt4．有理指數(shù)冪：①aras＝

(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝

(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝

(a>0，b>0，r∈Q)．5．若ab＝N，那么數(shù)b叫

，記作logaN＝b，其中a叫

，N叫

．即ab＝N?

(a>0，且a≠1)．

和

沒(méi)有對(duì)數(shù)．(N>0)6．N的常用對(duì)數(shù)記作

，N的自然對(duì)數(shù)記作

，它們分別以

和

為底．a(chǎn)r＋sarsarbr以a為底N的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)真數(shù)b＝logaN負(fù)數(shù)零lgN1nN10e整理ppt7．a(chǎn)logaN＝

；loga1＝

；logaa＝

.若a>0，a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝；②loga＝

；③logaMn＝

(n∈R)N01logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM整理ppt二、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1．函數(shù)

叫指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a叫底數(shù)，函數(shù)

叫對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a叫底數(shù)．y＝ax(a>0，且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)整理ppt2.指數(shù)函數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：R；(2)值域：

，即圖象皆在x軸上方；(3)過(guò)點(diǎn)

.(4)①在R上是增函數(shù)②在R上是減函數(shù)函數(shù)值分布(5)①x>0，

；x<0,

.②x>0,

；x<0，

.(6)y＝ax與y＝()x＝a－x關(guān)于

對(duì)稱(chēng)(7)x軸是漸近線(xiàn)，即圖象向左或向右無(wú)限接近x軸(8)a>1時(shí)，a越大，y＝1上方的圖象越接近

軸(9)圖象與直線(xiàn)x＝1的交點(diǎn)(1，a)隨著a增大而上升(0，＋∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1y軸y整理ppt對(duì)數(shù)函數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：

；(2)值域：R；(3)過(guò)點(diǎn)

.(4)①在(0，＋∞)上是增函數(shù)②在(0，＋∞)上是減函數(shù)函數(shù)值分布(5)①x>1，

；0<x<1，

.②x>1，

；0<x<1，

.(6)y＝logax與y＝logx關(guān)于

對(duì)稱(chēng)(7)y軸是漸近線(xiàn)，即圖象向上、或向下無(wú)限接近y軸(8)a>1時(shí)，a越大，x＝1右側(cè)圖象越接近

軸(9)圖象與直線(xiàn)y＝1的交點(diǎn)(a,1)的橫坐標(biāo)，即為對(duì)數(shù)函數(shù)的底，a越大交點(diǎn)越向右(10)y＝logax與y＝ax互為反函數(shù)(0，＋∞)(1,0)y>0y>0y<0y<0x軸x整理ppt●易錯(cuò)知識(shí)一、運(yùn)算法則運(yùn)用錯(cuò)誤整理ppt2．[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64＝________.答案：13．已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為_(kāi)_______．答案：12整理ppt二、沒(méi)有分類(lèi)出錯(cuò)4．若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足loga＜1，則a的取值范圍是________答案：(0，)∪(1，＋∞)整理ppt三、比較大小易混5．如：將下列各數(shù)按從大到小的順序排成一列整理ppt四、概念理解錯(cuò)誤6．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(x1x2…x2009)＝8，則的值等于 ()A．4 B．8C．16 D．2loga8答案：C整理ppt失分警示：因?qū)?shù)運(yùn)算法則不熟練而出錯(cuò)．整理ppt五、性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤7．設(shè)正數(shù)x、y滿(mǎn)足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，則x＋y的取值范圍是 ()A．(0,6] B．[6，＋∞)C．[1＋，＋∞) D．(0,1＋]答案：B整理ppt解析：∵log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y＝log2xy，∴x＋y＋3＝xy，由x、y∈R＋知xy≤()2，∴x＋y＋3≤()2.令x＋y＝A，∴A＋3≤，∴A≥6或A≤－2(舍去)，故選B.失分警示：本題不能分別求出x、y的值，只能將x＋y看作一個(gè)參數(shù)來(lái)求解．整理ppt●回歸教材答案：D整理ppt答案：A整理ppt3．(課本P852題改編)函數(shù)y＝ 的定義域是 ()A．(3，＋∞)B．[3，＋∞)C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)解析：∵log2x－2≥0?log2x≥2?x≥4.答案：D整理ppt4．已知圖中曲線(xiàn)C1、C2、C3、C4是函數(shù)y＝logax的圖象，則曲線(xiàn)C1、C2、C3、C4對(duì)應(yīng)的a的值依次為()答案：B整理ppt整理ppt6．(1)設(shè)y＝a－x(a＞0且a≠1)，當(dāng)a∈________時(shí)，y為減函數(shù)；此時(shí)當(dāng)x∈________時(shí)，0＜y＜1.(2)設(shè)y＝loga(x＋2)(a＞0且a≠1)當(dāng)a∈________時(shí)，y為減函數(shù)；此時(shí)當(dāng)x∈________時(shí)，y＜0.答案：(1)(1，＋∞)(0，＋∞)(2)(0,1)(－1，＋∞)整理ppt指數(shù)、對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算不獨(dú)立命題，但在其他命題的研究中經(jīng)常遇到等式的運(yùn)算、變形、求值、化簡(jiǎn)及等式證明等．它是研究方程、不等式和函數(shù)的基礎(chǔ)，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的推理、判斷也需要在等式的變形中解決．因此要熟練掌握并能靈活運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．整理ppt【例1】計(jì)算下列各式：整理ppt整理ppt[總結(jié)評(píng)述]若式子中既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式，可先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；對(duì)數(shù)運(yùn)算應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即積、商、冪的對(duì)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算．(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪來(lái)進(jìn)行根式運(yùn)算，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．(2)運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各字母的取值范圍，只有所得結(jié)果中的對(duì)數(shù)和所給出的數(shù)的對(duì)數(shù)都存在時(shí)才成立，同時(shí)不要將積商冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的積商冪混淆起來(lái)．整理ppt(2009·湖南岳陽(yáng)一模)計(jì)算：4＋2log23－log2＝________.答案：5解析：4＋2log23－log2＝2＋2log23－2log23＋3＝5.整理ppt答案：3整理ppt【例2】(2007·天津)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且2a＝loga，()b＝logb，()c＝log2c，則 ()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c[命題思路]考查指、對(duì)函數(shù)的圖象及性質(zhì)．整理ppt[解析]解法一：由函數(shù)y＝2x，y＝()x，y＝log2x，y＝logx的圖象知：0<a<b<1<c，故選A.整理ppt解法二：∵a>0，∴2a>1，∴l(xiāng)oga>1，∴0<a<，又∵b>0，∴0<()b<1，0<logb<1，∴<b<1，又∵()c>0，∴l(xiāng)og2c>0，∴c>1，∴0<a<<b<1<c，故選A.[答案]A整理ppt答案：B整理ppt整理ppt(2009·全國(guó)Ⅱ，7)設(shè)a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，則 ()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a答案：B整理ppt整理ppt【例3】求下列函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間．①y＝()x2－2x－3②y＝()x－()x－2③y＝log[(1－x)(3＋x)]④y＝(log2x)2－log2x2－3整理ppt[分析]①研究函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間應(yīng)先求出定義域．②求復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的值域應(yīng)先求內(nèi)層u＝g(x)的取值范圍，再根據(jù)u的取值范圍去求y＝f(u)的取值范圍，即為所求．第①題求值域時(shí)應(yīng)注意y＞0.③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)首先分清該復(fù)合函數(shù)是由哪幾個(gè)基本函數(shù)復(fù)合而得．整理ppt[解析]①函數(shù)的定義域?yàn)镽設(shè)u＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4∴0＜y≤()－4＝81即函數(shù)的值域?yàn)閧y|0＜y≤81}∵x∈(－∞，1]時(shí)，u為減函數(shù)x∈[1，＋∞)時(shí)，u為增函數(shù)又∵y＝()u為減函數(shù)∴y＝()x2－2x－3的減區(qū)間為[1，＋∞)增區(qū)間為(－∞，1]整理ppt整理ppt③由(1－x)(3＋x)＞0得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|－3＜x＜1}u＝(1－x)(3＋x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4當(dāng)－3＜x＜1時(shí)，u∈(0,4]∴y∈[－2，＋∞)即函數(shù)的值域?yàn)閇－2，＋∞)u＝－(x＋1)2＋4在(－3，－1]上為增函數(shù)，在[－1,1)上為減函數(shù)又y＝logu為減函數(shù)∴函數(shù)y＝log(1－x)(3＋x)的減區(qū)間為(－3，－1]，增區(qū)間為[－1,1)．整理ppt④設(shè)u＝log2x則y＝u2－2u－3＝(u－1)2－4(u∈R)≥－4∴函數(shù)y＝(log2x)2－log2x2－3的值域?yàn)閇－4，＋∞)由u≥1得log2x≥1，x≥2由u≤1得log2x≤1,0＜x≤2∴函數(shù)y＝(log2x)2－log2x2－3的減區(qū)間為(0,2]，增區(qū)間為[2，＋∞)．整理ppt函數(shù)y＝()|x－1|的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)___________________，值域?yàn)開(kāi)_______．答案：[1，＋∞)(0,1]解析：顯然，t＝|x－1|的遞增區(qū)間是[1，＋∞)．又y＝()t是減函數(shù)，所以y＝()|x－1|的遞減區(qū)間是[1，＋∞)．由于t≥0，所以0＜y≤1.整理ppt已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．整理ppt解析：(1)由ax－1＞0得ax＞1，當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0.∴當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)．(2)當(dāng)a＞1時(shí)，設(shè)0＜x1＜x2，則1＜ax1＜ax2，故0＜ax1－1＜ax2－1，∴l(xiāng)oga(ax1－1)＜loga(ax2－1)，∴f(x1)＜f(x2)，故當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．類(lèi)似地，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．整理ppt反思?xì)w納：解決含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題切不可忽視底數(shù)與“1”的關(guān)系；討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)注意若f(x)在區(qū)間D1，D2上分別具有單調(diào)性，但f(x)在區(qū)間D1∪D2上未必具有單調(diào)性；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律：如果y＝f(u)和u＝g(x)單調(diào)性相同，那么y＝f(g(x))是增函數(shù)，如果y＝f(u)和u＝g(x)單調(diào)性相反，那么y＝f(g(x))是減函數(shù)，這正是解決本題中(2)的依據(jù)，即所謂“同增異減”.整理ppt【例4】(2009·北京西城)已知函數(shù)f(x)＝loga是奇函數(shù)(a>0，a≠1)，(1)求m的值；(2)判斷f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調(diào)性并加以證明；(3)當(dāng)a>1，x∈(r，a－2)時(shí)，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a與r的值．整理ppt[解析](1)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)在其定義域內(nèi)恒成立，∴1－m2x2＝1－x2恒成立，∴m＝－1或m＝1(舍去)，∴m＝－1.整理ppt整理ppt整理ppt整理ppt整理ppt[總結(jié)評(píng)述]第(1)問(wèn)利用函數(shù)的奇偶性，把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題從而確定了解題方向，這里應(yīng)特別注意f(－x)＝－f(x)恒成立是f(x)為奇函數(shù)的必要條件，故求出的m值要檢驗(yàn)f(x)的定義域；第(2)問(wèn)是運(yùn)用單調(diào)性的定義解決的，在涉及對(duì)數(shù)值的大小時(shí)，不要忽視對(duì)底數(shù)的影響；對(duì)于第(3)問(wèn)，將f(x)的值域轉(zhuǎn)化為x的范圍，從而建立了